高考第一轮复习数学:14.1 导数的概念与运算 2


※第十四章
●网络体系总览
导数的概念 导数 导数的求法 导数的应用

导数

函数的单调性 函数的极值 函数的最大 值与最小值

●考点目标位定位 要求: (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等) ,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. (2)熟记基本求导公式〔C,xm(m 为有理数) ,sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕 ,掌握 两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. (3)了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件(导数在极值点两侧异号) ,会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值 和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求 导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解 决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数 运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.

14.1
●知识梳理

导数的概念与运算

1.导数的概念: (1)如果当Δ x→0 时,

?y 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x0 处可 ?x

导 , 并 把 这 个 极 限 叫 做 f ( x ) 在 点 x0 处 的 导 数 , 记 作 f ′ ( x0 ) 即 f ′ ( x0 ) = ,
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x

(2)如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说 f(x)在开区间(a,b)内 可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0),这样 就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函 数,记作 f′(x),即 f′(x)= lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ,导函数也简称导数. ?x

2.导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处的切线的斜率. 3.几种常见的导数: - C′=0(C 为常数);(xn)′=nxn 1;(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′=ex;

(ax)′=axlna;(lnx)′=

1 1 ;(logax)′= logae. x x

4.导数的四则运算法则: 设 u、v 是可导函数,则 (u±v)′=u′±v′;(uv)′=u′v+uv′;(

u ?v ? uv ? u )′= (v≠0). v2 v

特别提示
f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)的实质是“增量之比的极限” ,但在计算中取它的应用 含义:f′(x0)是函数 f(x)的导函数 f′(x)当 x=x0 时的函数值. ●点击双基 1.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δ x,2+Δ y),则

?x 为 ?y

A.Δ x+

1 +2 ?x

B.Δ x-

C.Δ x+2

1 -2 ?x 1 D.2+Δ x- ?x

解析: 答案:C

?x (1 ? ?x) 2 ? 1 ? (1 ? 1) = =Δ x+2. ?x ?y

2.设函数 f(x)在 x=x0 处可导,则 lim
h?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) h

A.与 x0,h 都有关 B.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0、h 均无关 答案:B 3.设 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于 A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3 10 . 3

D.

10 3

解析:f′(x)=3ax2+6x,f′(-1)=3a-6=4,所以 a=

答案:D 4.函数 y=x2 的曲线上点 A 处的切线与直线 3x-y+1=0 的夹角为 45°,则点 A 的坐标为 ___________. 解析:设点 A 的坐标为(x0,y0), 则 y′|x=x 0 =2x|x=x 0 =2x 0 =k1,又直线 3x-y+1=0 的斜率 k2=3. ∴tan45°=1=

3 ? 2 x0 | k 2 ? k1 | 1 1 =| |.解得 x0= 或 x0=-1.∴y0= 或 y0=1,即 A 点坐标 | 1 ? ? k 2 k1 | 1 ? 6 x 0 4 16

为(

1 1 , )或(-1,1). 4 16

答案:(

1 1 , )或(-1,1) 4 16

●典例剖析 【例 1】 若 f′(x0)=2,求 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) . 2k

剖析:根据导数的定义.

f [ x0 ? (?k )] ? f ( x0 ) (这时Δ x=-k). k ?0 ?k f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ∴ lim k ?0 2k f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 = lim [- ? ] k ?0 2 ?k f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 =- ? lim 2 k ?0 ?k 1 =- f′(x0)=-1. 2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 评述:注意 f′(x0)= lim 中Δ x 的形式的变化,在上述变化中可以 ?x ?0 ?x 看到Δ x=-k,k→0 ? -k→0, f ( x0 ? 3k ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 3k ) ? f ( x0 ) ∴f′(x0)= lim ,还可以写成 f′(x0)= lim k ?0 k ?0 ? 3k ? 3k 1 或 f′(x0)= lim [f(x0+ )-f(x0) ]等. k ?? k
解:f′(x0)= lim 【例 2】 若 f(x)在 R 上可导, (1)求 f(-x)在 x=a 处的导数与 f(x)在 x=-a 处 的导数的关系; (2)证明:若 f(x)为偶函数,则 f′(x)为奇函数. 剖析:(1)需求 f(-x)在 x=a 处的导数与 f(x)在 x=-a 处的导数; (2)求 f′(x) , 然后判断其奇偶性. (1)解:设 f(-x)=g(x),则

g (a ? ?x) ? g (a) ?x f (?a ? ?x) ? f (?a) = lim ?x ?0 ?x f (?a ? ?x) ? f (?a) =- lim ? ?x ? 0 ? ?x
g′(a)= lim
?x ?0

=-f′(-a). ∴f(-x)在 x=a 处的导数与 f(x)在 x=-a 处的导数互为相反数. (2)证明:f′(-x)= lim
?x ?0

f (? x ? ?x) ? f (? x) ?x

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) =- lim ?x ?0 ? ?x
= lim
?x ?0

=-f′(x). ∴f′(x)为奇函数.

