2016届高考数学大一轮复习 第11章 第2节 合情推理与演绎推理课件 文 新人教版


第二节

合情推理与演绎推理

考纲要求:1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比 等进行简单的推理,了解合情推理在数学发展中的作用 .2.了 解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用 它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联 系和差异.

[基础真题体验] 考查角度[合情推理] 1.(2014· 课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否 去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.

【解析】

由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去

的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙没去过 C 城市,说明乙去过城市 A,由此可知, 乙去过的城市为 A.
【答案】 A

2.(2013· 陕西高考)观察下列等式: (1+1)=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, ?? 照此规律,第 n 个等式可为________.

【解析】

从给出的规律可看出,左边的连乘式中,连

乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第 一个乘数的指数保持一致,其中左边连乘式中第二个加数从 1 开始,逐项加 1 递增,右边连乘式中从第二个乘数开始, 组成以 1 为首项,2 为公差的等差数列,项数与第几等式保 持一致,则照此规律,第 n 个等式可为(n+1)(n+2)?(n+n) =2n×1×3×?×(2n-1).

【答案】 1)

(n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-

3.(2013· 湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究 过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数 n?n+1? 1 2 1 为 2 =2n +2n.记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以 下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 1 2 1 N(n,3)=2n +2n, N(n,4)=n2, 3 2 1 N(n,5)=2n -2n, N(n,6)=2n2-n,

?? 可 以 推 测 N(n , k) 的 表 达 式 , 由 此 计 算 N(10,24) = ________.

【解析】 测:当 k

由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,?,可以推 N(n,

?k ? ?k ? 2 为偶数时,N(n,k)=?2-1?n -?2-2?n,于是 ? ? ? ?

24)=11n2-10n.故 N(10,24)=11×102-10×10=1 000.
【答案】 1 000

[命题规律预测] 从近几年的高考试题看,对本节内容的考查主要 命题 规律 体现在以下两个方面: 1.对归纳推理的考查是命题的热点,对类比推理 的考查相对较弱. 2.题型主要以填空题的形式出现,难度中高档. 考向 预测 预测 2016 年高考仍将以考查归纳推理和类比推理 为主,估计试题难度稍大,对学生的数学能力的 考查是重点考查方向.

考向一

归纳推理 [典例剖析]

x 【例 1】 (2014· 陕西高考)已知 f(x)= , x≥0, 若 f1(x) 1+x = f(x) , fn + 1(x) = f(fn(x)) , n ∈ N + , 则 f2 ________.
014(x) 的 表 达 式 为

【思路点拨】

由 fn+1(x)=f(fn(x))分别求出 f2(x),f3(x),

然后观察 f1(x), f2(x), f3(x)中等式的分子与分母系数间的关系, 猜想 f2 014(x)的表达式.

【解析】

x 1+x x x f1(x)= ,f2(x)= = ,f3(x)= x 1+x 1+2x 1+ 1+x

x 1+ 2x x x x =1+3x,?,由数学归纳法得 f2 014(x)=1+2 014x. 1+ 1+2x x 【答案】 f2 014(x)= 1+2 014x

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类: (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳, 解决此类问题时, 需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还 要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2) 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归 纳.

[对点练习] 如图 1121 所示, 一个质点在第一象限和坐标轴上运动, 在第一秒钟内它由原点运动到点(0,1), 然后按图中所示在与 x 轴、y 轴平行的方向上运动,且每秒移动一个单位长度,那么 2 000 秒后,这个质点所处位置的坐标是( )

图 1121 A.(44,25) C.(25,45) B.(45,25) D.(24,44)

【解析】 质点到达点(1,1)处,走过的单位长度是 2,接 下来质点运动的方向与 y 轴方向相反; 质点到达点(2,2)处, 走过的单位长度是 6=2+4, 接下来 质点运动的方向与 x 轴方向相反; 质点到达点(3,3)处, 走过的单位长度是 12=2+4+6, 接 下来质点运动的方向与 y 轴方向相反; 质点到达点(4,4)处, 走过的单位长度是 20=2+4+6+8, 接下来质点运动的方向与 x 轴方向相反;

?? 猜想: 质点到达点(n,n)处,走过的单位长度是 2+4+6+?+ 2n=n(n+1),且 n 为偶数时,接下来质点运动的方向与 x 轴 方向相反; n 为奇数时, 接下来质点运动的方向与 y 轴方向相 反. 所以 2 000 秒后是指该质点到达点(44,44)后, 继续移动了 20 个单位,由图中规律可得该质点沿与 x 轴相反的方向前进 了 20 个单位,即该质点所处位臵的坐标是(24,44).
【答案】 D

考向二

类比推理 [典例剖析]

【例 2】

(1)(2014· 郑州模拟)已知数列{an}为等差数列,
*

nb-ma 若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N ),则 am+n= .类 n-m 比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列 {bn}(bn>0,n∈ N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到 bm
+n

=________.

(2)(2014· 南昌模拟)在平面上,若两个正三角形的边长为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间中,若两个 正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为________.

【思路点拨】

(1)类比等差和等比数列的性质求解;

(2)类比平面图形与空间图形的内在联系求解.

an-am 【解析】 法一:设数列{an}的公差为 d1,则 d1= n- m b-a = . n-m b-a bn-am 所以 am+n=am+nd1=a+n· = . n-m n-m 类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为 q,由 bn=bmqn
-m

可知 d = cq

n-m

n-m d n ,所以 q = ,所以 b = b q + m n m = c

n-m ?d? n-m dn ? ?n = c· cm . ?c ?

