湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 第三章 函数的应用教案 新人教A版必修1


第三章
一、课程要求

函数的应用

本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法,使学生体会函数与方程之间的关系,通过一些函数模 型的实例,让学生感受建立函数模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的广泛应用,进一步认 识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函 数零点与方程根的联系. 2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用, 初步体会算法思想. 3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆 炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 . 4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学 知识解决实际问题的意识.

二、 编写意图和教学建议 1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系(比如函数、方程、不等式之间的关系,图 象零点与方程根的关系). 2. 教材通过具体例子介绍二分法 ,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法. 3.教材高度重视信息技术在本章教学中的作用,比如,利用计算机创设问题情境,增加了学生的学 习兴趣,利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况,展示 a x与loga x随a 的不同取值而动态变化的 规律,形象、生动,利于学生深刻理解. 因此,教师要积极开发多媒体教学课件,提高课堂教学效率. 4.教材安排了“阅读与思考”的内容,肯在提高学生的数学文化素养,教师应引导学生通过查阅、 收集、整理、分析相关材料,增强信息处理的能力,培养探究精神,提高数学素养. 5.本章最后安排了实习作业,学生通过作业实践,体会函数模型的建立过程,真实感受数学的应用 价值. 教师可指导学生分组完成,并认真小结,展示、表扬优秀的作业,并借以充实自己的教学案例 .

三、教学内容与课时的安排建议 全章教学时间约需 9 课时. 3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用 实习作业 小结 3 课时 4 课时 1 课时 1 课时

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§3.1.1 方程的根与函数的零点 一、教学目标 1. 知识与技能 ①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的 判定条件. ②培养学生的观察能力. ③培养学生的抽象概括能力. 2. 过程与方法 ①通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到连续函数在某个 区间上存在零点的判断方法. ②让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 二、教学重点、难点 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 三、学法与教学用具 1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本 节课的教学目标。 2. 教学用具:投影仪。 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 1、 提出问题: 一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出) ①方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3
2
2 2

②方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1
2

③方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3
2

1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系,引出零点的概 念. 生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? (二) 互动交流 研讨新知 函数零点的概念:

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对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用 函数的性质找出零点. 1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论. 二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数
2

有两个零点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,
2

二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
2

3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象: ① 在区间 [?2,1] 上有零点______;

f (?2) ? _______, f (1) ? _______, f (?2) · f (1) _____0(<或>=) .
② 在区间 [2,4] 上有零点______;

f (2) · f (4) ____0(<或>=) .
3

(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

① 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; . f (a ) · f (b) _____0(<或>=) ② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

f (b) · f (c) _____0(<或>=) .
③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;

f (c) · f ( d ) _____0(<或>=) .
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间 的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析. 师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题 例 1、求函数 f(x)=㏑ x+2x -6 的零点个数。 问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对 函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数单调性判断 零点的个数. 2.P88 页练习第二题的(1) 、 (2)小题 (四) 、归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些; 2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。

4

(五) 、布置作业 P88 页练习第二题的(3) 、 (4)小题。

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