高中数学 对数与对数函数


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第六节
自 主 落 实 · 固 基 础

对数与对数函数

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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自 主 落 实 · 固 基 础

1.对数的概念

如果ax =N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,
x=logaN 记作____________. 2.对数的性质、换底公式与运算性质

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性质 换底 公式

0 1 ①loga1=___,②loga a=___,③alogaN=___ N

logcb logca logab=_____ (a,c均大于0且不等于1,b>0)

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如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: logaM+logaN ①loga(M· N)=_______________, M logaM-logaN 运算性质 ②loga =_______________, N ③logaMn=nlogaM(n∈R).

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3.对数函数的定义、图象与性质
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定 义

y=logax 函数 _________(a>0且a≠1)叫做对数函数

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a>1
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0<a<1

图 象

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(0,+∞) 定义域:____________

值域:_____________ (-∞,+∞)
(1,0) 当x=1时,y=0,即过定点___________ 性 质 当0<x<1时,y<0; y>0 当x>1时,________.

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当0<x<1时,y>
0; y<0 当x>1时,____. 在(0,+∞)上为 减函数 ___________
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增函数 在(0,+∞)上为_________





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4.反函数 y=logax 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数 _________(a>0 y=x 且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线________对称.

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1.如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关 系?你能得到什么规律? 【提示】 作直线y=1,

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则该直线与四个函数图象 交点的横坐标为相应的底数.
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∴0<c<d<1<a<b.由此

我们可得到以下规律:在
第一象限内从左到右底数逐渐增大.

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2.当对数logab的值为正数或负数时,a,b满足什么条 件?

【提示】

若 logab > 0 , 则 a , b∈(1 , + ∞ ) 或 a ,

b∈(0,1),简记为a,b在相同的区间内;若logab<0,则 a∈(1,+∞)且b∈(0,1)或a∈(0,1)且b∈(1,+∞),简记为 a,b在不同的区间内.

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1.(人教A版教材习题改编)2log510+log50.25=( A.0 【解析】 log525=2. B.1 C.2 D.4

)

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2log510 + log50.25 = log5100 + log50.25 =

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【答案】

C
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2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函 数,且f(2)=1,则f(x)等于( ) 1 A. x B.2x-2 C.log1x D.log2x 2 2
【解析】 由题意知f(x)=logax,又f(2)=1,∴loga2=

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1,∴a=2.∴f(x)=log2x,故选D.
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【答案】

D

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3.如果log1x<log1y<0,那么( 2 2 A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x

)

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【解析】 ∴x>y>1.
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∵y=log1x是(0,+∞)上的减函数, 2

【答案】

D

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4.(2013·苏州模拟)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间

是________.
1 【解析】 函数f(x)的定义域为(- ,+∞), 2 令t=2x+1(t>0). 因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=2x+1在 1 (- ,+∞)上为增函数,所以函数y=log5(2x+1)的单调增 2 1 区间为(- ,+∞). 2

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【答案】

1 (- ,+∞) 2





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5.(2012·北京高考)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,

则f(a2)+f(b2)=________.

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【解析】 2lg ab.

∵f(x)=lg x,∴f(a2)+f(b2)=2lg a+2lg b=

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又f(ab)=1,∴lg ab=1,∴f(a2)+f(b2)=2.
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【答案】

2





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(1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n; (1-log63)2+log62·log618 (2)计算 ; log64 (3)计算(log32+log92)· 43+log83). (log

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【思路点拨】
计算;

(1)根据乘法公式和对数运算性质进行
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(2)将对数式化为指数式或直接代入求解.





