山东省2013模拟试题文科数学分类汇编9:圆锥曲线


山东省 2013 届高三最新文科模拟试题精选分类汇编 9:圆锥曲线 x2 y 2 1 .已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点与顶点,若双曲线的离心率为 2,则 a b
椭圆离心率为 A. ( B. )

1 3

2 2

C.

3 3

D.

1 2


2 .斜率为 3 的直线与双曲线

x2 y2 ? ? 1 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是 ( a 2 b2
C. 1, 3

A. ? 2, ?? ?
3 . 设抛物线

B. ? 2, ?? ?

?

?

D.

?

3, ??

?
( )

x 2 ? 12 y 的焦点为 F ,经过点 P(2, 2) 的直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点且点 P 恰为

AB 的中点,则 AF ? BF ?
A. 14
4 . 已知双曲线

B. 12

C. 11

D. 10

x2 1 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一个焦点与抛物线 x ? y 2 的焦点重合,则此双曲线的离心率为 2 a 8
( )

A.

3 3 2

B. 3

C.

2 3 3

D.

4 3 3

5 .已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 0 的圆心重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则 2 a b
( )

该双曲线的标准方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 5 20

B.

x2 y 2 ? ?1 25 20

C.

x2 y2 ? ?1 20 5

D.

x2 y2 ? ?1 20 25
( )

x2 y 2 ? 1(a ? o) 的焦点为(5,0),则该双曲线的离心率等于 6 .设双曲线 2 ? a 9
A.

3 2

B.

4 3

C.

5 4

D.

5 3
( )

7 .已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的实轴长为 2,焦距为 4,则该双曲线的渐近线方程是 a 2 b2
B. y ? ?

A. y ? ?3x

3 x 3

C. y ? ? 3x

D. y ? ?2 x

x2 y 2 8 . 设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 a b

??? ???? ???? ? ? ? ???? ???? ? (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ,O 为坐标原点,且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则该双曲线的离心率为
A. 3 ? 1 B.





3 ?1 2

C. 6 ?

2

D.

6? 2 2

9 .已知 O 为坐标原点,双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线 a 2 b2
???? ??? ??? ? ?
( )

于异于原点的两点 A.B,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离心率 e 为 A.2
2

B.3

C. 2

D. 3 ( )

10.已知抛物线 y =2px (p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点 F 的距离为 5,则以 M 为圆心且与 y 轴相切的

圆的方程为 2 2 A.(x-1) +(y-4) =1 2 2 C.(x-l) +(y-4) =16
2

B.(x-1) +(y+4) =1 2 2 D.(x-1) +(y+4) =16

2

2

11.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准 4 5

线与 x 轴的

交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? A. 2 2
12.已知圆 x
2

2 AF ,则 A 点的横坐标为
C. 2 3 D.4





B.3

? y 2 ? mx ?

1 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m= 4 4
C. 2 D.± 3





A.±2 2
2

B. 3

13. 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物线上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足为

A , PF ? 4 ,则直线 AF 的倾斜角等于
A.





2? 3? 5? C. D. 3 4 6 xy ? x ? y ? 1 2 14.若曲线 y ? x ? 1与 2 ? m 有唯一的公共点,则实数 m 的取值集合中元素的个数为 x ? 3x ? 2
B. A.1
15.若双曲线

7? 12

B.2

C.3

D.4 ( )

x2 ? y2=4(m>0)的焦距为 8,则它的离心率为 m
B.2 C.

A.

2 3 3

4 3

D.

4 15 15

16. 设 e1 , e2 分别为具有公共焦点 F 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足

???? ???? ? 2 PF1 ?PF2 ? 0 ,则 4e12 ? e2 的最小值为





A.3

B.

9 2

C.4

( D)

5 3

17. 设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2
( )

PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为
A.

5 4

B.

6 5

C.

5 3

D.

3 2

18. 如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 右焦点,过 F2 的直线与双曲线 C 交于 A,B 两点. ? ? 1( a ? 0,b ? 0 ) 的左、 a 2 b2

若|AB|:|BF1|:|AF1|=3:4:5.则双曲线的离心率为

( A. 13 C.3 B.2 D. 5



19. 已知椭圆方程

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点, a b 4 3
( B. 3 C.2 D.3 ( ) )

则双曲线的离心率为 A. 2
2

20.若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则该抛物线的准线方程为

A. x ? ?2

B. x ? 4

C. x ? ?8

D. y ? ?4

21.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则离心率等于__________ a 2 b2
2

22.已知抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 与圆 x ? y ? 1有公共的切线 y ? x ? b ,则
2 2

p ? _____.

