2014年12月24日senserhhg的高中数学组卷


2014 年 12 月 24 日 senserhhg 的高中数学组卷
一.选择题(共 14 小题) 1. (2014?乌鲁木齐二模)已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( A.﹣1 B.1 C.﹣5 D.5 )

2.已知双曲线

的两条渐近线为 l1,l2,过右焦点 F 作垂直 l1 的直线交 l1,l2 于 A,B 两 ) D.

点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,则双曲线的离心率为( A. B. C.

3. (2014?重庆模拟)点 P 是双曲线

(a>0,b>0)左支上的一点,其右焦点为 F(c,0) ,若 M 为线

段 FP 的中点,且 M 到坐标原点的距离为 A.(1,8] B.

,则双曲线的离心率 e 范围是( C.

) D.(2,3]

4.设函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= A. a< B. a< 且 a≠﹣1 C. a> 或 a<﹣1

,则 a 的取值范围是( D. ﹣1<a<



5. (2011?江西模拟)已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=αsin(

)﹣2α+2(α>0) ,若

存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 α 的取值范围是( A. B. C. [ ] (0, ] [ ]

) D. [ ,1]

7. (2014?吉林三模)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且 与平面 D1EF 平行的直线( )

A.不存在

B.有 1 条
2 2 2

C .有 2 条

D.有无数条
2

8. 已知点 M (a, b) (ab≠0) 是圆 x +y =r 内一点, 直线 g 是以 M 为中点的弦所在直线, 直线 l 的方程为 ax+by+r =0, 则直线 l( )

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www.jyeoo.com A.l∥ g,且与圆相切

B.l∥ g,且与圆相离

C.l⊥ g,且与圆相切

D.l⊥ g,且与圆相离

9.已知椭圆 A.

上到点 A(0,b)距离最远的点是 B(0,﹣b) ,则椭圆的离心率的取值范围为( B. C. D.



10. (2013?朝阳区一模)已知函数 f(x)=2x+1,x∈N .若

*

,使 f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63 ) D.4 个

成立,则称(x0,n)为函数 f(x)的一个“生成点”.函数 f(x)的“生成点”共有( A .1 个 B.2 个 C .3 个

11. (2013?聊城二模)椭圆

的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的 ) D.

点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( A. B. C.

12.已知曲线

左、右焦点分别为 F1、F2,若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18,N 是 ) C .2 ,则 sin α﹣sinαcosα 的值是( B. C.﹣2
2

MF2 的中点,O 为坐标原点,则|NO|等于( A .3 B.1 13. (2014?潍坊模拟)已知 A.

D.4 ) D.2

14. (2014?潍坊模拟)已知圆 C1:x +y +4ax+4a ﹣4=0 和圆 C2:x +y ﹣2by+b ﹣1=0 只有一条公切线,若 a,b∈R 且 ab≠0,则 A .2 二.填空题(共 6 小题)
*

2

2

2

2

2

2

+

的最小值为( B.4

) C .8 D.9

15.已知数列{an},{bn}满足 a1=2,b1=1, 为 _________ .

(n≥2,n∈N )则(a3+b3)?(a4﹣b4)的值

16. (理做)函数 f(x)= 取值范围是 _________ .

,若函数 f(x)的图象与直线 y=k 至少有一个交点,则 k 的

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18.过双曲线



=1(a>0)的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、右两支各有

一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 _________ . 19.已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣a) =1(a>0)与直线 y=3x 相交于 P,Q 两点,则当△ CPQ 的面积最大时,此时实 数 a 的值为 _________ .
2 2

三.解答题(共 10 小题) 21. (2014?余姚市模拟)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,并且经过定点 P( , ) .

(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )设 A,B 为椭圆 E 的左右顶点,P 为直线 l:x=4 上的一动点(点 P 不在 x 轴上) ,连 AP 交椭圆于 C 点,连 PB 并延长交椭圆于 D 点,试问是否存在 λ,使得 S△ACD=λS△BCD 成立,若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

22.已知曲线 C1:

,曲线 C2:

.曲线 C2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦点.

