江苏省启东中学2014届高三高考模拟考试 数学(5月)


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江苏省启东中学 2014 届高考模拟考试 2014.5.24
数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗. 5 一 ..请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 ........ 1.全集 S ? 0, 1, 3, 5, 7, 9 ,C S A ? 0, 5, 9 ,B ? 3, 5, 7 ,则A ?

启中数学教研组制卷

?

?

?

?

?

?

B ? ▲
.
▲ .

.

2.设 a 为实数,若复数 (1+2i)(1+ai) 是纯虚数,则 a 的值是 ▲
3.已 知 数 列

?an ? 的通项公式为an ? 2n ? 1 ,则数据a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 的标准差为

4.某学校为了解该校 600 名男生的百米成绩(单位:s) ,随机选择了 50 名学生进行调查, 下图是这 50 名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布,估计这 600 名学 生中成绩在 [13,15] (单位:s)内的人数大约是 ▲ . 5.阅读下列程序:输出的结果是 Read ▲ .

S ?1 S ?S?I

For I From 1 to 5 Step 2 Print S End for End 6.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为 2 cm 的半 圆,则该圆锥的体积为 ▲ .

7.已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=2,AC=3,则 cos C = ▲

.

? ?y ? x ? 8.在不等式组 ?0 ? x ? 3 ,所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为 ? 1 ?y ? x ?
格点)中任取 3 个点,则该 3 点恰能作为一个三角的三个顶点的概率为 ▲ .

9. 已知等差数列{an}的公差不为零,a1+a2+a5>13,且 a1,a2,a5 成等比数列,则 a1 的取 值范围为 ▲ . 10. 已知椭圆的中心在坐标原点 O, A,C 分别是椭圆的上下顶点, B 是椭圆的左顶点, F 是椭圆 的左焦点,直线 AF 与 BC 相交于点 D。若椭圆的离心率为 ,则∠BDF 的正切值 。

11.如图,已知:|AC|=|BC|=4,∠ACB=90°,M 为 BC 的中点,D 为以 AC 为直径的圆上一动点, 则 AM ? DC 的最大值是 ▲ .
C D M

A (第 11 题图)

B

12.在平面直角坐标 xoy 中,设圆 M 的半径为 1,圆心在直线 x-y-1=0 上,若圆 M 上不存在点 N,使 NO= ,其中 A(0,3) ,则圆心 M 横坐标的取值范围 ▲
'

.
2

13. 设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ( x) ,对任意的 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ? x ,且在

(0,??) 上 f ' ( x) ? x .若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围



.

14.设函数 f ( x) ? ?

x ? ?2 , x ? 0 ,若对任意给定的 y ? (2, ??) ,都存在唯一的 x ? R ,满足 ? ?log2 x, x ? 0

f ( f ( x)) ? 2a2 y 2 ? ay ,则正实数 a 的最小值是



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 已 知 平 面 AA1C1C ? 平 面 A B C ,D 且

AB ? BC ? CA ? 3 , AD ? CD ? 1 .(1)

求证: BD ? AA 1;

(2) 若 E 为棱 BC 上的一点,且 AE // 平面 DCC1 D1 ,求线段 BE 的长度

D1 A1 B1

C1

D A
第 15 题 图

C

E B

16. (本小题满分 14 分)

?? 设函数 f ?x ? ? sin? . 1) 若x? ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? 3 sin x cos x (
? 6?

?
4

, 求函数 f ?x ? 的值域;
3 ,求 cos C 的值; 14

5 A? 5 (2) 设 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,若 f ? ? ? ? , cos ? A ? C ? ? ?
?2? 2

17. (本小题满分 15 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明, 声音强度 D(分贝) 由公式 D ? a lg I ? b ( a、 b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm ) 为声音能量.
2

(1)当声音强度 D1 , D2 , D3 满足 D1 ? 2D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I1 , I 2 , I 3 满足的等

量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10?13 W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人 们正常说话, 声音能量为 10?12 W / cm2 时, 声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属 于噪音,一般人在 100 分贝~120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么 范围时,人会暂时性失聪. 18(本小题满分 15 分) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,称圆心在坐标原点 O,半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆 C 2 a b

的“伴随圆” ,已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 .