法二:设数列{an}的公差为 d1,数列{bn}的公比为 q, 在等差数列中,an=a1+(n-1)d1,在等比数列中,bn= b1qn-1, n-m dn nb-ma 因为 am+n= ,所以 bm+n= m. c n-m (2)∵两个正三角形是相似三角形,∴它们的面积比是相 似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积 比为相似比的立方,∴它们的体积比为 1∶8. n-m dn 【答案】 (1) cm (2)1∶8

类比推理的分类及处理方法 类比推理的应用一般为类比定义、 类比性质和类比方法: (1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理 型试题时,可以借助原定义来求解; (2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的 性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之 间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;

(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们 可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的 迁移.

[对点练习] 在平面上,设 ha、hb、hc 是三角形 ABC 三条边上的高, P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为 Pa,Pb, Pa Pb Pc Pc,我们可以得到结论:h + h + h =1.把它类比到空间,则 a b c 三棱锥中的类似结论为________.

【解析】

设 ha,hb,hc,hd 分别是三棱锥 A—BCD 四

个面上的高,P 为三棱锥 A—BCD 内任一点,P 到相应四个 面的距离分别为 Pa,Pb,Pc,Pd. Pa Pb Pc Pd 于是我们可以得到结论: h + h + h + h =1. a b c d

Pa Pb Pc Pd 【答案】 h + h + h + h =1 a b c d

考向三

演绎推理 [典例剖析]

【例 3】

数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an

n +2 * S +1= n(n∈N ),证明: n
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an.

【思路点拨】 按照“三段论”的模式给予求解.

【证明】

n+2 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n Sn,

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 Sn 故 =2· n (小前提) n+1
?Sn? 故? n ?是以 ? ?

2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义,这里省略了).

Sn+1 Sn-1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1=4an(n≥2). n-1 n-1 (小前提) 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an. (结论)

演绎推理的结构特点: (1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是 三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段 论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了 一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊 情况.这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的 内在联系,从而产生了第三个判断:结论.

(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题 时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,一般 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

[对点练习] 如图 1122 所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点, ∠BFD=∠A,且 DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推 理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形 式表示出来).

图 1122

【证明】

(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)

∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论)

(3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提) 所以 ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ??四边形 AFDE 是平行四边形 ? DE∥BA ? ?ED=AF.

误区分析 17

归纳不当致误

[典例剖析] 【典例】 (2014· 临沂模拟)如图 1123 所示,坐标纸上

的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的 横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N+)的前 12 项(即横坐标为 奇数项,纵坐标为偶数项),按如此规律下去,则 a2 013+a2 014 +a2 015 等于( )

图 1123 A.1 005 B.1 006 C.1 007 D.2 015

【解析】

观察点坐标的规律可知,偶数项的值等于其

序号的一半,奇数项的值有正负之分. 则 a4n-3=n,a4n-1=-n,a2n=n. 此处在求解时常因找不出 a4n-3 与 a4n-1 的关系,导致结 论错误. 又 2 013=4×504-3,2 015=4×504-1, ∴a2 013=504,a2 015=-504,a2 014=1 007, ∴a2 013+a2 014+a2 015=1007.
【答案】 C

【防范措施】

(1)正确书写数列{an}的前 n 项,为归纳

探索项与项间的关系作出铺垫. (2)仔细观察数列{an}中各项的特征,明确“a2n=n,a4n-
3+a4n-1=0”是解题的关键所在.

[对点练习] (2014· 荆州模拟)如图 1124 是网络工作者经常用来解释 网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现 在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行,依次类推,则(1)按网络运作顺序第 n 行第 1 个数字(如第 2 行第 1 个数字为 2, 第 3 行第 1 个数字为 4, ?) 是________; (2)第 63 行从左至右的第 3 个数字应是________.

图 1124

【解析】 设第 n 行的第 1 个数字构成数列{an},则 an+ n2-n+2 ,而偶数行的顺序从左 1-an=n,且 a1=1,∴an= 2 到右, 奇数行的顺序从右到左, 第 63 行的第 1 个数字为 1 954, 从左至右的第 3 个数字是从右至左的第 61 个数字, 从而所求 数字为 1 954+60=2 014.

【答案】

n2-n+2 2

2 014

课堂达标训练 1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班人数都超过 50 人 B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形, 所以菱形的对角线互相平分 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an=2(an-1+ ),由此归纳 an-1 出{an}的通项公式

【解析】 A、D 是归纳推理,B 是类比推理;C 运用了 “三段论”是演绎推理.
【答案】 C

2.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由 归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) C.g(x) B.-f(x) D.-g(x) )

【解析】

由所给等式知,偶函数的导数是奇函数.

∵f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数,从而 g(x)是奇函数. ∴g(-x)=-g(x).
【答案】 D

3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因 此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确 )

B.大前提不正确 D.全不正确

【解析】 ∵f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,∴上述推理 过程中小前提不正确.
【答案】 C

4. 通过圆与球的类比, 由“半径为 R 的圆的内接矩形中, 以正方形的面积为最大, 最大值为 2R2”猜想关于球的相应命 题为( )

A.半径为 R 的球的内接六面体中,以正方体的体积为 最大,最大值为 2R2 B.半径为 R 的球的内接六面体中,以正方体的体积为 最大,最大值为 3R3

C.半径为 R 的球的内接六面体中,以正方体的体积为 4 3R3 最大,最大值为 9 D.半径为 R 的球的内接六面体中,以正方体的体积为 8 3R3 最大,最大值为 9

【解析】

正方形类比到空间的正方体,即半径为 R 的

球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,此时正方体的
3 ? 2R ? 2R 8 3 R ?3 棱长 a= ,故其体积是? = 9 .故选 D. ? ? 3 3 ? ?

【答案】 D


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