(Ⅰ )求 λ 的值; (Ⅱ )设 P(x0,y0)为曲线 C2 上一点,过点 P 作直线交曲线 C1 于 A,C 两点.直线 OP 交曲线 C1 于 B,D 两点.若 P 为 AC 中点. ① 求证:直线 AC 的方程为 x0x+2y0y=2; ② 求四边形 ABCD 的面积.

23. (2014?上海)已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an,n∈N ,a1=1. (1)若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围; (2)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若 Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N ,求 q 的取值范围. (3) 若 a1, a2, …ak 成等差数列, 且 a1+a2+…ak=1000, 求正整数 k 的最大值, 以及 k 取最大值时相应数列 a1, a2, …ak 的公差. 25.如图,从椭圆 =1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,且它的长轴端点 A
*

*

及短轴端点 B 的连线 AB 平行于 OM,
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www.jyeoo.com (1)求椭圆的离心率; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F2 是右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围; (3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2⊥ AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△ F1PQ 的面积为 4 方程. ,求此时的椭圆

26.已知椭圆 C:

的离心率为

,椭圆 C 上的点到左焦点 F 距离的最小值与最大值之积

为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过椭圆 C 内一点 M(m,0) ,与椭圆 C 交于 P、Q 两点.对给定的 m 值,若存在直线 l 及直线母 x=﹣2 上的点 N,使得△ PNQ 的垂心恰为点 F,求 m 的取值范围.

27.设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=nan﹣2n(n﹣1) .等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,公比为 a1,且 T5=T3+2b5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Mn,求证: ≤Mn< .

28. (2014?海南模拟)已知直线 y=﹣x+1 与椭圆

+

=1(a>b>0)相交于 A、B 两点.

① 若椭圆的离心率为 ② 若向量 与向量

,焦距为 2,求线段 AB 的长; 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e∈[ , ]时,求椭圆的长轴长的最大值.

29.已知椭圆 M:

,直线 y=kx(k≠0)与椭圆 M 交于 A、B 两点,直线

与椭圆 M

交于 C、D 两点,P 点坐标为(a,0) ,直线 PA 和 PB 斜率乘积为 (1)求椭圆 M 离心率; (2)若弦 AC 的最小值为 ,求椭圆 M 的方程.



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www.jyeoo.com 30.设椭圆 C1: + =1(a>b>0)的一个顶点与抛物线 C2:x =4
2

y 的焦点重合,F1,F2 分别是椭圆的左、

右焦点,离心率 e= ,过椭圆右焦点 F2 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )是否存在直线,使得 ? =﹣2,若存在求出直线的方程;若不存在,说明理由.

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一.选择题(共 14 小题) 1. (2014?乌鲁木齐二模)已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( A.﹣1 B.1 C.﹣5 D.5



考点: 函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=f(x)+x 是偶函数,可知 f(﹣2)+(﹣2)=f(2)+2,而 f(2)=1,从而可求出 f(﹣2)的 值. 解答: 解:令 y=g(x)=f(x)+x, ∵ f(2)=1, ∴ g(2)=f(2)+2=1+2=3, ∵ 函数 g(x)=f(x)+x 是偶函数, ∴ g(﹣2)=3=f(﹣2)+(﹣2) ,解得 f(﹣2)=5. 故选 D. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性,以及抽象函数及其应用,同时考查了转化的思想,属于基础题.
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2.已知双曲线

的两条渐近线为 l1,l2,过右焦点 F 作垂直 l1 的直线交 l1,l2 于 A,B 两 ) D.

点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,则双曲线的离心率为( A. B. C.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定渐近线的夹角范围,求出离心率的范围,再用勾股定理得出直角三角形的 2 个直角边的长度比,联想 到渐近线的夹角,求出渐近线的斜率,进而求出离心率. 解答: 解:不妨设 , 同向,则渐近线的倾斜角为(0, ) ,
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∴ 渐近线斜率为:k′ <1, ∴ =e ﹣1<1, ∴ 1<e <2, 2 ∴ |AB| =(|OB|﹣|OA|) (|OB|+|OA|)=(|OB|﹣|OA|)2|AB|, ∴ |AB|=2(|OB|﹣|OA|) , ∵ |OA|+|OB|=2|AB|, ∴ |OA|= |AB|, ∴ = ,
2 2

