广东省深圳市2015年高三第二次调研考试数学文试卷


绝密★启用前

试卷类型:A

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的, 答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、 错涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.

2015.4

$ b? 参考公式: 用最小二乘法求线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a 的系数公式:

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n


2

$ a ? y ?$ bx ,其中 x , y 是数据的平均数.
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 1 ? 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1 i

2.平面向量 a ? (1, ? 2) , b ? (?2 , n) ,若 a // b ,则 n 等于 A. 4 B. ? 4 C. ? 1 D. 2

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷 第 1 页 共 6 页

x 3.已知集合 A ? x 1 ? x ? 0 , B ? x 2 ? 1 ,则 A I B ?

?

?

?

?

A. ? 4.命题 p : ?x0 ? 0 , x0 ? A . ?x ? 0 , x ?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. x x ? 0

?

?

D. x x ? 1

?

?

1 ? 2 ,则 ? p 为 x0

1 1 ?2 B. ?x ? 0 , x ? ? 2 x x 1 1 C. ?x ? 0 , x ? ? 2 D. ?x ? 0 , x ? ? 2 x x 5.已知直线 l ,平面 ? , ? , ? ,则下列能推出 ? // ? 的条件是
A. l ? ? , l // ? B. l // ? , l // ? C. ? ? ? , ? ? ? D. ? // ? , ? // ?

6.已知某路口最高限速 50km / h ,电子监控测得连续 6 辆汽车的速 度如图 1 的茎叶图(单位: km / h ) .若从中任取 2 辆, 则恰好有 1 辆汽车超速的概率为 A.

3 8 44 1 3 6 5 5 8
(图 1)

4 15 π 3

B.

2 5

C.

8 15

D.

3 5

7.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象向右平移 ? 个单位,得到的图象关于原点对称,则 ? 的 最小正值为 A.

π 6

B.

π 3

C.

5π 12

D.

7π 12

8.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 相切,则 此双曲线的离心率等于 A.

1 2

B. 2

C. 3

D. 2

9.如图 2 所示的程序框图的功能是求 2+ 2+ 2+ 2+ 2 的值,则框图中的①、②两处应 分别填写 A. i ? 5? , S ? 2 ? S B. i ? 5? , S ? 2 ? S C. i ? 5? , S ? 2 ? S D. i ? 5? , S ? 2 ? S ① 否 输出 S 结束
2015 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷 第 2 页 共 6 页

开始
S ? 2, i ? 1
i ? i ?1

② 是

(图 2)

10.定义在 [t, +?) 上的函数 f ( x ) , g ( x) 单调递增, f (t ) ? g (t ) ? M ,若对任意 k ? M ,

+?) 存在 x1 ? x2 , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? k 成立, 则称 g ( x) 是 f ( x ) 在 [t, 上的“追逐函数”.
已知 f ( x) ? x2 ,下列四个函数:① g ( x) ? x ;② g ( x) ? ln x ? 1 ;③ g ( x) ? 2x ? 1 ; ④ g ( x) ? 2 ? A. 1 个

1 .其中是 f ( x ) 在 [1 , +?) 上的“追逐函数”的有 x
B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为 必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答. 11.等差数列 {an } 中, a4 ? 4 ,则 2a1 ? a5 ? a9 ? .

?x ? 2 y ? 2 ? 12.若实数 x, y 满足 ? x ? 2 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 ?y ?1 ?



13.某几何体的三视图如图 3 所示,其中俯视图为半径为 2 的四分之一个圆弧,则该几何体 的体积为 .
2 2 主视图 2 2 左视图

俯视图

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的 得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,已知直线 l : ?

俯视图

图3

?x ? 1? s ( s 为参数)与 ?y ? 2 ? s

曲线 C : ?

?x ? t ? 3 ?y ? t
2

( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 AB ? _________.
B A

O 的两条 15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 、 AC 是⊙
切线,切点分别为 B 、 C .若 ?BAC ? 60? , BC ? 6 ,

?
C

O

O 的半径为 则⊙



(图 4)

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三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 sin(

1 π 11 ? A) ? , cos( π ? B) ? ? . 2 2 14

(1)求 sin A 与 B 的值; (2)若角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a ? 5 ,求 b , c 的值.

17. (本小题满分 12 分)

PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究
车流量与 PM2.5 的浓度是否相关, 现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的数据如下表: 时间 车流量 x (万辆) 周一 周二 周三 周四 周五

50 69

51 70

54 74

57 78

58 79

PM2.5 的浓度 y (微克/立方米)
y
80 78 76 74 72 70

(1)根据上表数据,请在下列坐标系中画出散点图;

x
O
50 52 54 56 58

(2)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a; (3)若周六同一时间段车流量是 25 万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此时

PM2.5 的浓度为多少(保留整数)?

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18. (本小题满分 14 分) 如图 5, ?ABC 是边长为 4 的等边三角形, ?ABD 是等腰直角三角形, AD ? BD , 平面 ABC ? 平面 ABD ,且 EC ? 平面 ABC , EC ? 2 . (1)证明: DE // 平面 ABC ; (2)证明: AD ? BE .
D E

B

A
(图 5)

C

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? ?2 , an?1 ? 3Sn ? 2 ? 0 ( n ? N ).
*

(1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在整数对 (m, n) ,使得等式 an 2 ? m ? an ? 4m ? 8 成立?若存在,请求出所 有满足条件的 (m, n) ;若不存在,请说明理由.

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20. (本小题满分 14 分) 已知平面上的动点 P 与点 N ( 0,1) 连线的斜率为 k1 ,线段 PN 的中点与原点连线的斜 率为 k 2 , k 1k 2 ? ?

1 ( m ? 1 ),动点 P 的轨迹为 C . m2

(1)求曲线 C 的方程; (2)恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆:①以曲线 C 的弦 AB 为直径; ②过点 N ;③直径 AB ? 2 NB .求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)求 a , b 的关系式; (2) 若 f ( x) 存在两个极值点 x1 ,x2 , 且 x1 ? x2 , 求出 a 的取值范围并证明 f ( (3)在(2)的条件下,判断 y ? f ( x) 零点的个数,并说明理由.

b 1 (a, b ? R ) ,且对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( ) ? 0 . x x

a2 ) ? 0; 2

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