【2013顺义二模】北京市顺义区2013届高三第二次统练 理科数学


北京市顺义区 2013 届高三第二次统练
数学试卷(理工类)
一、 选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.
2 1.已知集合 A ? x ? R ? 3 ? x ? 2 , B ? x ? R x ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

A. ?? 3,1?

B. ?? 3,1?

?

C. ?1,2?

?

D. ?? ?,2? ? ?3,???

3 ? 2i ? 1? i 1 5 A. ? i 2 2
2.复数

1 5 ? i 2 2 ?? 2 ? 3? ? 3.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin?? ? ? ? ,则点 A? 2, 4? 2 ? 4 ? 2 2 A. 2 B. C. 2 ? 2 2
B. C. ? 4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 A. ? 10 B. ? 3 C.4 D.5 5.已知数列 ?an ? 中, an ? ?4n ? 5 ,等比数列 ?bn ? 的公比 开始

1 5 ? i 2 2

D. ?

1 5 ? i 2 2

? ? 到直线 l 的距离为 ? 2 D. 2 ? 2

k ? 1, s ? 1
q 满 足 q ? an ? an?1 ?n ? 2? , 且 b1 ? a 2 , 则

k ? k ?1 k ? 5?
否 输出 s 结束 是

b1 ? b2 ? ?? bn ?
A. 1 ? 4 C.
n

B. 4 ? 1
n

s ? 2s ? k

4n ? 1 3 ? x ? 2 y ? 2, ? 3 x? y 6.设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4, 则 2 的取 ?4 x ? y ? ?1 ?
D. 值范围是 A. ?

1 ? 4n 3

? 1 ? ,2 2 ? ? 64 ? 7. 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 1, 点 P 是 AB 边 上 的 动 点 , 点 Q 是 AC 边 上 的 动 点 , 且
B. ? C. ? D. ?

? 2 1? , ? 4 2? ?

?1 ? ,64? ?2 ?

? 2 ? ,64? ? 4 ?

AP ? ? AB, AQ ? ?1 ? ? ?AC, ? ? R ,则 BQ? CP 的最大值为 3 3 3 3 A. B. ? C. D. ? 2 8 2 8 8.设 m, n ? R ,若直线 l : m x ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于点 B ,且坐标原点 O
到直线 l 的距离为 3 ,则 ?AOB 的面积 S 的最小值为 A.

1 2

B.2

C.3

D.4

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上)
-1-

9. ? x ?

? ?

1? 5 ? 的展开式中含 x 的项的系数为 x?

9

(用数字作答).

10. 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 cos A ?

1 ? , ?B ? , b ? 5 , 则 3 4

sin C ?

, ?ABC 的面积 S ?

.

11.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F, E 是 AB 延长线上一点,且 DF ? CF ? 圆相切,且 CE ?

D A F BE C

2 , AF ? 2BF ,若 CE 与
.

7 ,则 BE ? 2

12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为 92m2,则 h ? m. h

正(主)视图 5

侧(左)主视图

4

2 俯视图

x2 y2 x2 y2 2 6 ? ? 1 的焦 13.已知双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率为 ,顶点与椭圆 8 5 3 a b
点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 14.设定义在 R 上的函数 f ?x ? 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?? x ? 是 f ?x ? 的导函数.当 ,渐近线方程为 .

x ? ?0, ? ? 时 , 0 ? f ?x ? ? 1 ; 当 x ? ?0, ? ? 且 x ? y ? f ?x ? ? cos x 在 ?? 3? ,3? ? 上的零点个数为

?
2

时 , ?x ? .

? ?

?? ? f ??x ? ? 0 . 则 函 数
2?

-2-

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x ? ? (I)求 f ?

?

?? ? ? 的值; ?3? (II)求函数 f ?x ? 的最小正周期及单调递减区间.
16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 长 方 体 ABCD? A1 B1C1 D1 中 , AA ? AD ? 1 , E 为 CD 的 中 点 , F 为 1

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2

?

A1 B1
F
?

D1 C1

AA 的中点. 1 (I)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 E ; (II)求证: DF // 平面 AB1 E ;
(III)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45 , 求 AB 的长.