而在直角三角形 OAB 中,注意到三角形 OAF 也为直角三角形,即 tan∠ AOB= 而由对称性可知:OA 的斜率为 k=tan( ﹣ ∠ AOB)

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www.jyeoo.com ∴ = ,∴ 2k +3k﹣2=0,∴ k= (k=﹣2 舍去) ;
2

∴= ,



∴ e=



故选:A. 点评: 本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质,做到边做边看,从而发现题中的巧妙,如据 联想到对应的是渐近线的夹角的正切值,是解题的关键. = ,

3. (2014?重庆模拟)点 P 是双曲线

(a>0,b>0)左支上的一点,其右焦点为 F(c,0) ,若 M 为线

段 FP 的中点,且 M 到坐标原点的距离为 A.(1,8] B.

,则双曲线的离心率 e 范围是( C.

) D.(2,3]

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 直接利用双曲线的定义,结合三角形的中位线定理,推出 a,b,c 的关系,求出双曲线的离心率. 解答: 解:设双曲线的左焦点为 F1,因为点 P 是双曲线 (a>0,b>0)左支上的一点,
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其右焦点为 F(c,0) ,若 M 为线段 FP 的中点,且 M 到坐标原点的距离为 由三角形中位线定理可知:OM= PF1,PF1=PF﹣2a,PF≥a+c. 所以 ,1 .



故选 B. 点评: 本题是中档题,考查双曲线的基本性质,找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系,得到 PF≥a+c.是解 题的关键.

4.设函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= A. a< B. a< 且 a≠﹣1 C. a> 或 a<﹣1

,则 a 的取值范围是( D. ﹣1<a<



考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 先利用函数 f(x)是定义在实数集上的以 3 为周期的奇函数得 f(2)=f(﹣1)=﹣f(1) ,再利用 f(1)> 1 代入即可求 a 的取值范围.
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www.jyeoo.com 解答: 解:因为函数 f(x)是定义在实数集上的以 3 为周期的奇函数, 所以 f(2)=f(﹣1)=﹣f(1) . 又因为 f(1)>1,故 f(2)<﹣1, 即 <﹣1?

解可得﹣1<a< . 故选 D. 点评: 本题主要考查了函数的周期性,以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法,属于基础题.

5. (2011?江西模拟)已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=αsin(

)﹣2α+2(α>0) ,若

存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 α 的取值范围是( A. B. C. [ ] (0, ] [ ]

) D. [ ,1]

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据 x 的范围确定函数 f(x)的值域和 g(x)的值域,进而根据 f(x1)=g(x2)成立,推断出
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,先看当二者的交集为空集时刻求得 a 的范围,进而可求得当集合的交集 非空时 a 的范围. 解答: 解:当 x∈[0,1]时,f(x)= ,值域是[0,1],

值域是 ∵ 存在 x1、x2∈[0,1]使得 f(x1)=g(x2)成立, ∴ 若 ∴ a 的取值范围是 . , ,则 2﹣2a>1 或 2﹣ <0,即





故选 A 点评: 本题主要考查了三角函数的最值,函数的值域问题,不等式的应用,解题的关键是通过看两函数值域之间 的关系来确定 a 的范围.

9.已知椭圆 A.

上到点 A(0,b)距离最远的点是 B(0,﹣b) ,则椭圆的离心率的取值范围为( B. C. D.



考点: 椭圆的简单性质.

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www.jyeoo.com 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: 设点 P(x,y)是椭圆上的任意一点,利用两点间的距离公式可得:|PA| =x +(y﹣b)
2

=

=

=f(y) ,由于椭圆上的点 P 到点 A(0,b)距

离最远的点是 B(0,﹣b) ,利用二次函数的单调性可知:f(y)在(﹣b,b)单调递减,可得 即可得出离心率的取值范围. 解答: 解:设点 P(x,y)是椭圆上的任意一点, 则 ,化为 .



