椭圆中的范围最值问题


椭圆中的范围最值问题

例 1.若椭圆上存在一点 P 过以椭圆中心和长轴 一个端点为直径的圆,求椭圆离心率的取值范围.
x2 y2 解:不妨设椭圆方程 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? , a b
长轴端点 A?a,0 ? , P( x0 , y0 )

P A O

y0 y0 ? ? ?1 , 由题意知 PO ? PA ,? x0 x0 ? a

x0 y0 2 2 2 2 2 3 2 2 即 y0 ? ax0 ? x0 ,又 2 ? 2 ? 1 ? a ? b x0 ? a x0 ? a b ? 0 , a b
2 ab 2 2 2 ? ? 即 x0 ? a a ? b x0 ? ab ? 0 x0 ? 2 a ? b2

2

2

?

?

??

?

?



ab 0 ? x0 ? a 0 ? 2 2 ? a a ?b 则 ,

2

a2 ? c2 1 2 ?0 ? ? 1,0 ? 2 ? 1 ? 1,? ? e ?1 2 c e 2

例 2.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( C )

? 1? A. (0,1) B. ? 0, ? ? 2?

C.

? 2? ? 0, ? ? 2 ? ? ?

D.

? 2 ? ,1? ? ? 2 ? ?

x2 y 2 a2 例 3.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,直线 x ? a b c
与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的 垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 D
? 2? A. ? ? 0, 2 ? ? ?

1? B. ? ? 0, ? ? 2?

C. ? ? 2 ?1,1?

1 ? D. ? ? ,1? ?2 ?

x2 y2 例 4. 已知椭圆 C: ? ? 1 ,若椭圆上 4 3 存在两个不同的点关于直线 y ? 4 x ? m 对称,
求 m 的取值范围.
解:设 P?x1 , y1 ?, Q( x2 , y2 ) 是椭圆 C 上关于 直线 y ? 4 x ? m 对称的两个点, M ( x, y ) 是它们的中点,则有

?3x12 ? 4 y12 ? 12 ? 2 2 ?3x2 ? 4 y2 ? 12

? 3? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 4? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0

? x1 ? x2 ? 2 x, y1 ? y2 ? 2 y, x1 ? x2 ,
3x y1 ? y2 1 ? ?? ? ? k PQ ? , ? y ? 3 x 4y x1 ? x2 4

? y ? 3x 由? 解得 M (?m,?3m) ? y ? 4x ? m
?

? ? m? 点 M 在椭圆 C 的内部?
4

2

? ? 3m ? ?
3

2

? 1,

2 13 2 13 ?? ?m? 13 13

思考:设 P 是椭圆 + =1 上一点,M,N 分别是两圆: 9 5 (x+2) +y =1 和(x-2) +y =1 上的点, 则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 ( A ) A.4,8 B.2,6 C.6,8 D.8,12
2 2 2 2

x2 y2


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