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【尝试解答】

(1)法一

∵loga2=m,loga3=n,

∴am=2,an=3,
∴a2m+n=(am)2·an=22×3=12. 法二 ∵loga2=m,loga3=n,

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∴a2m+n=(am)2·an=(aloga2)2·aloga3=22×3=12.
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6 1-2log63+(log63) +log6 ·log6(6×3) 3 (2)原式= log64 1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+log63) = log64 1-2log63+(log63)2+1-(log63)2 = log64 2(1-log63) log66-log63 log62 = = = =1. 2log62 log62 log62
2

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lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 (3)原式=( + )· + ( ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 =( + )· ( + ) lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 = · = . 2lg 3 6lg 2 4
菜 单

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1.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此
经常用到换底公式及其推论;在对含字母的对数式化简时必 须保证恒等变形. 2.ab=N?b=logaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数 问题的有效方法,在运算中要注意互化.

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3.利用对数运算法则,在积、商、幂的对数与对数的
和、差、倍之间进行转化.

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(1)(2013· 宝鸡模拟)计算(lg ________.

1 -lg 4
b

1 25)÷ 100- = 2

1 1 (2)(2013· 大连模拟)设2 =5 =m,且 + =2,则m= a b ________.
a

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1 1 【解析】 (1)原式=(lg )÷ =-20. 100 10 (2)∵2a=5b=m, ∴a=log2m,b=log5m 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m2=10,∴m= 10.

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【答案】

(1)-20 (2) 10

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(1)(2013· 长沙质检)函数y=ax2+bx与y=log| |x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(

b a )

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A.(1,10) C.(10,12)

B.(5,6) D.(20,24)
(1)根据函数y=ax2+bx与x轴的交点确
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【思路点拨】

b 定|a|的范围. (2)画出f(x)的图象,确定a,b,c的范围.





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b 【尝试解答】 (1)令ax +bx=0得x=0或x=-a. b 对于A、B项,由抛物线知,0<| a |<1,此时,对数函 数图象不合要求,故A、B项不正确;对于C项,由抛物线 b 知| |>1,此时,对数函数图象不合要求,故C不正确;对 a b 于D项,由抛物线知0<| |<1,此时对数函数的图象符合要 a 求,故选D.
2

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(2)作出f(x)的大致图象.不妨设

a<b<c,因为a、b、c互不相等,
且f(a)=f(b)=f(c),由函数的 图象可知10<c<12, 且|lg a|=|lg b|,因为a≠b,

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所以lg a=-lg b,可得ab=1, 所以abc=c∈(10,12),故选C. 【答案】 (1)D (2)C
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1.解答本题(1)时,可假设一个图象正确,然后看另一
个图象是否符合要求;对于本题(2)根据|lg a|=|lg b|得到ab= 1是解题的关键. 2.对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数 型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点

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时,常利用数形结合求解.
3.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相 应函数图象问题,利用数形结合法求解.

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(1)已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y =a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3, 则x1,x2,x3的大小关系是( A.x2<x3<x1 C.x1<x2<x3 ) B.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1

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(2)(2012·皖南八校第三次联考)若函数f(x)=loga(x+b)

的大致图象如图2-6-2,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax
+b的大致图象是( )

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【解析】
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(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及

直线y=a(a<0),易知x1>x3>x2,故选A.
(2) 由 对 数 函 数 递 减 得 0 < a < 1 , 且 f(0) = logab∈(0 , 1)?0<a<b<1,所以函数g(x)单调递减,且g(0)=a0+b=1 +b∈(1,2). 【答案】
菜 单

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(1)A

(2)B

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x+2a+1 已知函数f(x)=log2 . x-3a+1 (1)求函数f(x)的定义域; (2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,试讨论它的 奇偶性和单调性.
【思路点拨】 性. (1)利用真数大于0构建不等式,但要注

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意分类讨论,(2)先由条件求出a的值,再讨论奇偶性和单调

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【尝试解答】
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x+2a+1 (1) >0?[x-(3a-1)][x-(- x-3a+1

2a-1)]>0,所以,当3a-1≥-2a-1,即a≥0时,定义域 为(-∞,-2a-1)∪(3a-1,+∞); 当3a-1<-2a-1,即a<0时,定义域为(-∞,3a- 1)∪(-2a-1,+∞). (2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,当且仅当-2a x+5 -1=-(3a-1)?a=2,此时,f(x)=log2 . x-5 对于定义域D=(-∞,-5)∪(5,+∞)内任意x,- x∈D,

