【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第十一章 计数原理与概率11-1 Word版含解析


基础达标检测 一、选择题 1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一 个小组,则不同的报名方法共有( A.10 种 C.25 种 [答案] D [解析] =32 种. 2. 从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会, 则不同的选法为( A.6 种 C.3 种 [答案] B [解析] 有 3+2=5 种. 3.(2012· 全国大纲)6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也 不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( A.240 种 C.480 种 [答案] C [解析] 本题考查了排列问题的应用.由题意,甲可从 4 个位置选
1 5 择一个,其余元素不限制,所以所有不同次序共有 A4 A5=480.利用特

) B.20 种 D.32 种

因为每人均有两种选择方法,所以不同的报名方法有 25

) B.5 种 D.2 种

)

B.360 种 D.720 种

殊元素优先安排的原则分步完成得到结论.

4.某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码,某人采用千位、百位上 的数字之积作为十位、个位上的数字(如 2 816)的方法设计密码,当积 为一位数时,十位上数字选 0,千位、百位上都能取 0.这样设计出来的 密码共有( A.90 个 C.100 个 [答案] C [解析] 由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定,则只 考虑千位、百位即可,千位、百位各有 10 种选择,所以有 10×10= 100(个). 5.(2013· 福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2 +2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( A.14 C.12 [答案] B [解析] ①当 a=0 时,2x+b=0 总有实数根, ∴(a,b)的取值有 4 个. ②当 a≠0 时,需 Δ=4-4ab≥0,∴ab≤1. a=-1 时,b 的取值有 4 个, a=1 时,b 的取值有 3 个, a=2 时,b 的取值有 2 个. ∴(a,b)的取法有 9 个. 综合①②知,(a,b)的取法有 4+9=13 个. 6. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里, 使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方 B.13 D.10 ) ) B.99 个 D.112 个

法有(

) B.20 种 D.52 种

A.10 种 C.36 种 [答案] A [解析] 分为两类:

①1 号盒子放入 1 个球,2 号盒子放入 3 个球,有 C1 4=4 种放球方 法; ②1 号盒子放入 2 个球,2 号盒子放入 2 个球,有 C2 4=6 种放球方 法.
1 2 ∴共有 C4 +C4 =10 种不同的放球方法.

二、填空题 7.(原创题)美女换装游戏中,有 5 套裙子,4 双鞋子,3 顶帽子, 要求裙、鞋、帽必须且只能各选择一件,则有________种装扮方案. [答案] 60 [解析] 根据分步计数原理知,有 5×4×3=60 种. 8.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人, 分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的 第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第 3,4 名,大师赛 共有________场比赛. [答案] 16 [解析] 小组赛共有 2C2 4场比赛;半决赛和决赛共有 2+2=4 场比 赛;根据分类加法计数原理共有 2C2 4+4=16 场比赛. 9.农科院小李在做某项试验中,计划从花生、大白菜、大豆、玉 米、小麦、高粱这 6 种种子中选出 4 种,分别种植在 4 块不同的空地 上(1 块空地只能种 1 种作物),若小李已决定在第 1 块空地上种玉米或

高粱,则不同的种植方案有________种.(用数字作答) [答案] 120
1 [解析] 由已知条件可得第 1 块地有 C2 种种植方法,则第 2~4 块 3 地共有 A5 种种植方法,由分步乘法计数原理可得,不同的种植方案有 3 C1 2A5=120 种.

三、解答题 10.乒乓球队的 10 名队员有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛,按 出场次序,3 名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,求不同的出场安排的种数. [解析] 解法 1:按出场次序逐一安排.第一位置队员的安排有 3 种方法;第二位置队员的安排有 7 种方法;第三位置队员的安排有 2 种方法;第四位置队员的安排有 6 种方法;第五位置队员的安排只有 1 种方法.由分步计数原理,得不同的出场安排种数为 3×7×2×6×1 =252. 解法 2:按主力与非主力,分两步安排.第一步安排 3 名主力队员
3 在第一、三、五位置上,有 A3 种方法;第二步安排 7 名非主力队员中 2 的 2 名在第二、四位置上,有 A7 种方法. 3 由分步计数原理,得不同的出场安排种数为 A3 ×A2 7=252.

