指数函数知识点总结


指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
n
*

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

m n

?

1 a
r

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r ?s

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs s

(3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质
r

(a ? 0, r , s ? R) .

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单 调递增 非奇非偶 函数 函数图象 都过定点 (0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单 调递减 非奇非偶 函数 函数图象 都过定点 (0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 )在 [a , b] 上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
x

(3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

指数函数·例题解析

【例 1】求下列函数的定义域与值域:
1

(1)y=3 2? x

(2)y= 2 x?2 ? 1

(3)y= 3 ? 3x?1

解 (1)定义域为 x∈R 且 x≠2.值域 y>0 且 y≠1. (2)由 2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为 y≥0. (3)由 3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,

∴值域是0≤y< 3.
(1) y ? 2 练习:
1 x ?4



(2) y ? ( ) ;
| x|

2 3

(3) y ? 4 x ? 2 x?1 ? 1 ;

【例 2】指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图像如图 2.6-2 所示, 则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解 选(c),在 x 轴上任取一点(x,0), 则得 b<a<1<d<c. 练习:指数函数① ( ). ② 满足不等式 ,则它们的图象是

【例 3】比较大小:

(1) 2 、 3 2 、5 4 、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6
? 4 5 1 3 ?2 ( ) 2



(3)4.54.1________3.73.6
1 1 2 3 4

解 (1) ∵ 2 ? 2 2 , 3 2 ? 2 3 ,5 4 ? 2 5 ,8 8 ? 2 8 , 9 16 ? 2 9 , 函数y= 2 x , 2 >1,该函数在 ( -∞,+∞ ) 上是增函数, 1 3 2 4 1 又 < < < < ,∴ 3 2 <8 8<5 4 < 9 16< 2 . 3 8 5 9 2
4 3 ?1 ? 解 (2) ∵ 0.6 5 >1,1> ( ) 2 , 2 4 1 3 ? ? ∴ 0.6 5 > ( ) 2 . 2

解 (3)借助数 4.53.6 打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数 y1= 4.5x,y2=3.7x 的图像如图 2.6-3,取 x=3.6,得 4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6.

说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数 的单调性进行比较,如例 2 中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小 时,有两个技巧,其一借助 1 作桥梁,如例 2 中的(2).其二构造一个新的幂作桥 梁,这个新的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点,即为 4.53.6(或 3.74.1),如例 2 中的(3). 练习: (1)1.7
2.5

与 1.7

3

( 2 ) 0.8

?0.1

与 0.8

?0.2

( 3 ) 1.7

0.3



0.9

3.1

(4)

3 .5

2 .1



2 .7

2 .0

【例4】比较大小 n ?1 a n 与 n a n ?1 (a> 0且a≠1,n>1) .
n ?1



an

n

a n ?1

?a

1 n ( n ?1)

当 0<a<1,∵n>1,

1 > 0, n( n ? 1)

<1,∴ n ?1 a n < n a n ?1 1 当a>1时,∵n>1, > 0, n( n ? 1) ∴a ∴a
1 n ( n ?1)

1 n ( n ?1)

>1, n ?1 a n > n a n ?1
(2)y= 2 x - 2 ,
(4)y=|1-3x|

【例 5】作出下列函数的图像:

1 (1)y= ( ) x ?1 2
(3)y=2|x-1|

1 1 解 (1)y=( ) x ?1 的图像( 如图2 .6-4) ,过点(0, ) 及( -1,1) . 2 2 1 x 是把函数y=( ) 的图像向左平移1个单位得到的. 2
解 (2)y=2x-2 的图像(如图 2.6-5)是把函数 y=2x 的图像向下平移 2 个单位得到 的.

解 (3)利用翻折变换,先作 y=2|x|的图像,再把 y=2|x|的图像向右平移 1 个单位,就得 y=2|x-1|的图像(如图 2.6-6). 解 (4)作函数 y=3x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y=-3x 的图像,再把 y

=-3x 的图像向上平移 1 个单位,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下 方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图 2.6-7)

【例8】已知f(x) =

ax ?1 (a>1) (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的值域;(3) ax ?1

证明 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.

