【2015届高考数学二轮复习 专题3 第1讲 等差、等比数列的通项、性质与前n项和素能训练(文、理)


【成才之路】2015 届高考数学二轮复习 专题 3 第 1 讲 等差、等比 数列的通项、性质与前 n 项和素能训练(文、理)

一、选择题 1.(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a4+a6 =12, 则 S7 的值是( A.21 C.28 [答案] C [解析] ∵a2+a4+a6=3a4=12,∴a4=4, ∴2a4=a1+a7=8,∴S7= ) B.24 D.7

a1+a7
2



7×8 =28. 2

(理)(2013·新课标Ⅰ理,7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1 =3,则 m=( A.3 C.5 [答案] C [解析] Sm-Sm-1=am=2,Sm+1-Sm=am+1=3, ∴d=am+1-am=3-2=1, ) B.4 D.6

m m- Sm=a1m+
2

·1=0,①

am=a1+(m-1)·1=2,
∴a1=3-m.② ②代入①得 3m-m + - =0, 2 2 ∴m=0(舍去)或 m=5,故选 C. 2.(文)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1, =4,则 的值为( A. C. 9 4 5 3 B. 3 2
2

m2 m

S4 S2

S6 S4

)

D.4

[答案] A [解析] 由等差数列的性质可知 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,由 =4 得

S4 S2

S4-S2 =3, S2

则 S6-S4=5S2,

S6 9 所以 S4=4S2,S6=9S2, = . S4 4
(理)(2014·全国大纲文,8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6 =( ) A.31 C.63 [答案] C [解析] 解法 1:由条件知:an>0,且?
?a1 ? ? a1 ? ?a1+a2=3, ? ? ?a1+a2+a3+a4=15,

B.32 D.64

∴?

+q =3, +q+q +q
2 3

=15,
6

∴q=2.

1-2 ∴a1=1,∴S6= =63. 1-2 解法 2:由题意知,S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列,即(S4-S2) =S2(S6-S4),即 12 = 3(S6-15),∴S6=63. 3.(文)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 4a3-a6=0,则 =( A.-5 C.3 [答案] D [解析] ∵4a3-a6=0,∴4a1q =a1q ,∵a1≠0,q≠0,
2 5 2 2

S6 S3

)

B.-3 D.5

a1
∴q =4,∴ =
3

S6 S3 a1

-q 6 1-q 1-q 3 = 3 3=1+q =5. -q 1-q 1-q

6

(理)(2013·新课标Ⅱ理,3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9, 则 a1=( A. C. 1 3 1 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9

[答案] C [解析] ∵S3=a2+10a1,∴a1+a2+a3=a2+10a1,a3=9a1=a1q ,∴q =9, 又∵a5=9,∴9=a3·q =9a3,∴a3=1,
2 2 2

1 又 a3=9a1,故 a1= . 9 4.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,对任意 正整数 n,有 an+2an+1+an+2=0,又 a1=2,则 S101 的值为( A.2 C.-2 [答案] A [解析] 设公比为 q,∵an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q =0, ∴q +2q+1=0,∴q=-1,又∵a1=2, ∴S101=
2 2

)

B.200 D.0

a1

-q 1-q

101

2[1- - = 1+1

101

] =2.
2 2 3 2 2

5.(2014·哈三中二模)等比数列{an},满足 a1+a2+a3+a4+a5=3,a1+a2+a2+a4+a5 =15,则 a1-a2+a3-a4+a5 的值是( A.3 C.- 5 [答案] D ) B. 5 D.5

[解析]

a ? ? 由条件知? a ? ?

1

-q 1-q

5

=3
10

2 1

-q 2 1-q

,∴ =15
5

a1

+q 1+q

5

=5,

∴a1-a2+a3-a4+a5=

a1[1- -q 1- -q

] a1 =

+q 1+q

5

=5.