评述:用导数的定义求导数时,要注意Δ y 中自变量的变化量应与Δ x 一致.

深化拓展
(2)中若 f(x)为奇函数,f′(x)的奇偶性如何? 【例 3】 求下列函数的导数: (1)y=x2sinx; (2)y=ln(x+ 1 ? x 2 ); (3)y=

ex ?1 ; ex ?1

(4)y=

x ? cos x . x ? sin x
1 x ? 1? x
(1+
2 2

解:(1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx. (2)y′= · (x+ 1 ? x 2 )′

=

1 x ? 1? x 1 1? x2
.

x 1? x2



=

(3)y′=

(e x ? 1)?(e x ? 1) ? (e x ? 1)(e x ? 1)? (e x ? 1) 2

=

? 2e x . (e x ? 1) 2
( x ? cos x)?( x ? sin x) ? ( x ? cos x)( x ? sin x) ? ( x ? sin x) 2

(4)y′=

=

(1 ? sin x)( x ? sin x) ? ( x ? cos x)(1 ? cos x) ( x ? sin x) 2 ? x cos x ? x sin x ? sin x ? cos x ? 1 . ( x ? sin x) 2

=

思考讨论
函数 f(x)在点 x0 处是否可导与是否连续有什么关系? ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年全国Ⅱ,文 3)曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5

解析:y′=3x2-6x,∴y′|x=1=-3. ∴在(1,-1)处的切线方程为 y+1=-3(x-1). 答案:B 2.(2004 年全国Ⅳ,文 4)函数 y=(x+1)2(x-1)在 x=1 处的导数等于 A.1 B.2 C.3 D.4 2 3 2 解析:y′|x=1=[ +2x+1) (x (x-1) ]′|x=1=[x +x -x-1]′|xx=1=(3x2+2x-1)| x=1=4. 答案:D 3.(2004 年湖北,文 3)已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式可能为 A.f(x)=(x-1)2+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1 答案:A 4. (2004 年重庆,理 14) 曲线 y=2- (以弧度数作答)

1 2 1 x 与 y= x3-2 在交点处的切线夹角是__________. 2 4

? x2 ?y ? 2 ? ? 2 解析:由 ? 得 x3+2x2-16=0,(x-2) 2+4x+8)=0,∴x=2. (x 3 ?y ? x ? 2 ? 4 ?
∴两曲线只有一个交点.

1 2 x )′=-x,∴y′|x=2=-2. 2 x3 3 又 y′=( -2)′= x2,∴当 x=2 时,y′=3. 4 4 ∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2、3,
∵y′=(2- |

?2?3 π |=1.∴夹角为 . 1 ? ( ?2 ) ? 3 4

答案:

π 4
x ?1

5.设 f(x)在 x=1 处连续,且 f(1)=0, lim

f ( x) =2,求 f′(1). x ?1

f ( x) =2, x ?1 x ? 1 f (1 ? ?x) ? f (1) ∴f′(1)= lim ?x ?0 ?x f ( x) ? f (1) f ( x) = lim = lim =2. x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1
解:∵f(1)=0, lim 6.设函数 y=ax +bx2+cx+d 的图象与 y 轴交点为 P 点,且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0.若函数在 x=2 处取得极值 0,试确定函数的解析式. 解:∵y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P,∴P 的坐标为 P(0,d).又曲线在点 P 处的切线方程为 y=12x-4,P 点坐标适合方程,从而 d=-4.