A
E

D

B C 17.(本小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全 市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布
直方图如图所示,其中年龄分组区间是: ?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活 动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中 “年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 频率/组距 0.0 7 x

0.0 4 0.0 2 0.0 1 O 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 年 龄 / 岁

-3-

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x ? ? (I)若 x ?

ex ,其中 a 为正实数, e ? 2.718 ? . 1 ? ax2

1 是 y ? f ?x ? 的一个极值点,求 a 的值; 2

(II)求 f ?x ? 的单调区间.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 F1 F2 ? 2 ,点 P 在椭圆 a2 b

上,且 ?PF F2 的周长为 6. 1 (I)求椭圆 C 的方程; (II)若点 P 的坐标为 ?2,1? ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,设线段 AB 的中点 为 M ,点 P 到直线 l 的距离为 d ,且 M , O, P 三点共线.求

12 13 2 2 AB ? d 的最大值. 13 16

20.(本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ?x? ? 2ae ? 1, g ?x? ? ln x ? ln a ? 1 ? ln 2 , 其 中 a 为 大 于 零 的 常
x

数, e ? 2.718 ? ,函数 y ? f ?x ? 的图像与坐标轴交点处的切线为 l1 ,函数 y ? g ?x ? 的图像与直 线 y ? 1 交点处的切线为 l 2 ,且 l1 // l 2 . (I)若在闭区间 ?1,5? 上存在 x 使不等式 x ? m ?

x f ?x? ? x 成立,求实数 m 的取值范围;

(II)对于函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 公共定义域内的任意实数 x0 ,我们把 f ?x0 ? ? g ?x0 ? 的 值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 在其公共定义域内的所有偏差都 大于 2.

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-4-

数学试卷(理工类)参考答案 一、ABBA BCDC 二、9.36 10.

4 ? 2 100 ? 25 2 , 6 9

11.

1 2

12.4

13. ? 2 2 ,0 , y ? ?

?

?

15 x 3

14.6

? ?? 2? ? ? 3 cos ? sin ? sin 1 3 3? 3 ?? ? ? ? 三、15.解:(I) f ? ? ? ? 2 ?3? 2 cos 3
? 1 3? 3 ? 3? ? ?? ? 2 2 ? 2 1 ? ?? ? 1 2 2? 2 1 ? 0? 2 1 ? .???????????????????????4 分 2 ? (II) cos x ? 0 ,得 x ? k? ? ?k ? Z ? 2
故 f ?x ? 的定义域为 ? x ? R x ? k? ?

? ?

?

? , k ? Z? . 2 ?

因为 f ?x ? ?

?

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? 2 cos x 2

?

? sin x 3 cos x ? sin x ?

?

?

1 2

?

3 1 sin 2 x ? sin 2 x ? 2 2 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 2 3 1 sin 2 x ? cos2 x 2 2

?

?

?? ? ? sin? 2 x ? ? , 6? ?

-5-

所以 f ?x ? 的最小正周期为 T ?

2? ??. 2

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ?2k? ? 由 2k? ? 得 k? ?

? ?

?
2

,2k? ?

3? ? ?k ? Z? , 2 ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 3 2

3? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 2 2

所以 f ?x ? 的单调递减区间为 ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

???

? 2? ? ?k ? Z? . ?, ? k? ? , k? ? 2?? 2 3 ? ?

???????????????????????13 分 16.(I)证明:在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 因为 A1 B1 ? 平面 A1 ADD1 , 所以 A1 B1 ? AD1 . 因为 AA1 ? AD , 所以四边形 ADD1 A1 为正方形, 因此 AD1 ? A1 D , 又 A1 B1 ? A1 D ? A1 , 所以 AD1 ? 平面 A1 B1 D . 又 A1 B1 // CD ,且 A1 B1 ? CD , 所以四边形 A1 B1CD 为平行四边形. 又 E 在 CD 上, 所以 AD1 ? 平面 A1 B1 E . ???????????????????????4 分 (II)取 AB1 的中点为 N ,连接 NF .

1 1 A1 B1 且 NF ? A1 B1 , 2 2 1 因为 E 为 CD 的中点,所以 DE ? CD , 2
因为 F 为 AA1 的中点,所以 NF // 而 CD // A1 B1 ,且 CD ? A1 B1 ,
-6-

所以 NF // DE ,且 NF ? DE , 因此四边形 NEDF 为平行四边形, 所以 DF // EN ,而 EN ? 平面 AB1 E , 所以 DF // 平面 AB1 E . ???????????????????????9 分 (III)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? a , 则 A?0,0,0?, D?0,1,0?, D1 ?0,1,1?, E?