解 (1)定义域是 R.

f( -x) =

a ?x ? 1 ax ?1 ? ? =-f(x) , a ?x ? 1 ax ?1

∴函数 f(x)为奇函数.

(2) 函数y=

ax ?1 ?1? y y ?1 ,∵y≠1,∴有a x = ? >0 ? -1<y<1, x y ?1 1? y a ?1

即 f(x)的值域为(-1,1). (3)设任意取两个值 x1、x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2.f(x1)-f(x2)



a xl ?1 a x 2 ?1 2(a xl ? a x 2 ) ? = ,∵a>1,x1 <x 2 ,a x1 <a x 2 ,(a x1 +1) a xl ?1 a x 2 ?1 (a xl ? 1)(a x 2 ? 1)

(a x 2 +1) >0,∴f(x1 ) <f(x 2 ) ,故f(x) 在R上为增函数.
单元测试题 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? 32 16 8 4 1、化简 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 2 ? ,结果是( ?? ? ? ?? ?? ??



1 ? ? 1? 32 A、 ?1 ? 2 ? 2? ?

?1

1 ? ? ? 32 B、 ?1 ? 2 ? ? ?

?1

C、 1 ? 2

?

1 32

1 ? ? 1? 32 D、 ? 1 ? 2 ? 2? ?

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( 2、 ? ? ? ? ? ? ? ?
A、 a
16

4

4



B、 a

8

C、 a

4

D、 a

2

3、若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a
b

?b

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于(
C、 ?2 D、2



A、 6

B、 ?2

4、函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ?

2
)

D、 1 ? a ? 2

5、下列函数式中,满足 f ( x ? 1) ? A、

1 f ( x ) 的是( 2
C、 2 )
x

1 ( x ? 1) 2

B、 x ?

1 4

D、 2

?x

6、下列 f ( x) ? (1 ? a x )2 ? a? x 是( A、奇函数 B、偶函数

C、非奇非偶函数
a

D、既奇且偶函数
b

2 2 7、已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3)

1 1 1 1 ? ;(4) a 3 ? b 3 ; a b

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( ? 3? ? 3?
A、1 个 8、函数 y ? A、奇函数 9、函数 y ? A、 ? ??,1?
x

a

b

) C、3 个 D、4 个

B、2 个

2x ? 1 是( 2x ? 1

) C、既奇又偶函数 ) C、 ? ?1, ?? ? D、 (??, ?1) ? ? 0, ??? ) D、非奇非偶函数

B、偶函数

1 的值域是( 2 ?1

B、 ? ??,0? ? ? 0, ???
x

10、已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过( A、第一象限 11、 F ( x) ? ?1 ? B、第二象限 C、第三象限

D、第四象限 )

? ?

2 ? ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( 2 ?1 ?
x

A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备 的价值为( ) A、 na(1 ? b%) B、 a(1 ? nb%) C、 a[1 ? (b%) ]
n

D、 a(1 ? b%)

n

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上) 13、若 10 ? 3,10 ? 4 ,则 10
x y
x? y

?



?1? 14、函数 y ? ? ? ?3?

?2 x 2 ?8 x ?1

(?3 ≤ x ≤ 1) 的值域是
2



15、函数 y ? 32?3x 的单调递减区间是 16、若 f (52 x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ?

。 。

三、解答题: (本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a2 x
2

?3 x ? 2

? a2 x

2

? 2 x ?3



18、已知 x ?? ?3, 2? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x

19、设 a ? R , f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 2x ? 1

?1? 20、已知函数 y ? ? ? ? 3?

x 2 ? 2 x ?5

,求其单调区间及值域。

21、若函数 y ? 4x ? 3? 2x ? 3 的值域为 ?1,7? ,试确定 x 的取值范围。

22、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;(3)证明 ax ?1

f ( x) 是 R 上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案 一、 题号 答案 二、13、 1 A 2 C 3 C 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 9 D 10 A 11 A 12 D

3 4

?? 1 ?9 9 ? 2 2 14、 ?? ? , 3 ? ,令 U ? ?2 x ? 8x ? 1 ? ?2( x ? 2) ? 9 ,∵ ?3 ≤ x ≤1,??9 ≤ U ≤ 9 , ?? 3 ? ? ? ?