∴ |PA| =x +(y﹣b) =

2

2

2

=

=f(y) ,

∵ 椭圆上的点 P 到点 A(0,b)距离最远的点是 B(0,﹣b) , 由二次函数的单调性可知:f(y)在(﹣b,b)单调递减, ∴
2 2 2


2 2 2

化为 c ≤b =a ﹣c ,即 2c ≤a , ∴ .

又 e>0. ∴ 离心率的取值范围是 .

故选:C. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法, 属于难题. 10. (2013?朝阳区一模)已知函数 f(x)=2x+1,x∈N .若
*

,使 f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63 ) D.4 个

成立,则称(x0,n)为函数 f(x)的一个“生成点”.函数 f(x)的“生成点”共有( A .1 个 B.2 个 C .3 个

考点: 函数的值;数列的求和. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 由 f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63,得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+…+[2(x0+n)+1]=63,化简可得(n+1)
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(2x0+n+1)=63,由

,得



,解出即可.

解答: 解:由 f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63, 得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+…+[2(x0+n)+1]=63 所以 2(n+1)x0+2(1+2+…n)+(n+1)=63,即(n+1) (2x0+n+1)=63, 由 ,得 或 ,解得 或 ,

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www.jyeoo.com 所以函数 f(x)的“生成点”为(1,6) , (9,2) . 故选 B. 点评: 本题考查数列求和及函数求值,考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力.

11. (2013?聊城二模)椭圆

的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的 ) D.

点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( A. B. C.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分等腰三角形△ F1F2P 以 F1F2 为底和以 F1F2 为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为 2c 的 圆与椭圆位置关系的判断,建立关于 a、c 的不等式,解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围. 解答: 解:① 当点 P 与短轴的顶点重合时,
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△ F1F2P 构成以 F1F2 为底边的等腰三角形, 此种情况有 2 个满足条件的等腰△ F1F2P; ② 当△ F1F2P 构成以 F1F2 为一腰的等腰三角形时, 以 F2P 作为等腰三角形的底边为例, ∵ F1F2=F1P, ∴ 点 P 在以 F1 为圆心,半径为焦距 2c 的圆上 因此,当以 F1 为圆心,半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时, 存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P, 此时 a﹣c<2c,解得 a<3c,所以离心率 e 当 e= 时,△ F1F2P 是等边三角形,与① 中的三角形重复,故 e≠ 同理,当 F1P 为等腰三角形的底边时,在 e 且 e≠ 时也存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P

这样,总共有 6 个不同的点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形 综上所述,离心率的取值范围是:e∈( , )∪ ( ,1)

点评: 本题给出椭圆的焦点三角形中, 共有 6 个不同点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形, 求椭圆离心率 e 的取值范围. 着 重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.

12.已知曲线

左、右焦点分别为 F1、F2,若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18,N 是 )
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MF2 的中点,O 为坐标原点,则|NO|等于(

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www.jyeoo.com A .3

B.1

C .2

D.4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 利用 ON 是△ MF1F2 的中位线,ON= MF1,再由双曲线的定义求出 MF1,进而得到 ON 的值.
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解答: 解:∵ 曲线 左、右焦点分别为 F1、F2,

左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18,N 是 MF2 的中点, 连接 MF1,ON 是△ MF1F2 的中位线,∴ ON∥ MF1,ON= MF1, ∵ 由双曲线的定义知,MF2﹣MF1=2×5,∴ MF1=8. ON=4, 故答案选 D. 点评: 本题考查双曲线的定义和性质. 二.填空题(共 6 小题)
*

15.已知数列{an},{bn}满足 a1=2,b1=1,

(n≥2,n∈N )则(a3+b3)?(a4﹣b4)的值





考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据递推式,一次求出 a2,a3,b2,b3,a4,b4 后代入即可解得. 解答:
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解:∵ a1=2,b1=1,

(n≥2,n∈N )

*

∴ , ∴



, ,





∴ (a3+b3)?(a4﹣b4) = = .

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www.jyeoo.com 故答案为: . 点评: 本题考查数列递推式的应用和基本运算能力,属于基础题. 18.过双曲线 ﹣ =1(a>0)的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、右两支各有 , ) .