能力强化训练 一、选择题 1.如图,A、B、C、D 为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个 村庄连起来,则不同的修筑方法共有( )

A.8 种 C.16 种 [答案] C

B.12 种 D.20 种

[解析] 修筑方案可分为两类,一类是“折线型”,用三条公路把 1 四个村庄连在一条曲线上(如图(1),A-B-C-D),有2A4 4种方法;另 一类是“星型”,以某一个村庄为中心,用三条公路发散状连接其他 三个村庄(如图(2),A-B,A-C,A-D),有 4 种方法.共有 12+4= 16 种方法.

2.(2014· 汕头模拟)如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色共有 ( )

A.400 种 C.480 种 [答案] C

B.460 种 D.496 种

[解析] 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D 有 4 种, ∴不同涂法有 6×5×4×4=480(种),故选 C. 二、填空题 x2 y2 3 .椭圆 m + n = 1 的焦点在 y 轴上,且 m ∈ {1,2,3,4,5} , n ∈ {1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆有________个. [答案] 20 [解析] m<n,根据 m 的取值分为 5 类:m=1 时,有 6 个椭圆;m =2 时,有 5 个椭圆;m=3 时,有 4 个椭圆;m=4 时,有 3 个椭圆; m=5 时,有 2 个椭圆. 共有 6+5+4+3+2=20(个). 4.(2013· 浙江高考)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答). [答案] 480 [解析] A、B 两个字母与 C 的位置关系仅有 3 种:同左、同右或 1 两侧,各占3, 2 ∴排法有3A6 6=480.

三、解答题 5.已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点 (a,b∈M),问 (1)P 可表示平面上多少个不同的点? (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P 可表示多少个不在直线 y=x 上的点? [分析] 完成“确定点 P”这件事需依次确定横、纵坐标,应用分 步乘法计数原理. [解析] (1)确定平面上的点 P(a,b)可分两步完成:第一步确定 a 的值,共有 6 种确定方法; 第二步确定 b 的值,也有 6 种确定方法.根据分步乘法计数原理, 得到平面上的点数是 6×6=36 个. (2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定 a,由于 a<0, 所以有 3 种确定方法; 第二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限点的个数是 3×2=6. (3)点 P(a, b)在直线 y=x 上的充要条件是 a=b.因此 a 和 b 必须在 集合 M 中取同一元素,共有 6 种取法,即在直线 y=x 上的点有 6 个. 由(1)得不在直线 y=x 上的点共有 36-6=30 个. [点评] 利用分步乘法计数原理解决问题:①要按事件 发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;②各步中的方法 互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事. 6.

编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里, 要求每个盒子只能放一个小球,且 A 球不能放在 1,2 号,B 球必须放在 与 A 球相邻的盒子中,则不同的放法有多少种? [分析] 根据 A 球、B 球所在位置进行分类讨论. [解析] 根据 A 球所在位置分三类: (1)若 A 球放在 3 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的
3 三个盒子放球 C, D, E 有 A3 =6 种不同的放法, 则根据分步计数原理, 3 此时有 A3 =6 种不同的放法;

(2)若 A 球放在 5 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的
3 三个盒子放球 C, D, E 有 A3 =6 种不同的放法, 则根据分步计数原理, 3 此时有 A3 =6 种不同的放法;

(3)若 A 球放在 4 号盒子内,则 B 球可以放在 2 号,3 号,5 号盒
3 子中的任何一个,余下的三个盒子放球 C,D,E 有 A3 种不同的放法, 1 3 根据分步计数原理,此时有 A3 A3=18 种不同的放法.

综上所述,由分类计数原理得不同的放法共有 6+6+18=30 种.


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