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-x+5 x-5 x+5 f(-x)=log2 =log2 =-log2 =-f(x), -x-5 x+5 x-5 所以f(x)为奇函数;
菜 单

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当x∈(5,+∞),对任意5<x1<x2, (x1+5)(x2-5) 有f(x1)-f(x2)=log2 , (x1-5)(x2+5) 而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5) =10(x2-x1)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(5,+∞)内单调递 减;
由于f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,-5)内单调递减.

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1.利用对数函数的性质比较对数值大小:

(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理;
(2)底数不同,真数相同的对数值的比较,可利用函数 图象或比较其倒数大小来进行. (3)既不同底数,又不同真数的对数值的比较,先引入

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中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数性质进行比较. 2.利用对数函数性质研究对数型函数性质,要注意三 点,一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数
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的构成.





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(2013· 中 山 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = loga(8 - ax)(a > 0 , a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a的取值范

围.
【解】 当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减 函数, 由f(x)>1恒成立, 则f(x)min=loga(8-2a)>1, 8 解之得1<a< . 3

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若0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立, 则f(x)min=loga(8-a)>1, 且8-2a>0, ∴a>4,且a<4,故不存在. 8 综上可知,实数a的取值范围是(1, ). 3

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ab=N?logaN=b(a>0,a≠1,N>0)

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解决与对数有关的问题时:(1)务必先研究函数的定义 域.
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(2)对数函数的单调性取决于底数a,应注意底数的取值 范围.

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画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1, 1 0),(a,-1).

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对数值的大小比较方法
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(1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)
利用中间量(0或1).(4)化为同真数后利用图象比较.

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从近两年高考看,对数函数是考查的重点,题型多为选
择题、填空题,重点考查对数函数的图象和性质的应用,中 等难度.预计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考

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点,考查解决问题的能力,分类讨论和数形结合等数学思 想.

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思想方法之四 用数形结合思想求参数的取值范围 1 (2012· 课标全国卷)当0<x≤ 时,4x<logax,则a的取值 2 范围是( ) 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2
C.(1, 2) D.( 2,2)

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1 【解析】 由0<x≤ 且logax> 2 4x>0得0<a<1, 在同一坐标系中画出函数y=4x 1 (0<x≤ )和y=logax(0<a<1, 2 1 0<x≤ )的图象,如图所示: 2

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1 1 x 由图象知,要使当0<x≤ ,4 <logax,只需loga > 2 2 1 1 42,即loga >logaa2, 2 1 2 2 ∴a > ,∴a> 或a<- , 2 2 2 2 又0<a<1,∴ <a<1. 2
2

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【答案】

B

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易错提示:(1)本题无法分离参数,没有数形结合的思 想意识,从而无法求解. 1 1 (2)不会解不等式loga >42,造成错解. 2 防范措施:(1)恒成立问题常用分离参数法求解,当不 能分离参数且图象易画时,可考虑数形结合法. (2)解对数不等式时常用化为同底法求解,实际上应用 的是对数函数的单调性.

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e -e 1.(2013· 潍坊模拟)函数y=ln x -x 的图象大致为 e +e ( )

x

-x

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【解析】

ex-e x - 由题意,知 x -x >0,即ex-e x>0,所 e +e




以x>0,即函数的定义域是(0,+∞),排除选项A、B.由 ex-e x e2x-1 ex-e x 于0< x -x= 2x <1,所以ln x -x<0.故选C. e +e e +1 e +e


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【答案】
菜 单

C

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2.(2012· 江苏高考)函数f(x)= ________.

1-2log6x 的定义域为

【解析】 要使函数f(x)= 解得0<x≤ 6.

1-2log6x

有意义,则

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【答案】

(0, 6]

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课后作业(九)

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