一个交点; 当直线斜率为 3 时, 直线与双曲线右支有两个不同交点, 则双曲线离心率的取值范围是 ( 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定双曲线的渐近线斜率 2< <3,再根据 =
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,即可求得双曲线离心率的取值范围.

解答:

解:由题意可得双曲线的渐近线斜率 2< <3, ∵= ∴ <e< ∴ 双曲线离心率的取值范围为( 故答案为: ( , ) .



) . ,属于中档题.

点评:

本题考查双曲线的性质,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用 =

三.解答题(共 10 小题) 21. (2014?余姚市模拟)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,并且经过定点 P( , ) .

(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )设 A,B 为椭圆 E 的左右顶点,P 为直线 l:x=4 上的一动点(点 P 不在 x 轴上) ,连 AP 交椭圆于 C 点,连 PB 并延长交椭圆于 D 点,试问是否存在 λ,使得 S△ACD=λS△BCD 成立,若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ )由已知条件推导出 且
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,由此能求出椭圆 E 的方程.

(Ⅱ )设 P(4,y0) ,直线 AP 的方程为:

,代入椭圆,得

.由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在 λ=3,使得 S△ACD=λS△BCD 成立. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,并且经过定点 P( , ) ,


2


2

,又 c =a ﹣b

2

2

2

解得:a =4,b =1,
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www.jyeoo.com ∴ 椭圆 E 的方程为 (1)

(Ⅱ )存在 λ=3,使得 S△ACD=λS△BCD 成立 设 P(4,y0) (y0≠0) ,又 A(﹣2,0) ,则

故直线 AP 的方程为:

,代入方程(1)并整理得:



由韦达定理:





,∴



同理可解得: 故直线 CD 的方程为 y=kCD(x﹣xC)+yC, 即

,∴



,∴ 直线 CD 恒过定点(1,0) .





故 λ=3. 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数是否存在的判断,解题时要认真审题,注意函数与方程思 想的合理运用.

22.已知曲线 C1:

,曲线 C2:

.曲线 C2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦点.

(Ⅰ )求 λ 的值; (Ⅱ )设 P(x0,y0)为曲线 C2 上一点,过点 P 作直线交曲线 C1 于 A,C 两点.直线 OP 交曲线 C1 于 B,D 两点.若 P 为 AC 中点. ① 求证:直线 AC 的方程为 x0x+2y0y=2; ② 求四边形 ABCD 的面积.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
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www.jyeoo.com 分析: (Ⅰ )由已知条件推导出

,由此能求出



(Ⅱ )① 由已知条件推导出

,直线 OP:y=

,联立

,得

,由此能证明直线 AC 的方程为 x0x+2y0y=2.

② 联立方程组

,得

,由此能求出四边形 ABCD 的面积为 4.

解答: (本题满分 15 分) (Ⅰ )解:∵ 曲线 C1: ,曲线 C2: ,

曲线 C2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦点, ∴ 解得 , (5 分)

(Ⅱ )① 证明:∵

,∴





∵ P(x0,y0)为曲线 C2 上一点, 过点 P 作直线交曲线 C1 于 A,C 两点.直线 OP 交曲线 C1 于 B,D 两点. ∴ ,直线 OP:y= ,

联立

,得

(7 分)

由 即 x0x+2y0y=2, , ,



符合 x0x+2y0y=2, ∴ 直线 AC 的方程为 x0x+2y0y=2. (9 分)

② 解:联立方程组







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www.jyeoo.com 即 (11 分)



=

=



∵ B,D 到 AC 距离

(13 分)



=4, (14 分)

当 y0=0 时,ABCD 面积也为 4. 综上:四边形 ABCD 的面积为 4. (15 分) 点评: 本题考查实数值的求法,考查直线方程的证明,考查四边形面积的求法,解题时要认真审题,注意点到直 线的距离公式的合理运用. 23. (2014?上海)已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an,n∈N ,a1=1. (1)若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围; (2)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若 Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N ,求 q 的取值范围. (3) 若 a1, a2, …ak 成等差数列, 且 a1+a2+…ak=1000, 求正整数 k 的最大值, 以及 k 取最大值时相应数列 a1, a2, …ak 的公差. 考点: 等比数列的性质;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)依题意: ,又
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*

