高一数学人教B版必修1:2.1.2 函数的表示方法(二) 学案


2.1.2 函数的表示方法(二) 自主学习 学习目标 了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 自学导引 分段函数 (1) 分段函数就是在函数定义域内 ,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的 ______________的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________; 各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时,应________________________. 对点讲练 知识点一 分段函数的求值问题 x+2 ?x≤-1?, ? ?2 例 1 已知函数 f(x)=?x ?-1<x<2?, ? ?2x ?x≥2?. (1)求 f[f( 3)]的值; (2)若 f(a)=3,求 a 的值. 规律方法 对于 f(a),究竟用分段函数中的哪一个对应关系,与 a 所在范围有关,因此 要对 a 进行讨论.由此我们可以看到: (1)分段函数的函数值要分段去求; (2)分类讨论不是随意的,它是根据解题过程中的需要而产生的. 1 x-1 ?x≥0?, 2 变式迁移 1 设 f(x)= 若 f(a)>a, 则实数 a 的取值范围是________. 1 ?x<0?, x ? ? ? 知识点二 分段函数的图象及应用 |x|-x 例 2 已知函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 2 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 规律方法 对含有绝对值的函数, 要作出其图象, 首先应根据绝对值的意义去掉绝对值 符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.由于分段函数在定义域的不同区间 内解析式不一样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分. 12 1 1 ? 变式迁移 2 已知函数 f(x)=?-2?x-2? +1,x∈[0,2? -2x+2,x∈[2,1] ,在平面 ? 直角坐标系中作出 y=f(x)的图象,并写出值域. 知识点三 分段函数的简单应用 例 3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是: (1)乘坐 5 km 以内,票价 2 元; (2)5 km 以上(含 5 km),每增加 5 km,票价增加 1 元(不足 5 km 的按 5 km 计算).已知 两个相邻的公共汽车站之间相距约 1 km,如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设 21 个汽车站,请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式,并作出函数的图 象. 规律方法 该类问题属于函数建模问题, 解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模 型化, 然后结合题设选择合适的函数类型去拟合, 解答过程中要密切关注实际问题中的隐含 条件,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则,画图象时,注意每段定义域端 点的虚实. 变式迁移 3 电讯资费调整后,市话费标准为:通话时间不超过 3 分钟收费 0.2 元.超过 3 分钟,以后每增加 1 分钟收费 0.2 元,不足 1 分钟以 1 分钟计费,求通话收费 x 元与通话 时间 t(分钟)的函数解析式,并画出 t∈(0,7]的图象. 1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函 数的定义域、值域的并集. 2.含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理. 3.画分段函数的图象要逐段画出,求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求 值. 课时作业 一、选择题 2 ? ?1-x , ? 1.设函数 f(x)= 2 ?x +x-2, ? ) x>1, 15 27

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