又切线斜率 k=12,故在 x=0 处的导数 y′|x=0=12,而 y′=3ax2+2bx+c,y′|x=0=c, 从而 c=12. 又函数在 x=2 处取得极值 0,所以 y′|x=2=0, f(2)=0,即 12a+4b+12=0, 8a+4b+20=0. 解得 a=2,b=-9. ∴所求函数解析式为 y=2x3-9x2+12x-4. 培养能力 - 7.已知函数 f(x)=e x(cosx+sinx),将满足 f′(x)=0 的所有正数 x 从小到大排成数列 {xn}. 求证:数列{f(xn) }为等比数列. -x - - 证明:f′(x)=-e (cosx+sinx)+e x(-sinx+cosx)=-2e xsinx, - 由 f′(x)=0,即-2e xsinx=0, -π 解得 x=nπ ,n∈Z.从而 xn=nπ (n=1,2,3?),f(xn)=(-1)ne n. 所以

f ( x n ?1 ) f ( xn )

=-e

-π

.
-π

所以数列{f(xn) }是公比 q=-e 的等比数列. 8.已知函数 f(x)=ln(ex+a) (a>0). - (1)求函数 y=f(x)的反函数 y=f 1(x)及 f(x)的导数 f′(x); - (2)假设对任意 x∈[ln(3a),ln(4a),不等式|m-f 1(x)|+ln(f′(x) ] )<0 成立, 求实数 m 的取值范围. 解:(1)由 y=f(x)=ln(ex+a) , y 得 x=ln(e -a) ,所以 -1 y=f (x)=ln(e x-a) (x>lna). f′(x)=[ln(ex+a) ]′=


ex . ex ? a

(2)由|m-f 1(x)|+ln(f′(x) )<0,得 x x ln(e -a)-ln(e +a)+x<m<ln(ex-a)+ln(ex+a)-x. 设 ? (x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x, ? (x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x,于是原不等式对 于 x ∈ [ ln ( 3n ) ,ln ( 4a )] 恒 成 立 . 等 价 于 ? ( x ) < m < ? ( x ) . (*) 由 ? ′(x)=

ex ex - x +1, ex ? a e ? a ex ex + x -1,注意到 0<ex-a<ex<ex+a. x e ?a e ?a

? ′(x)=

故有 ? ′(x)>0, ? ′(x)>0,从而 ? (x) ? (x)均在[ln(3a),ln(4a) 、 ]上单调递 增,因此不等式 (*) 成立当且仅当 ? (ln(4a) <m< ? (ln(3a) ,即 ln( ) )

12 8 a) <m<ln( a) . 3 5

探究创新 9.利用导数求和: - (1)Sn=1+2x+3x2+?+nxn 1(x≠0,n∈N *). (2)Sn=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n (n∈N *). n n n n 解:(1)当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= 当 x≠1 时,∵x+x2+x3+?+xn=

n (n+1), 2

x ? x n ?1 , 1? x


两边对 x 求导,得 Sn=1+2x+3x2+?+nxn 1=(

x ? x n ?1 1 ? (n ? 1) x n ? nx n ?1 )= . 1? x (1 ? x) 2

(2)∵(1+x)n=1+C 1 x+C 2 x2+?+C n xn, n n n 两边对 x 求导,得 n(1+x)n 1=C 1 +2C 2 x+3C 3 x2+?+nC n x n 1. n n n n 令 x=1,得 n?2n 1=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n , n n n n 即 Sn=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n =n?2n 1. n n n n ●思悟小结 1.求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数通常有以下两种方法: (1)导数的定义,即求 lim
?x ?0
- - - -

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 的值. ?x

(2)利用导函数的函数值,即先求函数 f(x)在开区间(a,b)内的导函数 f′(x),再 将 x0(x0∈(a,b) )代入导函数 f(x),得函数值 f′(x0). 2.求复合函数的导数的方法步骤: (1)分清复合函数的复合关系,选好中间变量. (2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量 求导数. (3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换 成自变量的函数. 3.本单元重点体现了极限思想、 函数思想及等价转化的思想, 在学习过程中应用心体会. ●教师下载中心 教学点睛 1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解,注重对导数基本公式的 熟练运用. 2.可补充导数的另一种定义形式:f′(x0)= lim
x? x0

f ( x) ? f ( x 0 ) . x ? x0

拓展题例

?x 2 ? 1 【例题】 讨论函数 f(x)= ? ?x ? 1

( x ? 0), ( x ? 0)

在 x=0 处的可导性.

解:函数 f(x)在 x=0 处是否可导,即 ∵ lim?

f (0 ? ?x) ? f (0) 当Δ x→0 时的极限是否存在. ?x

f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ?0 ?x ?x ? 1 ? 1 = lim? =1, ?x ?0 ?x f (0 ? ?x) ? f (0) lim? ?x ?0 ?x 2 ( ?x ) ? 1 ? 1 = lim? =0, ?x ?0 ?x f (0 ? ?x) ? f (0) f (0 ? ?x) ? f (0) 又∵ lim? ≠ lim? , ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x f (0 ? ?x) ? f (0) ∴ 当Δ x→0 时的极限不存在,因此 f(x)在 x=0 处不可导. ?x


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