河南省南阳市部分示范高中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(文)试题


2012 年秋期南阳市部分示范高中期中考试二年级 数学试题(文)
第Ⅰ卷(60 分)
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分,在每小题答案中只有一项是符合题目要求的) 1.满足 A=45°,c= 6 ,a=2 的△ABC 的个数记为 m,则 a 的值为(
m

) D.不确定 ( )

A.4

B.2

C.1

2.等比数列{an}中,a2,a6 是方程 x2-34x+64=0 的两根,则 a4 等于 A.8 ( ) A.160 B.180 C.200 D.220 B.-8 C.± 8 D.以上都不对

3.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于

4. 在 等 比 数 列 {an } 中 , 若 an ? 0, a1 ? a100 ? 100, 则 lga1 ? lga2 ? lga3 ? ( )
100

? lga100 为

A. 100

B. 100

50

C.100

D.50

[来源:www.shulihua.net]

5.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B 等于 15 3 3 15 11 A. B. C. D. 4 4 16 16 6.在△ABC 中,若 lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC 是 A.等腰三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形









a1+a3+a9 7.已知等差数列{an}的公差 d≠0 且 a1,a3,a9 成等比数列,则 等于 a2+a4+a10 15 12 13 15 A. B. C. D. 14 13 16 16





8. 设 {an } 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 . 已 知 a 2 a 4 ? 1 则 S5 = ,S 3 =7 , ( A. )

15 2

B.

31 4

C.

33 4

D.

17 2

3x-y-6≤0, ? ? 9.设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 则 2 3 + 的最小值为 a b

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,





25 A. 6 ( ) A.-1<a<1

8 B. 3

11 C. 3

D.4

10.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)< 1 对任意实数 x 成立,则 B.0<a<2 1 3 C.- <a< 2 2 3 1 D.- <a< 2 2

11. 设集合 P ? {m | ?1 ? m ? 0}, Q ? {m ? R | mx2 ? 4mx ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立 }, 则 下列关系式中成立的是 A. P ? Q B. Q ? P C. P ? Q D. P ( )

Q??
b a

12. 锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 的取值范围 是( ) B.(0,2) C.( 2,2) D.( 2, 3)

A.(1,2)

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分,请将符合题意的最简答案填在题中横线上) 13.在等比数列 {an } 中,各项都是正数, a6a10 ? a3a5 ? 41, a4 ? a8 ? 4, 则 a4 ? a8 = 14.方程 x2 ? (m ? 3) x ? m ? 0 的两根都是负数,则 m 的取值范围是 15.已知命题: “在等差数列 {an } 中,若 4a2 +a10 ? a( ) ? 24, 则 S11 为定值”为真命题,由于 印刷 问题,括号处的数模糊不清,可推 得括号内的数为 16.在ΔABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)=

31 ,则 cosC=_______. 32

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

三、解答题: (解答题必须写出解题步骤和必要的文字说明,共 70 分) 17.(10 分)在△ABC 中,若 8·sin (1)求角 A 的大小; (2)如果 a= 3,b+c=3,求 b,c 的值.
2

B+C
2

-2cos 2A=7.

18.(12 分)已知函数 f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,

(1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围.

1 19.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,?). 2 (1)求数列{an}的通项公式;
? 1 ? 3 n (2)当 bn=log (3an+1)时,求证:数列?b b ?的前 n 项和 Tn= . 2 1+n ? n n+1?

20. (12 分 )祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作 实验区和台湾农业创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、 受理、 审批一站式服务.某台商到大陆创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂, 第一年各 种经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜 收入 50 万元。设 f(n)表示前 n 年的纯 收入(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额) (1)从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:?年平均利润最大时以 48 万 美元出售该厂;?纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂,问哪种方案最合算?

2 1. (12 分)已知点(1,2)是函数 f(x)=a x(a>0 且 a≠1)的图象上一点,数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)-1. (1)求数列{an}的通项公式;
[来源:数理化网]

(2)若 bn=logaan+1,求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

[来源:www.shulihua.net]

22.(12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ?1) , g ( x) ? 4( x ?1), 数列 {an } 满足 a1 =2,an ? 1,
2

(an ?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0. [来源:Z xxk.Com] 3 1 (1)求证: an +1 = an ? ; 4 4 (2)求数列 {an } 的通项公式;

高二数学文科试卷参考答案
一 、选择题:AA BCD 二 、填空题:13.7 三 、解答题: B+C π A B+C A A 17.解: (1)∵ = - ,∴sin =cos ,∴原式可化为 8cos2 - 2cos 2A=7, 2 2 2 2 2 2 1 ∴4cos A+4-2(2cos2A-1)=7,∴4cos2A-4cos A+1=0,解得 cos A= ,∴A=60° . 2 (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,∴b2 +c2-bc=3. 又∵b+c=3,∴b=3-c,代入 b2+c2-bc=3, 并整理得 c2-3c+2=0,
? ? ?b=1, ?b=2, 解之得 c=1 或 c=2,∴? 或? ?c=2, ?c=1. ? ?