6.(2013·镇江模拟)已知公差不等于 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 S3=- 21,a7 是 a1 与 a5 的等比中项,那么在数列{nan}中,数值最小的项是( A.第 4 项 C.第 2 项 [答案] B [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则由 S3=a1+a2+a3=3a2=-21,得 a2=-7,又 由 a7 是 a1 与 a5 的等比中项, 得 a7=a1·a5, 即(a2+5d) =(a2-d)(a2+3d), 将 a2=-7 代入, 3 2 * 结合 d≠0,解得 d=2,则 nan=n[a2+(n-2)d]=2n -11n,对称轴方程 n=2 ,又 n∈N , 4 结合二次函数的图象知,当 n=3 时,nan 取最小值,即在数列{nan}中数值最小的项是第 3 项. 二、填空题 7.(2013·广东六校联考)设曲线 y=x
n+1
2 2

)

B.第 3 项 D.第 1 项

(n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横

*

坐标为 xn,则 log2013x1+log2013x2+?+log2013x2012 的值为________. [答案] -1 [解析] 因为 y′=(n+1)x ,所以在点(1,1)处的切线的斜率 k=n+1, 所以 0-1 n =n+1,所以 xn= , xn-1 n+1
n

所以 log2013x1+log2013x2+?+log2013x2012 =log2013(x1·x2·?·x2012) 1 2 2012 =log2013( · ·?· ) 2 3 2013 1 =log2013 =-1. 2013 8.(2014·中原名校二次联考)若{bn}为等差数列,b2=4,b4=8.数列{an}满足 a1=1,

bn=an+1-an(n∈N*),则 a8=________.
[答案] 57 [解析] ∵bn=an+1-an,∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+?+(a2-a1)+a1=b7+b6+?+b1 +a1. 由{bn}为等差数列,b2=4,b4=8 知 bn=2n ∴数列{bn}的前 n 项和为 Sn=n(n+1). ∴a8=S7+a1=7×(7+1)+1=57. 9.(2014·辽宁省协作校联考)若数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(-1) +1,bn= 3+ - 2
n-1 n

,n∈N+,且 a1=2,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S63=________.

[答案] 560 3+ - [解析] ∵bn= 2 -2,a5=6,a6=-3,?, ∴ S63 = a1 + a2 + a3 +?a63 = (a1 + a3 + a5 +?+ a63) + (a2 + a4 + a6 +?+ a62) = (2 + 4 + 6 +?+64)-(1+2+3+?+31)=1056-496=560. 三、解答题 10.(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a2+S2=31,
n-1

=?
? ?

? ?

n为奇数 n为偶数

,又 a1=2,∴a2=-1,a3=4,a4=

an+1=3an-2n(n∈N*)
(1)求证:{an-2 }为等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由 an+1=3an-2 可得
n n

an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n),

又 a2=3a1-2,则 S2=a1+a2=4a1-2, 得 a2+S2=7a1-4=31,得 a1=5,∴a1-2 =3≠0,
1

an+1-2n+1 n =3,故{an-2 }为等比数列. an-2n
(2)由(1)可知 an-2 =3 ∴Sn= -2 1-2
n n n-1

(a1-2)=3 ,故 an=2 +3 ,
n

n

n

n



-3 1-3

=2

n +1

3 +

n+1

7 - . 2 2

一、选择题 1 11.(文)(2013·山西四校联考)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成 2 等差数列,则

a8+a9 =( a6+a7

) B.1- 2 D.3-2 2

A.1+ 2 C.3+2 2 [答案] C [解析] 由条件知 a3=a1+2a2, ∴a1q =a1+2a1q, ∵a1≠0,∴q -2q-1=0, ∵q>0,∴q=1+ 2, ∴
2 2

a8+a9 2 =q =3+2 2. a6+a7

(理)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前 20 项的和等于 ( ) A.290 C.580 [答案] B [解析] 由 a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87 得, B.300 D.600

a1+a20=30,
∴S20=

a1+a20
2

=300.

12.(文)已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=1,an+1-an= 的前 10 项的和为( 4 9 A. (4 -1) 3 ) 4 10 B. (4 -1) 3

bn+1 =2,n∈N+,则数列{ban} bn

1 9 C. (4 -1) 3 [答案] D

1 10 D. (4 -1) 3

[解析] 由 a1=1,an+1-an=2 得,an=2n-1, 由

bn+1 n-1 =2,b1=1 得 bn=2 , bn
2(n-1)

∴ban=2an-1=2

=4

n-1

, - 4-1
10

∴数列{ban}前 10 项和为

1 10 = (4 -1). 3 1

(理)若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= A.1- C.1- 1 n 4 1 n 2

a1a2 a2a3



1

+?+

1

anan+1

等于(

)