23.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为( 13 ,0),则该双曲线的渐近线方程为_______· 9 a

24.焦点在 y 轴上,渐近线方程为 y ? ? 3x 的双曲线的离心率为_______. 25.

26.已知圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该圆的方程

为_________________.
27.已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是________.
2

28已知双曲线

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点 F 到一条渐近线的距离为 | OF | ,点 O 为坐标原点,则 2 2 a b

此双曲线的离心率为________.

x2 y 2 y 2 x2 29. 已知双曲线 ) =1 的一个焦点是(0,2),椭圆 ? ? ? 1 的焦距等于 4,则 n=________ m 3m n m
30.已知抛物线 y ? ?8 x 的准线过双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,则双曲线的离心率为______. m 3

31.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 渐近线上的一个动点 P 总在平面区域 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 16 内,则实数 m 的取值范 9 16

围是___________.
32.抛物线 y ? 16 x 的准线方程为____________.
2

33.若抛物线 y =2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3 ,则点 M 到该抛物线焦点的距离为___________.

2

34.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 a 2 b2

5:3 两段,则此双曲线的离心率为______.]
35. 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 、F2,点 M 是椭圆上的任意一点,且 a 2 b2

1 PF1 ? PF2 ? 4 ,椭圆的离心率 e ? . 2
(I)求椭圆 E 的标准方程; (II)过椭圆 E 的左焦点 F1 作直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,点 A 为椭圆在顶点,能否存在这样的直线,使

??? ???? ? AP ? AQ ? 3 ,若存在,求出直线方程,若不存在,说明理由.

36.设点 P ( x, y ) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0) 的距离之比为

2 ,并记点 P 的轨迹为曲线 C .

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设 M (?2,0) , 过 点 M 的 直 线 l 与 曲 线 C 相 交 于 E , F 两 点 , 当 线 段 EF 的 中 点 落 在 由 四 点

C1 (?1, 0), C2 (1, 0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求直线 l 斜率的取值范围.

x2 y 2 2 37. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 ,其右焦点为 F ,过点 B(0, b) 作直线 2 a b
交椭圆于另一点 A . (Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 2) 与椭圆 N : 围.

??? ??? ? ?

???? 2 5 x2 y 2 1 ,求 k 的取值范 ? 2 ? 相交于两点 G 、 H ,且 HG ? 3 a2 b 3

38.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在

y 轴上,离心率为

3 . 过 F1 的直线 l 3

交 E 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 4 3 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O : x ? y ? 5 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积
2 2

为定值.

39.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,短轴两个端点为 A, B ,且四边形 F1 AF2 B a2 b2

是边长为 2 的正方形. (Ⅰ) 求椭圆方程; (Ⅱ) 若 C, D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于点 P ,证

明: OM ? OP 为定值;[学|科| (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线

?

?

DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 1 40. 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与 a b 2
直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (I)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明 动直线 AE 与 x 轴交于一定点 Q.

41. 设椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,焦距为 2,F 为右焦点, B1 为下顶点, B2 为上顶点, S?B1FB2 ? 1 .

(I)求椭圆的方程; (Ⅱ) 若 直 线 l 同 时 满 足 下 列 三 个 条 件 :① 与 直 线 B1 F 平 行 ;② 与 椭 圆 交 于 两 个 不 同 的 点

P、 ;③ S?POQ ? Q

2 ,求直线 l 的方程. 3

42.已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴长为 2. 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程 o (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为椭圆 C 上的不同两点,已知向量 m ? (

x1 y1 x y , ), n ? ( 2 , 2 ) ,且 m ? n ? 0. b a b a

已知 O 为坐标原点,试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由,

43.已知椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的短轴为长轴,且与 C1 有相同的离心率. 16 4

(I)求椭圆 C2 的方程; (II)设直线 l 与椭圆 C2 相交于不同的两点 A、 B,已知 A 点的坐标为 ? ?2, 0 ? ,点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂 直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求直线 l 的方程.

??? ??? ? ?