?a ? ,1,0 ?, B1 ?a,0,1? , ?2 ? ?a ? ,1,0 ? . ?2 ?

故 AD1 ? ?0,1,1?, AB1 ? ?a,0,1?, AE ? ? 由(I)可知 AD1 ? 平面 A1 B1 E ,

所以 AD1 是平面 A1 B1 E 的一个法向量. 设 平 面 AB1 E 的 一 个 法 向 量 为 z

n ? ?x, y, z ? ,
则 n ? AB1 ? 0, n ? AE ? 0 ,

A1 B1
F N

D1 C1

?ax ? z ? 0, ? 所以 ? a ?2 x? y ? 0 ?
a 令 x ? 1 ,则 y ? ? , z ? ? a , 2
所以 n ? ?1,?

y

A
x

? ?

a ? ,? a ? . 2 ?

E

D

B

C

设 AD1 与 n 所成的角为 ? ,则

cos? ?

n ? AD1 n AD1

?

a ?a 2 . a2 2 2 1? ?a 4 ?
?

因为二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45 ,

-7-

所以 cos? ? cos45? ,即

3a 2 2 1? 5a 2 4

?

2 , 2

解得 a ? 1 , 即 AB 的长为 1.???????????????????????14 分 17.解:(I)∵小矩形的面积等于频率, ∴除 ?35,40? 外的频率和为 0.70,

?x ?

1 ? 0.70 ? 0.06 .?????????????????????3 分 5

500 名志愿者中,年龄在 ?35,40? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人). (II)用分层抽样的方法,从中选取 20 名, 则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3,

P? X ? 0 ? ? P? X ? 1? ?

3 C8 14 , ? 3 285 C20 1 C12 C82 28 , ? 3 95 C20

2 1 C12 C8 44 , P? X ? 2 ? ? ? 3 95 C 20

P? X ? 3? ?

3 C12 11 , ? 3 C20 57

故 X 的分布列为

X P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

3

14 285

28 95

44 95

11 57

14 28 44 11 171 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 285 95 95 57 95

???????????????????????13 分

18.解: f ??x ? ?

?ax

2

?1 ? ax ?

? 2ax ? 1 e x
2 2

?

.

-8-

(I)因为 x ? 所以 f ??

1 是函数 y ? f ?x ? 的一个极值点, 2

?1? ? ? 0, ?2?

1 a ? a ?1 ? 0 , 4 4 解得 a ? . 3 4 1 4 经检验,当 a ? 时, x ? 是 y ? f (x) 的一个极值点,故所求 a 的值为 . 3 3 2
因此 ???????????????????????4 分

?ax (II) f ??x ? ?

2

?1 ? ax ?
2

? 2ax ? 1 e x
2 2

? ?a ? 0?

令 f ??x ? ? 0 得 ax ? 2ax ? 1 ? 0 ??① (i)当 ? ? ?? 2a? ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 时,方程①两根为
2

x1 ?

2a ? 4a 2 ? 4a a ? a2 ? a a ? a2 ? a . ? , x2 ? 2a a a

此时 f ?? x ? 与 f ?x ? 的变化情况如下表:
2 ? ? ? ?, a ? a ? a ? a ?

x
f ?? x ? f ?x ?

? ? ? ?

a ? a2 ? a a

? a ? a2 ? a a ? a2 ? a ? , ? a a ?

? ? ? ?

a ? a2 ? a a

? a ? a2 ? a ? ? ,?? ? ? ? a ? ?

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


所以当 a ? 1 时, f ?x ? 的单调递增区间为 ? ? ?,

? ? ?

a ? a2 ? a a

? ? ? a ? a2 ? a ?,? ,?? ? ; f ?x ? ? ? ? a ? ? ?

的单调递减区间为 ?

? a ? a2 ? a a ? a2 ? a , ? a a ?

? ?. ? ?

2 2 (ii)当 ? ? 4a ? 4a ? 0 时,即 0 ? a ? 1 时, ax ? 2ax ? 1 ? 0 ,

即 f ??x ? ? 0 ,此时 f ?x ? 在 ?? ?,??? 上单调递增. 所以当 0 ? a ? 1 时, f ?x ? 的单调递增区间为 ?? ?,??? . ???????????????????????13 分

-9-

19.解:(I)由已知得 2c ? 2 且 2a ? 2c ? 6 , 解得 a ? 2, c ? 1, 又b ? a ?c ? 3 ,
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1. 4 3

???????????????????????3 分 (II)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? . 当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点 M 在 x 轴上,且与 O 点不重合, 显然 M , O, P 三点不共线,不符合题设条件. 故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m?m ? 0? . 由?