2 1 B. (1- n) 3 4 2 1 D. (1- n) 3 2

[答案] B [解析] 因为 an=1×2 所以 1
n-1

=2

n-1

,所以 an·an+1=2

n-1

·2 =2×4

n

n-1



1 1 n-1 1 = ×( ) ,所以{ }也是等比数列, anan+1 2 4 anan+1 1 1 1 1 = × - 1 1- 4 1 n 4 2 1 = (1- n),故选 B. 3 4

所以 Tn=

a1a2 a2a3



+?+

anan+1 2

1 1 2 1 2 3 1 2 k 13.给出数列 , , , , , ,?, , ,?, ,?,在这个数列中,第 50 个 1 2 1 3 2 1 k k-1 1 值等于 1 的项的序号 是( .. A.4900 C.5000 [答案] B [解析] 根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为 2,第 2 个 1 是分子、分母的 和为 4,第 3 个 1 是分子、分母的和为 6,?,第 50 个 1 是分子、分母的和为 100,而分子、 分母的和为 2 的有 1 项, 分子、 分母的和为 3 的有 2 项,分子、分母的和为 4 的有 3 项, ?, 1 2 3 50 分子、分母的和为 99 的有 98 项,分子、分母的和为 100 的项依次是: , , ,?, , 99 98 97 50 51 99 , ?, , 第 50 个 1 是其中第 50 项, 在数列中的序号为 1+2+3+?+98+50= 49 1 +50=4901. [点评] 本题考查归纳能力, 由已知项找到规律, “1”所在项的特点以及项数与分子、 + 2 ) B.4901 D.5001

分母的和之间的关系,再利用等差数列求和公式即可. 5 5 14.(2014·唐山市一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= , 2 4 则 (
n

Sn an

) B.4 D.2
n-1

A.4 -1 C.2 -1 [答案] C
n

n-1

5 5 1 1 5 2 2 [解析] 设公比为 q,则 a1(1+q )= ,a2(1+q )= ,∴q= ,∴a1+ a1= ,∴a1= 2 4 2 4 2 2. 1 n-1 =2×( ) ,Sn= 2 2[1- 1 2 1 1- 2
n

∴an=a1q

n-1

1 ] 4[1- 2 1 n Sn =4[1-( ) ],∴ = 2 an 1 2

n

] =2(2
n-1

n-1

1 - ) 2 =2 -1. [点评] 用一般解法解出 a1、q,计算量大,若注意到等比数列的性质及求 ,可简明 解答如下: 1 ∵a2+a4=q(a1+a3),∴q= , 2
n

Sn an

a1
∴ =

Sn an

-q 1-q

n

a1qn-1



1 1- n 2 1-q n =2 -1. n-1= -q q 1 1 · n-1 2 2
n

二、填空题 15.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)如图所示,将正整数排成三角形数阵,每排的数 称为一个群,从上到下顺次为第一群,第二群,?,第 n 群,?,第 n 群恰好 n 个数,则第

n 群中 n 个数的和是________.

[答案] 3·2 -2n-3 [解析] 由图规律知,第 n 行第 1 个数为 2
-3

n

n-1

,第 2 个数为 3·2

n-2

,第 3 个数为 5·2

n

??设这 n 个数的和为 S 则 S=2
n-1

+3·2

n-2

+5×2

n-3

+?+(2n-3)·2+(2n-1)·2

0



2Sn=2 +3·2

n

n-1

+5·2

n-2

+?+(2n-3)·2 +(2n-1)·2
n-2
2

2

1



②-①得 Sn=2 +2·2 =2 +2 +2 =2 + =2 +2
n n n+1 n n n n-1

n

n-1

+2·2
2

+?+2·2 +2·2-(2n-1)

+?+2 +2 -(2n-1)
n-1

3

-2 1-2

-(2n-1)

-4-2n+1

=3·2 -2n-3. 16.在数列{an}中,若 an-an-1=p(n≥2,n∈N )(p 为常数),则称{an}为“等方差数 列”.下列是对“等方差数列”的判断: ①若数列{an}是等方差数列,则数列{an}是等差数列; ②数列{(-1) }是等方差数列; ③若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列必为常数列; ④若数列{an}是等方差数列,则数列{akn}(k 为常数,k∈N )也是等方差数列. 其中正确命题的序号为________. [答案] ①②③④ [解析] 由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知①②③④均正确. 三、解答题 17.(文)(2013·浙江理,18)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+ 2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. [解析] (1)由题意得 a1·5a3=(2a2+2) ,a1=10, 即 d -3d-4=0.故 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N 或 an=4n+6,n∈N . (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0, 由(1)得 d=-1,an=-n+11.则 1 2 21 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn=- n + n. 2 2 1 2 21 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-Sn+2S11= n - n+110. 2 2 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an| 1 21 - n + n, n≤11, ? ? 2 2 =? 1 21 n - n+110, n≥12. ? ?2 2
2 2 * * 2 2 * 2 2 2 *

