2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


课题:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目标 1.知识目标: ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式; ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式; ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系; 2.能力目标: ⑴培养学生的动手能力和探索能力; ⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化, 使学生进一步体会数形结合的思想; 3.情感目标: 引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴趣. 教学重点 平面向量数量积的坐标表示,以及有关的性质 教学难点 平面向量数量积的坐标表达式的推导 教学方法 启发引导式,讲练结合 教学过程设计 一、课题引入 1.问题情境 平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也 会改变. 向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一 节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式 又会带来哪些变化呢? 2.课前练习 ①设单位向量 i, j 分别与平面直角坐标系中的 x 轴、 y 轴方向相同,O 为坐标原点,若向量

OA ? 3i ? 2 j ,则向量 OA 的坐标是
为 ;

,若向量 a ? (1,?2) ,则向量 a 可用 i, j 表示

②已知 | i |?| j |? 1, i ? j ,且 a ? 3i ? 2 j , b ? i ? j ,则 a ? b ? 二、新课讲授 1.平面向量数量积的坐标表示



已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,怎样用 a 与 b 的坐标来表示 a ? b 呢? 设向量 i, j 分别为平面直角坐标系的 x 轴、 y 轴上的单位向量,则有

a ? x1 i ? y1 j , b ? x2 i ? y2 j


a ? b ? ( x1 i ? y1 j)(x2 i ? y2 j) ? x1 x 2 i ? x1 y 2 i ? j ? x 2 y1 i ? j ? y1 y 2 j ? x1 x2 ? y1 y2

2

2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

2.课堂练习 ①若 a ? (2,3) ,则 a ? a ? , | a |? ; ; ;

②若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别为 (?1,2) 和 (2,6) ,则 | a |? ③若 a ? (1,1) , b ? (?3,3) ,则 a ? b ? 3.平面向量数量积的坐标表示的性质 ⑴向量的模 设 a ? ( x, y) ,则有 a ? x 2 ? y 2 或 | a |? x 2 ? y 2 ⑵平面内两点间的距离公式 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,
| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
2

, a 与 b 的夹角是

⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷两向量的夹角的坐标表示公式 设 非 零 向 量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , ? 为 a 与 b 的 夹 角 , 则
c o ?? s a ?b | a |?|b| ? x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2 2

4.例题讲解 例 1.已知 a ? (?1, 3) , b ? ( 3,?1) ,求 a 与 b 的夹角 ? . 解: a ? b ? (?1) ? 3 ? 3 ? (?1) ? ?2 3
| a |? (?1) 2 ? ( 3 ) 2 ? 2 | b |? ( 3 ) 2 ? (?1) 2 ? 2

cos ??

a ?b | a |?|b|

?

?2 3 3 ?? 2? 2 2

∵ ∴

0 ?? ?? 5? ?? 6

例 2.已知 A(1,2) , B(2,3) , C (?2,5) ,试判断 ?ABC 的形状,并给出证明. 解: ?ABC 是直角三角形. 证明如下: ∵ ∴

AB ? (1,1) , AC ? (?3,3) ∴
AB ? AC


AB ? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

?ABC 是直角三角形

变式: ?ABC 中,已知 A(1,2) , B(2,3) , C (?2,5) ,若 BC 边上的高为 AD,求点 D 的坐标。 例题 3.已知 a ? (?2,1) ,(1)求与 a 垂直的单位向量; (2)求与 a 反向的单位向量。 三、评价练习 ①若 a ? (?4,3),b ? (5,6) ,则 3 | a |2 ?4a ? b ? ②若 a ? (3,1),b ? ( x,?3) ,且 a ? b ,则实数 x ? ③若 A(?1,?4), B(5,2), C (3,4) ,则 ?ABC 的形状是 ④若 a ? (2,3),b ? (?4,7) ,则 a 在 b 方向上的投影是 ⑤若 a ? (4,2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标是 ; ; ; ; ;

思考题:在直角 ?OAB 中, OA ? (2,3) , OB ? (1, k ) ,求实数 k 的值; 解:①若 ?AOB ? 90? ,则 OA ? OB ∴ 2 ? 3k ? 0 2 ∴ k?? 3 ②若 ?OAB ? 90? ,则 AO ? AB 而 AO ? (?2,?3), AB ? OB ? OA ? (?1, k ? 3) ∴ 2 ? 3(k ? 3) ? 0 ∴ k?
11 3

③若 ?OBA ? 90? ,则 BO ? BA 而 BO ? (?1,?k ), BA ? OA ? OB ? (1,3 ? k ) ∴ ? 1 ? k (3 ? k ) ? 0 ∴ k?
3 ? 13 2

四、课堂小结 ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式; ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式; ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系;

五、课外作业 ①课本 P121 的习题 2.4 中的第 5,8 题 ②补充练习:以坐标原点 O 和点 A(5,2) 为两个顶点作等腰直角 ?OAB ,且 ?B ? 90? ,求点 B 的坐标;


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