?

(1)若椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M1 F1 ? M1F2 ? 4 ,求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)在(1)的条件下,过点 P ? 0, t ??t ? 0? 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点,且截椭圆 C 的 “伴随圆”所得弦长为 2 3 ,求 P 点的坐标; (3)已知 m ? n ? ?

cos ? 3 , mn ? ? ? m ? n,? ? ? 0, ? ? ? ,是否存在 a,b,使椭圆 C 的 sin ? sin ?

2 2 “伴随圆”上的点到过两点 m, m , n, n 的直线的最短距离 d min ?

?

??

?

a 2 ? b 2 ? b .若存在,

求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 16 分)

数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? 2 , an?1 ? a1a2 ...an ? 1 ( n ≥3),
2 ? 记 bn?2 ? a12 ? a2 2 ? an ? a1a2

an ( n ≥3).(1)求证数列 ?bn ? 为等差数列,并求通项

式;(2)设 cn ? 1 ?

1 1 ? 2 ,数列{ cn }的前 n 项和为 S n ,求证: n < S n < n ? 1 . 2 bn bn ?1

20. (本小题满分 16 分)

已知函数

.
时, 与 )在定义域上单调性相反, 求的 ,使 . 的最小值。 ,

(1 当 (2)当 且对任意

时,求证:存在 且 都有

的三个不同的实数解

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江苏省启东中学 2014 届高考模拟考试 2014.5.24
数学Ⅱ加试题
启中数学教研组制卷

考试时间 30 分钟;满分 40 分
?1 a ? 21B 矩阵与变换: 已知 a, b∈R, 若M ?? ? ? 所对应的变换 TM 把直线 L : 2 x ? y ? 3 变 b 3 ? ?
换为自身,求实数 a , b ,并求 M 的逆矩阵.

21C 极坐标与参数方程: 已知点 P 是曲线 C : ? 点,O 为原点.若直线 OP 的倾斜角为

? ? x ? 2cos ? , (? 为参数,? ? ? ? 2? )上一 y ? 3 sin ? , ? ?

? ,求点 P 的直角坐标. 3

22.如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、 N 分别是 CC1、BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 ( ? ? R) . (1)证明:PN⊥AM; (2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的角为 45° ,试确定点 P 的位置.

23. 一个非空集合中的各个元素之和是 3 的倍数, 则称该集合为 “好集” . 记集合 {1, 2, 3, ?, 3n}的子集中所有“好集”的个数为 f(n). (1)求 f(1),f(2)的值; (2)求 f(n)的表达式.

江苏省启东中学 2014 届高考模拟考试 数学Ⅰ试题答案 一.填空题

1. 8. 12.
二.解答题

2. 9.

3. 10.

4.240

5.2,5,10

6.

7.

11.8+ 13.( 14.

15 ⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC , --------2 分 又平面 AA1C1C ? 平面 ABCD , 且平面 AA1C1C 以 BD ? 平面 AA1C1C ,------5 分 平面 ABCD ? AC , BD ? 平面 ABCD , 所

又因为 AA1 ? 平面 AA1C1C , 所以 BD ? AA 1 --7 分

(2)

.-------------14 分

16.解: (1) f ?x ? ?

3 1 1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 2 1 ?? 1 ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin? 2 x ? ? ? ????4 分 2 6? 2 ?

3 ?? 2? ? ?? ? sin? 2 x ? ? ? 1 ????6 分 2 6? 4 3 6 3 ? 5? 1 5 ?1 ? ? 3 ? f ?x? ? , 即 f ?x ? 的值域为 ? ? 3 , ? ;????7 分 2 2? 2 2 ? ?? ? ? A? 5 ? (2)由 f ? ? ? , 得 sin? A ? ? ? 1 ,又 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? ,??9 分 6? 3 ?2? 2 ?