44.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

2 x2 y 2 2 2 ,其焦点在圆 x ? y ? 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 2 2 a b

上. (1)求椭圆的方程;
???? ? ??? ? ??? ? (2)设 A 、 B 、 M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角 ? ,使 OM ? cos? OA ? sin ? OB .求证:

直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值;

45.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 和 F2,由 4 个点 M(-a,b)、N(a,b)、F2 和 F1 组成 a 2 b2

了一个高为 3 ,面积为 3 3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1 的直线和椭圆交于两点 A、B,求 ? F2AB 面积的最大值.

46.已知长方形 EFCD, EF ? 2, FC ?

2 . 以 EF 的中点 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系 xOy. 2

(I)求以 E,F 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的标准方程; (II)在(I)的条件下,过点 F 做直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,设 FA ? ? FB ,点 T 坐标为

??? ?

??? ?

? 2, 0 ? , 若? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB

??? ???

的取值范围.

x2 y2 47 . 已 知 椭 圆 C : 2 ? ? 1(a ? 10 ) 的 右 焦 点 F 在 圆 D : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 上 , 直 线 a 3

l : x ? my ? 3 (m ? 0) 交椭圆于 M 、 N 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 OM ? ON ( O 为坐标原点),求 m 的值; (Ⅲ)若点 P 的坐标是 (4,0) ,试问 ?PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在, 请说明理由.

48.如图,已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点为 A、B,离心率为 ,直线 x-y+l=0 经过椭圆 2 2 a b

C 的上顶点,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l : x ? ?

10 分别交于 M,N 两点. 3

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 P,使得△PAS 的面积为 l?若存在,确定点 P 的个数;若不存在,请说明理由.

y2 10 2 5 49 . 椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离为 ,离心率为 ,抛物线 b 5 5 a

x2

G : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与椭圆 E 的焦点重合;斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 E 交于 A,B,与 G 交
于 C,D. (1)求椭圆 E 及抛物线 G 的方程; (2)是否存在学常数 ? ,使

1 ? ? 为常数,若存在,求 ? 的值,若不存在,说明理由. AB | CD |

x2 y2 1 50. 已知点 F1 (? 3 ,0) 和 F2 ( 3,0) 是椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,且椭圆 M 经过点 ( 3 , ) . a b 2
(1)求椭圆 M 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 和椭圆 M 交于 A、B 两点,且 PB ?

3 PA ,求直线 l 的方程; 5

(3)过点 P(0,2)的直线和椭圆 M 交于 A、B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点 C,求证:直线 CB 必过 y 轴上的 定点,并求出此定点坐标.

51.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B(2,0) 、 C ? 1,

? 3? ? 三点. ? 2?

(1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1,0), H (1,0) ,当 ?DFH 内切圆的面积最大时. 求内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与直线 BN 的交点在定直 线上并求该直线的方程.

52.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M(0,2)是椭圆的一个顶点,△F1MF2 是等腰直角三

x2 y2 a b

角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=8,证明:直线 AB

? 1 ? 过定点?- ,-2?. ? 2 ?

53.已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ,O 为坐标原点. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2,0),离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(异于点 A)为椭圆 C 上一个动点,过 O 作线段 AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E, D 求 范围.

DE AP

的取值

54.已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心, 2 3 a b

椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 与曲线 | y |? kx(k ? 0) 的交点为 A 、 B ,求 ?OAB 面积的最大值.

55. 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为 T),与抛物线
2

交于不同的两点 P、Q 且 F1 P ? F2Q ? ?5 . (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程; ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB 的取值范围.

???? ???? ?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

???? ?

???? ?

??? ???

56. 如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正半轴相交于两点 M,N(点 M 必在点 N 的右侧),且 MN ? 3

已知椭圆 D:

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 2 ON ,且过点 ( 2, ) 2 2 a b

( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点,求证:直线 NA 与直线 NB 的倾角互补.

57.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为

1 2 ,其中一个顶点是抛物线 x = ?4 3y 的焦点. 2
??? ?

(I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B 满足 PA · PB ? 线 l 的方程;若不存在,请说明埋由.

??? ?

5 ,若存在,求出直 4

58.如图,已知半椭圆 C1:

x2 2 ? y 2 ? 1( a ? 1,x ? 0 ) 的离心率为 ,曲线 C2 是以半椭圆 C1 的短轴为直径的 2 2 a

圆在 y 轴右侧的部分,点 P(x0,y0)是曲线 C2 上的任意一点,过点 P 且与曲线 C2 相切的直线 l 与半椭圆 C1 交于不同点 A,B.

(I)求 a 的值及直线 l 的方程(用 x0,y0 表示); (Ⅱ)△OAB 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.


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