2012高三数学一轮复习单元练习题:函数与数列(Ⅰ) 2


2013 高三数学一轮复习单元练习题: 函数与数列(Ⅰ) 武汉大学附中 古月浮云主讲(广州龙文)
填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卷相 应位置上。 1、函数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x

▲ ▲

。 条件。 ▲ 。 ▲ 。

2、 “a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的

3、在等比数列 {an } 中, a2 ? 8 , a1 ? 64 ,则公比 q 为

a 4、在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3, 6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ?

5、设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
a


b



6、设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则

1 4 ? 的最小值为 a b



。 ▲ 。

7、等差数列 ?an ? 的公差不为零, a1 ? 2 ,若 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 an =

8、一个等差数列的前 12 项的和为 354,在这 12 项中,若“偶数项的和”与“奇数项的和”的比为 32:27, 则公差 d= ▲ 。 9、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009)的值为= ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

▲ 。 10、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要 用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业 在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ▲ B 。 11、已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达 到最大值的 n 是 ▲ 。 ▲ 。 12、等差数列 ?an ? 中,若 s20 ? 50 , s50 ? 20 ,则 s70 =

? 13、已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时,

f ( x) ? log2 (x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 )





第1页

14、设 a1 ? 2 , an ?1 ?

2 a ?2 , bn ? n , n ? N * ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn = an ? 1 an ? 1





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。
1 1 1 1 1 15、设 s n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S3 , S4 的等比中项是 S5 ; S3 , S4 的等差中项是 1,求数列 3 4 3 4 5

?an ? 的通项公式。
16、设函数 f ( x) ?

ex x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,求不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集.

1a 17、已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

(1)令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列; (2)求 ?an } 的通项公式。 x米

18、围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的 造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m),修建此矩形场地的总费用为 y(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用 y 最小,并求出最小总费用。 19、 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象上一点, 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n ?1 = Sn + Sn?1 ( n ? 2 ).(1)求数列 {an } 和

1 3

{bn } 的通项公式;
(2)若数列{

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? . bn bn?1 2009
1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

20、设函数 f ( x) ? ?

1 1 处的切线斜率 (1)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点(,f( ))
(2)求函数的单调区间与极值;

第2页

(3) 已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 , x1 ? x 2 。 且 若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。

参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题 卷相应位置上。 1、函数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x

▲ ▲

。 [?4, 0) ? (0, 1] 条件。必要不充分 ▲ 。

2、 “a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的

3、在等比数列 {an } 中, a2 ? 8 , a1 ? 64 ,则公比 q 为

1 8
▲ 。3

a 4、在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3, 6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ?

5、设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
a


b

。4

6、设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则

1 4 ? 的最小值为 a b



。9 ▲ 。2n

7、等差数列 ?an ? 的公差不为零, a1 ? 2 ,若 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 an =

8、一个等差数列的前 12 项的和为 354,在这 12 项中,若“偶数项的和”与“奇数项的和”的比为 32:27, 则公差 d= ▲ 。5 9、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009)的值为= ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0



。1

10、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要 用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业 在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ▲ B 。 27 11、已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达 到最大值的 n 是 ▲ 。 n ? 20 ▲ 。-70 12、等差数列 ?an ? 中,若 s20 ? 50 , s50 ? 20 ,则 s70 =

? 13、已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时,

第3页

f ( x) ? log2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 )
14 、 设 a1 ? 2 , an ?1 ?



。1

2 a ?2 , bn ? n , n ? N * , 则 数 列 ?bn ? 的 通 项 公 式 bn = an ? 1 an ? 1





bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。
1 1 1 1 1 15、设 s n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S3 , S4 的等比中项是 S5 ; S3 , S4 的等差中项是 1,求数列 3 4 3 4 5

?an ? 的通项公式。
16、 (2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

ex x

求函数 f ( x) 的单调区间; 若 k ? 0 ,求不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集. 解: (1)

f ' ( x) ? ?

1 x 1 x x ?1 x e ? e ? 2 e , 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 2 x x x

因为 当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;

(0,1] 所以 f ( x) 的单调增区间是: [1, ??) ; 单调减区间是: (??, 0), .


f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ?

x ? 1 ? kx ? kx 2 x ( x ? 1)(? kx ? 1) x e ? 0, e ? x2 x2

得: ( x ? 1)(kx ? 1) ? 0 . 故:当 0 ? k ? 1 时, 解集是: {x 1 ? x ? } ; 当 k ? 1 时,解集是: ? ; 当 k ? 1 时, 解集是: {x

1 k

1 ? x ? 1} . 21 世纪 k

17、 (2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

1a 已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

第4页

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
n? 2 当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 ? 1? ? 1 ? [1 ? (? ) n? 2 ] ? ? (? ) n?1 , 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
18、围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的 造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m),修建此矩形场地的总费用为 y(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用 y 最小,并求出最小总费用。 x米 解: (1)设矩形的另一边长为 a m 则 y 2 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=

360 , x
.

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(II)? x ? 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800 4、已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若 x

? ) 对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的

第5页

值为



。1

? y ? 225x ?

3602 3602 时,等号成立. ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= x x

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. . 19、 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象上一点, 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n ?1 = Sn + Sn?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 3

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? . bn bn?1 2009
1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?
x

【解析】 (1) Q f ?1? ? a ?

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 a3 ? 3 3 27
又公比 q ?
n ?1 n a2 1 ? ,所以 an ? ? 2 ? 1 ? ? ?2 ? 1 ? ? ? ? ? a1 3 3?3? ?3?

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

第6页

1? 1 ? n 1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ; ? ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 2? 3? 2? 3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

20、 (2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

1 1 处的切线斜率 (Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点(,f( ))
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ) 已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 , x1 ? x 2 。 且 若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。 【答案】 (1)1(2) f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。函数 f (x) 在

2 1 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = m 3 ? m 2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 【解析】解:当 m ? 1时, f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3

1 1 处的切线斜率为 1. 所以曲线 y ? f ( x)在点(,f( ))
(2)解: f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m

1 因为 m ? 0, 所以 ? m ? 1 ? m
当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f (x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 3 1 m ? m2 ? 3 3

第7页

函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? (3)解:由题设, f ( x) ? x(? 所以方程 ?

2 3 1 m ? m2 ? 3 3

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

1 2 4 x ? x ? m 2 ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ,故 x1 ? x2 ? 3 ,且 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解 3 3 1 1 得 m ? ? (舍),m ? 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 则 f ( x) ?? ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f (x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 0,于是对 3
1 ? 0 ,解得 ? 3 ? m ? 3 3 3 3

2 任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ?

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

第8页


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