?x ?

?

??

?

? 2x ?

?

?

又因为在 ? ABC 中,
? ?

cos? A ? C ? ? ?

5 3 , 14

所以 sin? A ? C ? ?

11 ??10 分 14
??

所以 cos C ? cos? A ? C ? 17.(1)? D1 ? 2D2 ? 3D3

??

1 3 3 3 ????14 分 sin? A ? C ? ? ? ? cos? A ? C ? ? 3? 2 2 14

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3

??????????2 分

??????????????????4 分 ???????????????????6 分 ???????????????10 分

? I1 ? I 2 ? I 3
(2)由题意得 ?

2

3

?? 13a ? b ? 30 ?? 12a ? b ? 40 ?a ? 10 ? ?b ? 160

???????????????12 分

? 100 ? 10lg I ? 160 ? 120
10?6 ? I ? 10?4
?6 ?4

?????????????????????14 分

答:当声音能量 I ? (10 ,10 ) 时,人会暂时性失聪. ????????????15 分

19. 解 : 解 :(1) 方 法 一
2 bn?1 ? a12 ? a2 ?

2 ? 当 n ≥ 3 时 , 因 bn?2 ? a12 ? a2

2 ? an ? a1a2

an ① , 故

2 2 ? an ? an ?1 ? a1a2

an an?1 ② ----------------------2 分

② - ① ,得

2 bn-1-bn-2= an ?1 ? a1a2

2 an (an?1 ? 1) = an ?1 ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 1) =1,为常数, 所以 , 数列 {bn}

为等差数列 --------------------------------------------5 分 因
2 2 ? a3 ? a1a2 a3 =4,故 bn=n+3 -------------------8 分 b1= a12 ? a2

方法二

当 n ≥ 3 时 ,a1a2an=1+an+1, a1a2anan+1=1+an+2, 将 上 两 式 相 除 并 变 形 , 得
2 ? an ? 2 ? a1a2

2 2 2 an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? 1 ------2 分 于是,当 n∈N*时, bn ? a1 ? a2 ?

an? 2

2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (a5 ? a4 ? 1) ?

? (an?3 ? an?2 ? 1) ? a1a2

an?2

2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (an?3 ? a4 ? n ? 1) ? (1 ? an?3 ) ? 10 ? n ? a4 . ----------------5 分

又 a4=a1a2a3-1=7,故 bn=n+3(n∈N*). 所以数列{bn}为等差数列,且 bn=n+3 -----------------------8 分 1 1 ((n ? 3)(n ? 4) ? 1) 2 ? ? (2) 因 c n ? 1 ? , ----------10 分 ( n ? 3) 2 ( n ? 4) 2 (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 故 所以 即
cn ?
(n ? 3)(n ? 4) ? 1 1 1 1 ?1? . ----12 分 ?1? ? (n ? 3)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4) n?3 n?4

Sn ? (1 ?

1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ? ) ? 4 5 5 6

? (1 ?

1 1 1 1 , ? ) ?n? ? n?3 n?4 4 n?4

n<Sn 。-------------14 分

1 1 1 ,于是 Sn ? n(1 ? ) ? n ? 1 . 于是 Sn ? n(1 ? ) ? n ? 1 .---16 分 n?2 n?2 n?2 2ax 2 ? 2bx ? 1 ' ?cx 2 ? 2(2 ? c) x ? c , g ( x) ? ; ---------2 分。 20. 解析:(1)因为 f ' ( x) ? x x( x ? 1) 2

又 cn < 1 ?

当a ?

1 x2 ? 2bx ? 1 时, f ' ( x) ? ;当 b ? 1 时, x 2 ? 2bx ? 1 ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立, 2 x
' 所以, f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,所以, f ( x) 在 x ? (0, ??) 上为增函数。

根据 f ( x) 和 g ( x) 在定义域上单调性相反得, g ( x) 在 (0,??) 上为减函数,所以
g ' ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,即: 4 x ? c( x ? 1)2 ,所以 c ?
4x 4x 4x ? ?1, 因为 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) (2 x ) 2

当且仅当 x ? 1 时, (2)因为 f ' ( x) ?