*

将已知代入求出 x 的范围; 求出 ,对 q 分类讨论求出 Sn 分别代入不等式

(2)先求出通项:

,由

Sn≤Sn+1≤3Sn,得到关于 q 的不等式组,解不等式组求出 q 的范围. (3)依题意得到关于 k 的不等式,得出 k 的最大值,并得出 k 取最大值时 a1,a2,…ak 的公差. 解答: 解: (1)依题意: ∴ ;又 ,

∴ 3≤x≤27, 综上可得:3≤x≤6 (2)由已知得, ∴ , , ,

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www.jyeoo.com 当 q=1 时,Sn=n, Sn≤Sn+1≤3Sn,即 ,成立.

当 1<q≤3 时,

, Sn≤Sn+1≤3Sn,即





不等式 ∵ q>1,故 3q ﹣q ﹣2=q (3q﹣1)﹣2>2q ﹣2>0 对于不等式 q 2 得 q ﹣3q+2≤0, 解得 1≤q≤2,又当 1≤q≤2,q﹣3<0,
n+1 n n n+1 n n n n+1

﹣3q +2≤0,令 n=1,

n

∴ q ﹣3q +2=q (q﹣3)+2≤q(q﹣3)+2=(q﹣1) (q﹣2)≤0 成立, ∴ 1<q≤2, 当 时,

, Sn≤Sn+1≤3Sn,即



∴ 此不等式即 3q﹣1>0,q﹣3<0,



3q ﹣q ﹣2=q (3q﹣1)﹣2<2q ﹣2<0, n+1 n n q ﹣3q +2=q (q﹣3)+2≥q(q﹣3)+2=(q﹣1) (q﹣2)>0 ∴ 时,不等式恒成立, . ,且 a1=1,

n+1

n

n

n

上,q 的取值范围为:

(3)设 a1,a2,…ak 的公差为 d.由 得



当 n=1 时,﹣ ≤d≤2; 当 n=2,3,…,k﹣1 时,由 所以 d≥ 所以 1000=k 得 k≤1999 , ,即 k ﹣2000k+1000≤0,
2

,得 d≥



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www.jyeoo.com 所以 k 的最大值为 1999,k=1999 时,a1,a2,…ak 的公差为﹣ .

点评: 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和的求法;考查不等式组的解法;找好分类讨论的起点是解决本题 的关键,属于一道难题.

25.如图,从椭圆

=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,且它的长轴端点 A

及短轴端点 B 的连线 AB 平行于 OM, (1)求椭圆的离心率; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F2 是右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围; (3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2⊥ AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△ F1PQ 的面积为 4 方程. ,求此时的椭圆

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过求解 F(﹣c,0) ,

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,利用 AB∥ OM,推出关系式,即可求解离心率. ﹣1,推出 cos∠ F1QF2≥0,得到∠ F1QF2 的取值范围.

(2)在△ F1QF2 中,利用余弦定理求出 cos∠ F1QF2=

(3)由(1)知,b=c,设椭圆方程为

,得到直线 PQ 的方程为

,联立方程组

,设 Q(x1,y1) ,P(x2,y2) ,通过韦达定理得,利用写出公式求出 QP,由点 F1 到 QP
2

的距离,通过三角形的面积求出 c =5,得到椭圆方程. 解答: 解: (1)F(﹣c,0) , ,

因为 AB∥ OM, 则 .

,得 b=c, (2 分)

(2)在三角形 F1QF2 中,由余弦定理得:cos∠ F1QF2=

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www.jyeoo.com =

=

﹣1

﹣1=

﹣1,

又因为 a =2b ,所以 cos∠ F1QF2≥0, 即 . (5 分)

2

2

(3)由(1)知,b=c,故设椭圆方程为





因为 QF2⊥ AB,所以

,故直线 PQ 的方程为

, (6 分)

联立方程组

,整理得 5x ﹣8cx+2c =0,记△ =24c >0,

2

2

2

设 Q(x1,y1) ,P(x2,y2) , 由韦达定理得: , = 又点 F1 到 QP 的距离 所以 =
2

, ?|x2﹣x1|= c(8 分)

c, = .

