高中数学人教版选修2-2教学设计:1.4《生活中的优化问题(三)》教案


1.4 生活中的优化问题(三)
教学目标:掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题(一般指单峰函数) 的最大值和最小值.---------用材最省的问题---教学重点:利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤 教学难点:对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程: 例 1 。教材 P35 面的例 3 例 2.某公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元, 并且每件产品需向总公司交 a 元 (3

≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤a≤11)时,一年的销售量为(12-x)2
万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 例 3.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积 最大? 解:设 OO1 为 x m ,则 1 ? x ? 4 O 由题设可得正六棱锥底面边长为:

3 2 ? ( x ? 1) 2 ? 8 ? 2 x ? x 2 , (单位: m )
故底面正六边形的面积为:

6?

3 3 3 2 (单位: m ) ? ( 8 ? 2x ? x 2 ) 2 = ? (8 ? 2 x ? x 2 ) , 4 2

O1

帐篷的体积为:

1 3 3 3 (8 ? 2 x ? x 2 ) [ ( x ? 1) ? 1] ? (16 ? 12x ? x 3 ) 3 2 2 3 求导得 V' (x) ? (12 ? 3x 2 ) 。 2 V' ( x ) ? 0 令 ,解得 x ? ?2 (不合题意,舍去) ,x ? 2, (x) ? 0 , V ( x) 当 1 ? x ? 2 时, V' 为增函数; 2 ? x ? 4 V' ( x ) ? 0 V ( x ) 当 时, , 为减函数。 ∴当 x ? 2 时, V(x) 最大。 3 答:当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m 。

V(x) ?

例 4.水库的需水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数 据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系为:
1 ? ?( ? t 2 ? 14 t ? 40 )e 4 t ? 50,0 ? t ? 10, V (t ) ? ? ? ? 4( t ? 10 )( 3t ? 41) ? 50,10 ? t ? 12.

(1)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 i-1<t<i 表示第 i 月份(i=1,2,…,12) , 问一年内哪几个月份是枯水期? (2)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算). 课后作业

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1. 阅读教科书 P.34-----P35 2. 《学案》P32 面双基训练

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