4x 取最大值 1 .所以 c ? 1 ,此时 | b | ? c 的最小值是 1 ,-------6 分 ( x ? 1) 2

2ax2 ? 2bx ? 1 , 当 b ? 2a ? 0 时,a ? 0 ,且一元二次方程 2ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 的 x
, 所 以
2ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0

? ? 4(b2 ? 2a) ? 0

有 两 个 不 相 等 的 实 根

x1 ?

b ? b 2 ? 2a b ? b 2 ? 2a , x2 ? , ----------------------------8 分 2a 2a

当 x ? (0, x1 ) 时, f ( x) 为增函数; f ( x) ? (??, f ( x1 ))

当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ( x) 为减函数; f ( x) ? ( f ( x2 ), f ( x1 )) 当 x ? ( x2 , ??) 时, f ( x) 为增函数; f ( x) ? ( f ( x2 ), ??) 所以当 m ? ( f ( x2 ), f ( x1 )) 时, f ( x) ? m 一定有 3 个不相等的实根 t1 , t 2 , t3 分 别 在 (? ?,x1 、 ) ( x, x2 )、( x , ? ) 内 , 不 妨 设 ti ? t j , 因 为 f (ti )? m ,f t( )m ,所以 1 2 + j ?

f (ti ) ? f (t j ) 即 ln ti ? ati 2 ? 2bti ? ln t j ? at j 2 ? 2bt j 即 ln ti ? ln t j ? ?a(ti 2 ? t j 2 ) ? 2b(ti ? t j )

t 1 ln i ? ?a(ti ? t j ) ? 2b ti ? t j t j 2 ?( ? ) ti ? t j ti ? t j





t 1 l i ? n ?a ti ? t j ? ( b ti ? t j t j

所 )

以 2

2 ?[ b ? a 2 ti ? t j ti ? t j

2(t i ? t j ) t t 1 1 ]i ? l ? ln n i] [ tj ti ? t j ti ? t j tj

ti t ? 1) 2( i ? 1) tj tj t t t 1 2(t ? 1) ? [ ? ln i ] ,令 i ? t ,则 ? ln i ? ? ln t ti tj ti ? t j ti tj tj t ?1 ?1 ?1 tj tj 2(
由(1)知 g ( x) ? 所以当 0 ? t ? 1,

2x ? 2 ? ln x 在 (0,??) 上为减函数,又 g (1) ? 0 x ?1
2(t ? 1) 1 ? ln t ? 0 ,又 ? 0, t ?1 ti ? t j

所以

2 2 ? [2b ? a(t i ? t j )] ? 0, 即 ? 2b ? a(t i ? t j ). ----------------16 分 ti ? t j ti ? t j

数学Ⅱ(附加题)答案
21.B 解:设 P ( x, y ) 为直线 2 x ? y ? 3 上任意一点其在 M 的作用下变为 ( x ?, y ?)

则?

? ?1 a ? ? x ? ? ? x ? ay ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay ??? ??? ? ? ??? ? b 3 ? ? y ? ? bx ? 3 y ? ? y? ? ? y? ? bx ? 3 y
---------------------3 分

代入 2 x ? y ? 3 得: ? (b ? 2) x ? (2a ? 3) y ? 3 其与 2 x ? y ? 3 完全一样得 ?

?? b ? 2 ? 2 ?b ? ?4 ?? ?2a ? 3 ? ?1 ?a ? 1
----------------------------------------------6 分

则矩阵 M ? ?

? ?1 1 ? ? ? ?4 3 ?

则 M ?1 ? ?

? 3 ?1? ? ? 4 ?1?

--------------------------------------------------10 分

21C 解:由题意得,曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y 2 ? ? 1, ( y ? 0) ,---------------(2 分) 4 3

直线 OP 方程为 y ? 3x ,---------------(4 分)

? ? 2 5 2 5 , , ?x? ? x?? ? ? 5 (舍去) 5 方程联立得, ? ,或 ? ? y ? ? 2 15 , ? y ? 2 15 , ? ? 5 5 ? ?
故点 P 的直角坐标为 (?