所以 c =5,故椭圆方程为

. (10 分)

点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,三角形的面积的求法,弦长公式的应用,考查转化思想以及计算 能力.

26.已知椭圆 C:

的离心率为

,椭圆 C 上的点到左焦点 F 距离的最小值与最大值之积

为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过椭圆 C 内一点 M(m,0) ,与椭圆 C 交于 P、Q 两点.对给定的 m 值,若存在直线 l 及直线母 x=﹣2 上的点 N,使得△ PNQ 的垂心恰为点 F,求 m 的取值范围.

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www.jyeoo.com 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆离心率为 ,椭圆 C 上的点到左焦点 F 距离的最小值与最大值之积为 1,建立方程组,即
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可求椭圆 C 的方程; (2)直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,△ PNQ 的垂心恰为点 F,建立等式,即可求 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由条件得 ,解得 a= ,b=c=1

∴ 椭圆 C 的方程为

. .
2 2 2

(2)由条件知,F(﹣1,0) ,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,N(﹣2,y1) ,则由

得(λ +2)y +2λmy+m ﹣2=0,



知△ >0 恒成立,且





由 PQ⊥ NF 得 y1=λ, (1) 由 NQ⊥ PF 得
2

, (2)

由(1) (2)式化简得, (λ +1)y1y2+λ(m+1) (y1+y2)+(m+1) (m+2)=0 2 2 化简得,mλ =﹣(3m +6m+2) (显然 m≠0) , 由 λ ≥0, ∴ m 的取值范围[
2

得,解得 ) .



点评: 本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 27.设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=nan﹣2n(n﹣1) .等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,公比为 a1,且 T5=T3+2b5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Mn,求证: ≤Mn< .

考点: 反证法与放缩法;数列递推式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)根据 T5=T3+2b5 ,求得 b4=b5,得到公比 a1=
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=1,再由当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1 可得数列{an}是以 1

为首项,以 4 为公差的等差数列,由此求得数列{an}的通项公式.
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www.jyeoo.com (2)用裂项法求得 Mn = (1﹣ )< ,再由数列{ Mn }是增数列,可得 Mn≤M1= ,从而命题得证.

解答: 解: (1)∵ 等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,公比为 a1,且 T5=T3+2b5 ,∴ b4+b5=2b5, ∴ b4=b5,∴ 公比 a1= =1,故等比数列{bn}是常数数列.

数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=nan﹣2n(n﹣1) ,当 n≥2 时, an=sn﹣sn﹣1=nan﹣2n(n﹣1)﹣[(n﹣1)an﹣1﹣2(n﹣1) (n﹣2)],∴ an﹣an﹣1=4 (n≥2) . ∴ 数列{an}是以 1 为首项,以 4 为公差的等差数列,an=4n﹣3. (2)∵ 数列{ = ∴ Mn = [1﹣ + + +…+ }的前 n 项和为 Mn, = ]= (1﹣ = )< . ,

再由数列{ Mn }是增数列,∴ Mn≥M1= . 综上可得, ≤Mn< . 点评: 本题主要考查数列的递推公式的应用,用放缩法证明不等式,属于难题.

28. (2014?海南模拟)已知直线 y=﹣x+1 与椭圆

+

=1(a>b>0)相交于 A、B 两点.

① 若椭圆的离心率为 ② 若向量 与向量

,焦距为 2,求线段 AB 的长; 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e∈[ , ]时,求椭圆的长轴长的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题: 综合题. 分析: (1)由椭圆的离心率为

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,焦距为 2,求出椭圆的方程为

.联立

,消去 y 得:5x

2

﹣6x﹣3=0,再由弦长公式能求求出|AB|.
2 2 2

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由
2 2 2 2

,知 x1x2+y1y2=0,由
2 2 2

,消去 y 得(a +b )x ﹣
2 2

2a x+a (1﹣b )=0,再由根的判断式得到 a +b >1,利用韦达定理,得到 a +b ﹣2a b =0.由此能够推导 出长轴长的最大值. 解答: 解: (1)∵ ∴ a= ,b= ,2c=2, ,

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www.jyeoo.com ∴ 椭圆的方程为 .…(2 分)

联立

,消去 y 得:5x ﹣6x﹣3=0,

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∴ |AB|= = ?