n

(理)(2013·天津十二区县联考)已知函数 f(x)=

2x+3 ,数列{an}满足 a1=1,an+1= 3x

f( ),n∈N*. an
(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= 1

1

an-1an

(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+?+bn,若 Sn<

m-2004
2

对一切 n∈N 成立,

*

求最小的正整数 m. 1 2+3an 2 [解析] (1)∵an+1=f( )= =an+ , an 3 3 2 ∴{an}是以 为公差,首项 a1=1 的等差数列, 3 2 1 ∴an= n+ . 3 3 (2)当 n≥2 时,

bn= = an-1an 2

1

1 2 1 n+ 3 3

1 n- 3 3

9 1 1 = ( - ), 2 2n-1 2n+1 当 n=1 时,上式同样成立. ∴Sn=b1+b2+?+bn 9 1 1 1 1 1 = (1- + - +?+ - ) 2 3 3 5 2n-1 2n+1 9 1 = (1- ), 2 2n+1 ∵Sn<

m-2004
2

9 1 m-2004 * ,即 (1- )< 对一切 n∈N 成立, 2 2n+1 2

9 1 9 1 9 又 (1- )随 n 递增,且 (1- )< , 2 2n+1 2 2n+1 2 9 m-2004 ∴ ≤ ,∴m≥2013,∴m 最小=2013. 2 2 18.(文)(2014·吉林市质检)已知数列{an}满足首项为 a1=2,an+1=2an,(n∈N ).设
*

bn=3log2an-2(n∈N*),数列{cn}满足 cn=anbn.
(1)求证:数列{bn}成等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由已知可得,an=a1q
n-1

=2 ,

n

bn=3log22n-2

∴bn=3n-2,∵bn+1-bn=3, ∴{bn}为等差数列,其中 b1=1,d=3. (2)cn=anbn=(3n-2)·2
n

Sn=1·2+4·22+7·23+?+(3n-2)·2n①
2Sn=1·2 +4·2 +7·2 +??+(3n-5)·2 +(3n-2)·2 ①-②得 -Sn=2+3[2 +2 +2 +??+2 ]-(3n-2)·2 4 =2+3· 1-2 1-2
n-1
2 3 4 2 3 4

n

n+1



n

n+1

-(3n-2)·2
n+1

n+1

=-10+(5-3n)·2

∴Sn=10-(5-3n)·2

n+1

.
2 *

(理)已知等差数列{an}的公差为 2,其前 n 项和 Sn=pn +2n(n∈N ). (1)求 p 的值及 an; (2)若 bn= 的值. [解析] 本题主要考查等差数列的概念及有关计算, 数列求和的方法, 简单分式不等式 的解法,化归转化思想及运算求解能力等. (1)解法 1:∵{an}是等差数列, ∴Sn=na1+
2

2 n-

9 ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求使 Tn> 成立的最小正整数 n an 10

n n-
2

n n- d=na1+
2

×2

=n +(a1-1)n. 又由已知 Sn=pn +2n, ∴p=1,a1-1=2,∴a1=3, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1. 解法 2:由已知 a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即 a1+a2=4p+4,∴a2=3p+2. 又等差数列的公差为 2,∴a2-a1=2, ∴2p=2,∴p=1,∴a1=p+2=3, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1. 解法 3:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn +2n-[p(n-1) +2(n-1)]=2pn-p+2, ∴a2=3p+2,由已知 a2-a1=2,∴2p=2,∴p=1, ∴a1=p+2=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1, ∴p=1,an=2n+1.
2 2 2

(2)由(1)知 bn=

2

n-

n+



1 1 - , 2n-1 2n+1

∴Tn=b1+b2+b3+?+bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n =( - )+( - )+( - )+?+( - )=1- = . 1 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 9 2n 9 又∵Tn> ,∴ > ,∴20n>18n+9, 10 2n+1 10 9 * 即 n> ,又 n∈N . 2 9 ∴使 Tn= 成立的最小正整数 n 的值为 5. 10

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