?1? ?1? 又∵ y ? ? ? 为减函数,∴ ? ? ≤ y ≤ 39 。 ?3? ? 3?
15、 ? 0, ?? ? ,令 y ? 3 ,U ? 2 ? 3x , ∵ y ? 3 为增函数,∴ y ? 32?3x 的单调递减区间
U 2
U
2

U

9

为 ? 0, ?? ? 。

16、 0, f (125) ? f (53 ) ? f (52?2?1 ) ? 2 ? 2 ? 0 三、 17 、∵ 0 ? a ? 1 , ∴ y ? a x 在 ? ??, ??? 上为减函数,∵ a2 x
2

?3 x ? 2

? a2 x

2

? 2 x ?3

, ∴

2 x 2 ? 3x ? 2 ? 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? x ? 1

1 1 1? 3 ? 18、 f ( x) ? x ? x ? 1 ? 4? x ? 2? x ? 1 ? 2?2 x ? 2? x ? 1 ? ? 2? x ? ? ? , 4 2 2? 4 ?
∵ x ?? ?3, 2? , ∴ 则当 2
?x

2

1 ≤ 2? x ≤ 8 . 4

?

1 3 ?x ,即 x ? 1 时, f ( x) 有最小值 ;当 2 ? 8 ,即 x ? ?3 时, f ( x) 有最大值 57。 2 4

19、要使 f ( x) 为奇函数,∵ x ? R ,∴需 f ( x) ? f (? x) ? 0 , ∴ f ( x) ? a ?

2 2 2 x ?1 2 2 x ?1 , f ( ? x ) ? a ? ? a ? a ? ? a ? ?0 ,得 , 由 2x ? 1 2? x ? 1 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1

2(2 x ? 1) 2a ? x ? 0 ,? a ? 1 。 2 ?1
20、 令 y ? ? ? , U ? x ? 2x ? 5 , 则 y 是关于 U 的减函数, 而 U 是 ? ??, ?1? 上的减函数,
2

?1? ?3?

U

1? ? ?1, ??? 上的增函数,∴ y ? ? ? ? ? 3?
2

x 2 ? 2 x ?5

在 ? ??, ?1? 上是增函数,而在 ? ?1, ?? ? 上是减函
x 2 ? 2 x ?5

?1? 数,又∵ U ? x ? 2x ? 5 ? ( x ? 1) ? 4 ≥ 4 , ∴ y ? ? ? ? 3?
2

? ? 1 ?4 ? 的值域为 ? 0, ? ? ? 。 ? ?3? ? ? ?

21、 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ,依题意有
x x 2x x

?(2 x ) 2 ? 3 ? 2 x ? 3 ≤ 7 ? ??1 ≤ 2 x ≤ 4 ? x x 即? x ,∴ 2 ≤ 2 ≤ 4或0 ? 2 ≤1, ? x 2 x x (2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ≥ 1 2 ≥ 2 或 2 ≤ 1 ? ? ? ?
由函数 y ? 2 的单调性可得 x ? (??,0] ? [1, 2] 。
x

22、 (1)∵定义域为 x ? R ,且 f (? x) ?

a? x ?1 1 ? a x ? ? ? f ( x),? f ( x) 是奇函数; a? x ? 1 1 ? a x

(2) f ( x) ?

ax ?1? 2 2 2 ? 1? x ,∵a x ? 1 ? 1,? 0 ? x ? 2, 即 f ( x) 的值域为 ? ?1,1? ; x a ?1 a ?1 a ?1

(3)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

a x1 ? 1 a x2 ? 1 2a x1 ? 2a x2 ? ? ? 0 (∵分母大于零,且 a x1 ? a x2 ) x1 x2 x1 x2 a ? 1 a ? 1 (a ? 1)(a ? 1)

∴ f ( x) 是 R 上的增函数。


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