高一数学典型例题分析:交集、并集


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交集、并集·典型例题 能力素质 例 1 已知 M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=-x2+1,x∈R}则 M∩N 是 [ A.{0,1} B.{(0,1)} C.{1} D.以上均不对 分析 先考虑相关函数的值域. 解 ∵M={y|y≥1},N={y|y≤1}, ∴在数轴上易得 M∩N={1}.选 C.

]

例2 已知集合A={x|x 2 + mx+1=0},如果A∩R=?,则实数m的
取值范围是 [ A.m<4 B.m>4 C.0<m<4 4 ]

D. 0≤m<

分析 ∵A∩R=?,∴A=?. 所以x 2 + M x+1=0无实数根,由
?m≥ 0, ? ? ?Δ = ( m) 2 - 4 < 0, ?
可得 0≤m<4. 答 选 D. 例 3 设集合 A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则 A∪B= A.{x|-5≤x<1} C.{x|x<1} 2} 分析 画数轴表示 [ ] B.{x|-5≤x≤2} D.{x|x≤

? 得A∪B={x|x≤2},A∪B=B.( 注意A ≠ B,也可以得到A∪B=
B). 答 选 D. 说明:集合运算借助数轴是常用技巧.

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例 4 集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则 A∩B=________. 分析 A∩B 即为两条直线 x+y=0 与 x-y=2 的交点集合.

?x+y= 0, ?x=1, 解 由? 得? ?x-y= 2 ?y=-1.
所以 A∩B={(1,-1)}. 说明:做题之前要搞清楚集合的元素是什么.

例5 下列四个推理:①a∈(A∪B) ? a∈A;②a∈(A∩B) ? a∈(A
∪B);

③A ? B ? A∪B=B;④A∪B=A ? A∩B=B,其中正确的个数
为 [ A.1 B.2 C.3 D.4 分析 根据交集、并集的定义,①是错误的推理. 答 选 C. 点击思维 例 6 已知全集 U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x ]

=________.

号的值.



观察数轴得,A∩B={x|-1<x<2},A∩B∩(

UP)={x|0<x<2}.

例 7 设 A={x∈R|f(x)=0}, B={x∈R|g(x)=0},

C={x∈R|

f(x) =0},全集U=R,那么 g(x)
[ ]

A.C=A∪(

UR)

B.C=A∩(
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UB)

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C.C=A∪B ∩B 分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归

D.C=(

UA)

C={x∈R|

f(x) = 0} g(x)

={x∈R|f(x)=0 且 g(x)≠0} ={x∈R|f(x)=0}∩{x∈R|g(x)≠0}=A∩(
UB).

答 选 B. 说明:本题把分式的意义与集合相结合. 例 8 集合 A 含有 10 个元素,集合 B 含有 8 个元素,集合 A∩B 含有 3 个元素, 则集合 A∪B 有________个元素. 分析 一种方法,由集合 A∩B 含有 3 个元素知,A,B 仅有 3 个元素相同,根 据集合元素的互异性,集合 A∪B 的元素个数为 10+8-3=15. 另一种方法,画图 1-10 观察可得.

答 填 15. 例 9 已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数}, B 是 U 的两个子集, A∩( A, 且 ={5,13,23},(
UA)∩B={11,19,29},( UA)∩( UB)={3,7}求 UB)

A,B.

分析 由于涉及的集合个数,信息较多,所以可以通过画图 1-11 直观地求解.



∵U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}
UB),( UA)∩B

用图形表示出 A∩(

及(

UA)∩(

UB)得

U(A∪B)={3,7},A∩B={2,17},所以

A={2,5,13,17,23}, B={2,11,17,19,29}. 说明:对于比较复杂的集合运算,可借助图形.

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学科渗透 例 10 设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求 A ∪B. 分析 欲求 A∪B,需根据 A∩B={9}列出关于 x 的方程,求出 x,从而确定 A、 B,但若将 A、B 中元素为 9 的情况一起考虑,头绪太多了,因此,宜先考虑集合 A, 再将所得值代入检验. 解 由 9∈A 可得 x2=9 或 2x-1=9,解得 x=±3 或 5. 当 x=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B 中元素违反互异性,故 x=3 应舍去; 当 x=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,此时 A∪B={-7,-4,-8,4,9} 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时 A∩B={-4,9},这与 A ∩B={9}矛盾. 故 x=5 应舍去. 从而可得 x=-3,且 A∪B={-8,-4,4,-7,9}. 说明:本题解法中体现了分类讨论思想,这在高中数学中是非常重要的. 例 11 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若 A∩B=B,求 a 的值.

分析 由A∩B=B,B ? A,而A={x|x 2 +4x=0}={0,-4},所以
需要对 A 的子集进行分类讨论.

解 假如B≠?,则B含有A的元素.
设 0∈B,则 a2-1=0,a=±1,当 a=-1 时,B={0}符合题意;当 a=1 时,B ={0,-4}也符合题意. 设-4∈B,则 a=1 或 a=7,当 a=7 时,B={-4,-12}不符合题意.

假如B=?,则x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0无实数根,此时Δ <0得a
<-1. 综上所述,a 的取值范围是 a≤-1 或 a=1.

说明:B=?这种情形容易被忽视.
高考巡礼 例 12(1998 年全国高考题)设集合 M={x|-1≤x<2},N={x|x

-k≤0},若M∩N≠?,则k的取值范围是
A.(-∞,2] ∞) C.(-1,+∞)
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[ ] B.[-1,+ D.[-1,2]

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分析 分别将集合 M、N 用数轴表示,可知:k≥-1 时,M∩

N≠?.
答 选 B. 例 13(2000 年全国高考题)如图 1-12:U 为全集,M、P、S 是 U 的 3 个子集, 则下图中的阴影部分为________.

分析 利用交集、并集、补集的意义分析. 解 阴影部分为:(M∩P)∩(
US).

说明:你能否指出 M∩(P∪S)是图形上的哪一区域?

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