2 5 2 15 ,? ). ---------------(10 分) 5 5

22. 解: (1) 证明: 如图, 以 AB, AC, AA1 分别为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系 A-xyz. 则 1 1 1 P(λ,0,1) ,N( , ,0) ,M(0,1, ) ,------------------------2 分 2 2 2 1 1 1 NA M ? 从而 PN =( -λ, ,-1) , AM =(0,1, ) ,P 2 2 2 所以 PN⊥AM; 1 1 1 =( -λ)× 0+ × 1-1× =0, 2 2 2

----------------------------------------------------------4 分

(2)平面 ABC 的一个法向量为 n= AA . 1 =(0,0,1) 设平面 PMN 的一个法向量为 m=(x,y,z) ,

1 由(1)得 MP =(λ,-1, ) . 2

1 1 ? (? ? ) x ? y ? z ? 0, ? ? m ? NP ? 0, ? 2 2 由? 得? ? 1 ? ?m ? MP ? 0, ??x ? y ? z ? 0. ? 2 ?

2? ? 1 ? ? y ? 3 x, ? 解得 ? 令x ? 3, 得m ? (3,2? ? 1,2(1 ? ? )) .------------6 分 ? z ? 2(1 ? ? ) x. ? 3 ?
∵平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45° , |2(1-λ)| m· n 2 ∴|cos〈m,n〉|=| |= 2 2= 2 , |m|· |n| 9+(2λ+1) +4(1-λ) 1 解得 λ=- . 2 --------------------------------------------8 分 ----------------------10 分

1 故点 P 在 B1A1 的延长线上,且|A1P|= . 2

23.解:(1)易得 f(1)=3; -----------------------------------------1 分 当 n=2 时,集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有: 单元集:{3},{6}共 2 个,双元集{1,2},{1,5},{2,4},{4,5},{3,6}共 5 个,三元 集有:{1,2,3},{1,2,6},{1,3,5},{1,5,6},{4,2,3},{4,2,6},{4,3,5},{4,5,6}共 8 个, 四元集有{3,4,5,6}, {2,3,4,6}, {1,3,5,6}, {1,2,3,6}, {1,2,4 ,5}共五个, 五元集{1,2,4,5,6}, {1,2,3,4,5}共 2 个,还有一个全集. 故 f(2)=1+(2+5)×2+8=23. ----------------------------- 4 分 (2)首先考虑 f(n+1)与 f(n)的关系. 集合{1,2,3,?,3n,3n+1,3n+2,3n+3}在集合{1,2,3,?,3n}中加入 3 个元 素 3n+1,3n+2,3n+3.故 f(n+1)的组成有以下几部分:①原还的 f(n)个集合;②含有 元素 3n+1 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合,含有元 素是 3n+2 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 1 的集合,含有元 素是 3n+,3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集合,合计是 23n;③含有元素是 3n+1 与 3n+2 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集合,含有元素是 3n+2 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素 之和被 3 除余 1 的集合,含有元素是 3n+1 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,?,3n} 中各元素之和被 3 除余 2 的集合, 合计是 23n; ④含有元素是 3n+1, 3n+2, 3n+3 的 “好 集”是{1,2,3,?,3n}中“好集”与它的并,再加上{3n+1,3n+2,3n+3}。 所以,f(n+1)=2 f(n)+2×23n+1. -----------------------------------------7 分 f(n+1) f(n) 1 两边同除以 2n+1,得 n+1 - n =4n+ n+1, 2 2 2

所以

n f(n) n-1 n-2 1 1 1 3 4 -1 1 +1- n, n =4 +4 +?+4+ n+ n-1+?+ 2+ = 2 2 2 2 2 3 2

2n(4n-1) n 即 f(n)= +2 -1. 3

----------------------------------10 分.


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