? y ? kx ? m,
2 2 ?3x ? 4 y ? 12
2 2

消去 y 整理得

?3 ? 4k ?x

? 8kmx? 4m2 ? 12 ? 0 .?????????????????①

则 ? ? 64k 2 m 2 ? 4 3 ? 4k 2 4m 2 ? 12 ? 0 ,

?

??

?

8km ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 , 4km 3m ? ? ? 所以点 M 的坐标为 ? ? . , ? 2 2 ? 2 ? 3 ? 4k 3 ? 4k ? ? x x ? 4m ? 12 ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
因为 M , O, P 三点共线,所以 k OM ? k OP , 因为 m ? 0 ,所以 k ? ?

3m ? 2km ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

3 , 2
2

? x1 ? x 2 ? m, ? 此时方程①为 3x ? 3m x ? m ? 3 ? 0 ,则 ? ? 3 12 ? m ? 0 , ? m2 ? 3 ? x1 x 2 ? 3 ?
2

?

2

?

所以 AB

2

? ? x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ?
2

2

? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ? ? 4x1 x2
2

?

??

?

?
又d ?

13 12 ? m 2 , 12

?

?

8 ? 2m 32 ? 2 2

?

2m? 4 13

,

- 10 -

所以

?m ? 4? ? ? 3 ? m ? 4 ? ? 52 , 12 13 2 2 AB ? d ? 12 ? m 2 ? ? ? 13 16 4 4? 3? 3

?

?

2

2

故当 m ? ?

12 13 2 4 52 2 AB ? d 的最大值为 ? ? 2 3 ,0 时, . 3 13 16 3

?

?

???????????????????????13 分 20.解:(I)函数 y ? f ?x ? 的图像与坐标轴的交点为 ?0,2a ? 1? , 又 f ??x? ? 2aex ,? f ??0? ? 2a . 函数 y ? g ?x ? 的图像与直线 y ? 1 的交点为 ?2a,1? , 又 g ?? x ? ?

1 1 ,? g ??2a ? ? . x 2a 1 1 ,? a 2 ? , 由题意可知, 2a ? 2a 4 1 又 a ? 0 ,所以 a ? .????????????????????3 分 2
不等式 x ? m ? 即m ? x?

x f ?x? ? x 可化为 m ? x ? x f ?x? ? x ,

xex .

令 h?x ? ? x ?

? 1 ? ? x ?e x , x e x ,则 h??x ? ? 1 ? ? ? ? ?2 x ?
1 ? x ? 2.

? x ? 0,?

2 x

x 又 x ? 0 时, e ? 1 ,

? 1 ? ?? ? x ?e x ? 1 , ? ? ?2 x ?
故 h??x ? ? 0 ,

? h?x ? 在 ?0,??? 上是减函数,
即 h?x ? 在 ?1,5? 上是减函数, 因此,在闭区间 ?1,5? 上,若存在 x 使不等式 x ? m ? 只需 m ? h?1? ? 1 ? e , 所以实数 m 的取值范围是 ?? ?,1 ? e? .?????????????8 分
- 11 -

x f ?x? ? x 成立,

(II)证明: y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 公共定义域为 ?0,??? ,由(I)可知, a ?

1 . 2

? f ? x ? ? g ? x ? ? e x ? ln x .
令 q?x ? ? e x ? x ? 1,则 q??x? ? e x ? 1 ? 0 ,

? q?x ? 在 ?0,??? 上是增函数,
故 q?x ? ? q?0? ? 0 ,即 e ?1 ? x .①
x

令 m?x ? ? ln x ? x ? 1 ,则 m ?? x ? ?

1 ?1, x

当 x ? 1 时, m??x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, m??x ? ? 0 ,

? m?x ? 有最大值 m?1? ? 0 ,因此 ln x ?1 ? x .②
由①②得 e ? 1 ? ln x ? 1 ,即 e ? ln x ? 2 .
x x

又由①得 e ? x ? 1 ? x ,
x

由②得 ln x ? x ? 1 ? x ,

? e x ? ln x ,

? f ?x? ? g?x? ? e x ? ln x ? 2 ,
故函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.

- 12 -


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