=

.…(5 分)

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵ ,∴ ,

即 x1x2+y1y2=0,
2 2 2 2 2 2


2

,消去 y 得(a +b )x ﹣2a x+a (1﹣b )=0,
2 2 2 2 2 2 2

由△ =(﹣2a ) ﹣4a (a +b ) (1﹣b )>0,整理得 a +b >1…(7 分) ∵ , ,

∴ y1y2=(﹣x1+1) (﹣x2+1)=x1x2﹣(x1+x2)+1, ∴ x1x2+y1y2=0,得:2x1x2﹣(x1+x2)+1=0, ∴
2 2 2 2



整理得:a +b ﹣2a b =0.…(9 分) 2 2 2 2 2 2 ∴ b =a ﹣c =a ﹣a e ,代入上式得 2a =1+
2

,∴

,…(10 分)

∵ ∴

, ,∴ ,



,∴





适合条件 a +b >1.

2

2

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www.jyeoo.com 由此得 ,∴ ,

故长轴长的最大值为 .…(12 分) 点评: 本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意向量垂直的条件、韦达定 理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用.

29.已知椭圆 M:

,直线 y=kx(k≠0)与椭圆 M 交于 A、B 两点,直线

与椭圆 M

交于 C、D 两点,P 点坐标为(a,0) ,直线 PA 和 PB 斜率乘积为 (1)求椭圆 M 离心率; (2)若弦 AC 的最小值为 ,求椭圆 M 的方程.



考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:

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(1)设 A(x1,y1) ,由对称性得 B(﹣x1,﹣y1) .将 A(x1,y1)代入椭圆可得

.利

用斜率计算公式可得 kPA?kPB= (2)由(1)
2 2 2

,再利用已知
2 2 2

,a =b +c 及

2

2

2

即可得出;

可得 a =2b ,于是椭圆方程可化为 x +2y =a ,与直线 AC 的方程联立可得 A,C 的坐

标,进而得到|AC| ,再利用基本不等式即可得出. 解答: 解: (1)设 A(x1,y1) ,由对称性得 B(﹣x1,﹣y1) . 将 A(x1,y1)代入椭圆得 ,∴ .

∴ 又 ,





,∴






2 2 2

(2)椭圆方程可化为 x +2y =a ,联立

解得



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www.jyeoo.com 设 O 为坐标原点,则|OA| =
2



同理可得|OC| =

2



∴ |AC| =

2

+

=

=



当且仅当 k =1 即 k=±1 时取等号,此时 ∴ a =2. ∴ 椭圆方程为 .
2

2



点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立,两点间的距离公式、基本不等式 等基础知识与基本技能方法,属于难题.

30.设椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线 C2:x =4

2

y 的焦点重合,F1,F2 分别是椭圆的左、

右焦点,离心率 e= ,过椭圆右焦点 F2 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )是否存在直线,使得 ? =﹣2,若存在求出直线的方程;若不存在,说明理由.

考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 综合题;向量与圆锥曲线. 分析: (1)确定椭圆的一个顶点坐标,结合离心率,即可求得椭圆 C 的方程; (2)分类讨论,设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,及向量数量积公式,即可求得结论. 解答: 解: (1)抛物线 C2: 的焦点坐标为(0, ) ,
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∴ 椭圆的一个顶点为(0, ∵

) ,即 b=

,∴ a=2,

∴ 椭圆的标准方程为



(2)由题意,直线 l 与椭圆必相交 ① 斜率不存在时,直线 l 为 x=1,代入椭圆方程,可得 y= ,∴ ,不合题意;

② 斜率存在时,设方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 2 2 2 2 直线方程代入椭圆方程,消去 y 可得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0
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www.jyeoo.com ∴ x1+x2= ,x1x2= ,



=x1x2+y1y2=x1x2+k [x1x2﹣(x1+x2)+1]=

2

+k (

2



+1)=

=

﹣2 ∴ k= , 故直线 l 的方程为 y= (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1) . 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,属于中档题.

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