陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第35课时 正、余弦定理及应用 理


课题:正弦定理、余弦定理及应用
教学目标: 1. 使学生掌握正、余弦定理及其变形; 2. 能够灵活运用正、余弦定理解题. 教学重点:正、余弦定理的灵活应用. 教材复习

?1? 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C ? 2 R ,
? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2 bc 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 余弦定理: ?b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2ac , ? 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?

a

b

c

? 3? 推论:正余弦定理的边角互换功能
① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ② sin A ? ③

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c ? ? = = 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C ⑤ sin A ? sin B ? sin C ? 2sin B sin C cos A
2 2 2

sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? 2sin C sin A cos B sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? 2sin A sin B cos C

sin( B ? C ) ? sin A,cos( B ? C ) ? ? cos A, ? 4 ? 三角形中的基本关系式: sin B ? C ? cos A ,cos B ? C ? sin A 2 2 2 2
基本知识方法 通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换. 利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系. 典例分析: 问题 1. ?1? ( 2013 湖南)在锐角中 △ ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a , b . 若 2a sin B ? 3b ,则角 A 等于

A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

245

? 2 ? ( 2013 陕西)在 △ ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边,
若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则 △ ABC 的形状为

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 不确定

? 3? ( 2013 安徽文)设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,
若 b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角 C ?

A.

? 2? 3? 5? B. C. D. 3 3 4 6

问题 2. ?1? 求 sin 20? ? cos 80? ? 3 sin 20? cos80?
2 2

? 2 ? 在 △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 对边分别为 a 、 b 、 c ,求证:

a 2 ? b 2 sin ? A ? B ? ? c2 sin C

问 题

3 . 在 △ ABC 中 , a , b, c 分 别 是 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , 且

4sin 2

B?C 7 ? cos 2 A ? ?1? 求角 A 的度数; ? 2 ? 若 a ? 3, b ? c ? 3. 求 b, c 的值. 2 2

246

问题 4.( 05 天津)在 △ ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c ,
2 2 2 c 设 a、b、c 满足条件 b ? c ? bc ? a 和 b ,求 ? A 和 tan B 的值 ?1 2? 3

课后作业:

1. ( 08 届孝昌二中高三质检) 在 △ ABC 中,已知 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? 3 sin Asin C ,则 ? B 的大小为 B. 30 ? A. 150? C. 120?

D. 60 ?

247

2.( 07 届高三西安中学 3 月月考)已知锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,
且 tan B ?

3ac ; ?1? 求 ? B ; a ? c2 ? b2
2

? 2 ? 求函数 f ( x) ? sin x ? 2sin B cos x ? x ? ? ?0,
? ?

?

? ??
? 2? ??

的最大值

3. 已知 △ ABC 的面积 S ? a 2 ? ? b ? c ? ,且 b ? c ? 8 ,求 △ ABC 面积的最大值
2

走向高考:

4. ( 2012 上海)在 △ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 △ ABC 的形状是 C. 钝角三角形. D. 不能确定. A. 锐角三角形. B. 直角三角形.

5. ( 2012 陕西)在 △ ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a2 ? b2 ? 2c2 ,
则 cos C 的最小值为

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2
248

6. ( 2013 辽 宁 ) 在 △ ABC , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为 a, b, c ,

1 ? ? 2? a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? A. B. C. 2 3 6 3

D.

5? 6

7. ( 04 北京春)在 △ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是 ?A,?B,?C 的对边长,
已知 a 、 b 、 c 成等比数列,且 a ? c ? ac ? bc ,求 ? A 的大小及
2 2

b sin B 的值. c

8. ( 05 湖南)已知在 △ ABC 中, sin A?sin B ? cos B? ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 ,
求角 A, B, C 的大小.

9. ( 07 上海) 在 △ ABC 中, a , b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边.若 a ? 2, C ?

π , 4
249

cos

B 2 5 ,求 △ ABC 的面积 S . ? 2 5

A

10. ( 06 天津)如图,在 △ ABC 中, AC ? 2 , 3 BC ? 1 , cos C ? . ?1? 求 AB 的值; ? 2 ? 求 sin ?2 A ? C ? 的值. 4
B

C

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