ACBAC 14.

AD 15.18 16.

?3 ,9?

1 8

18. 解:(1)g(x)=2x2-4x-16<0,∴(2x+4)(x-4)<0,∴-2<x<4, ∴不等式 g(x)<0 的解集为{x|-2<x<4}. (2)∵f(x)=x2-2x-8.当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x-m-15 恒成立, ∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即 x2-4x+7≥m(x-1). x2-4x+7 ∴对一切 x>2,均有不等式 ≥m 成立. x-1 x2-4x+7 4 而 =(x-1)+ -2≥2 x-1 x-1 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,2]. 4 ?x-1?× -2=2(当 x=3 时等号成 立). x-1

?a =2S , 19. (1)解:由已知? 1 ?a =2S
n+1 n n n-1

1

3 (n≥2),得 an+1= an(n≥2).∴数列{an}是以 a2 为首项, 2

3? n - 2 3 1 1 1 以 为 公 比 的 等 比 数 列 . 又 a2 = S1 = a1 = , ∴ an = a2× ? ?2? (n≥2) . 2 2 2 2 1, n=1, ? ? ?1 ?3?n-2 ?2×?2? , n≥2. ? 3 3 3 3?n-1? 1 1 1 1 (2)证明:bn=log (3an+1)=log ?2×? =n. ∴ = = - . 2 2? ?2? ? bnbn+1 n?1+n? n 1+n 1 1 ? 1 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 1 1 - + - + - +?+?n- ∴Tn= + + +?+ =? b1b2 b2b3 b3b4 ? 1+n? bnbn+1 ?1 2? ?2 3? ?3 4? 1 n =1- = . 1+n 1+n 20.解:(1)设从第 n 年开始获取纯利润,则

∴ an =

f (n) ? 50n ? [12n ?
2

n(n ? 1) ? 4 ? 72] ? ?2n 2 ? 40n ? 72 ? 0 2

整理得 n -20n+36 ? 0 ,解得: 2 ? n ? 18 ∴从第三年开始获取纯利润. (2) 方 案 1 : 年 平 均 利 润 为

f (n) ?2n2 ? 40n ? 72 36 36 ? ? 40 ? 2(n ? ) ? 40 ? 4 n ? ? 16 n n n n
当且仅当 n =

36 即 n =6 时取等号 n

∴总利润为 y1 =16 ? 6+48=144 (万元)

方案 2:纯利润总和为 f (n) ? ?2n2 ? 40n ? 72 ? ?( 2 n ?10)2 ? 128 ∴ n =10 时, f (n)max ? 128 ∴总利润为 y2 =128+16=144 (万 元) 由于方案 1 用时较短,故方案 1 最合算 21.解:(1)把点(1,2)代入函数 f(x)=ax 得 a=2,∴数列{an}的前 n 项和为 Sn=f(n)-1=2n -1.[来源:www.shulihua.net] 当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2n 1=2n 1,
- -

对 n=1 时也适合,∴an=2n 1.


(2)由 a=2,bn=logaan+1 得 bn=n,∴anbn=n· 2n 1.Tn=1· 20+2· 21+3· 22+?+n· 2n 1,①
- -
源:www.shulihua.net

[来

2Tn=1· 21+2· 22+3· 23+?+(n-1)· 2n 1+n· 2 n.②由①-②得:-Tn=20+21+22+?+2n
- -1

-n· 2n, 所以 Tn=(n-1)2n+1.

22.解:(1)

f ( x) ? ( x ?1)2 , g ( x) ? 4( x ?1),(an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0

?4(an+1 -an )(an ?1) ? (an ?1)2 ? 0 又 an ? 1?4(an?1 ? an ) ? (an ?1) ? 0 即 3 1 an +1 = an + 4 4 3 1 3 3 3 a ?1 3 ? an ?1 ? 1 ? an ? ? (an ? 1) 即 n +1 = (2)由(1)知: an +1 = an + 4 4 4 4 4 an ? 1 4 3 3 3 ??an ?1? 是以 为公比的等比数列. 又 a1 ? 1=1 ? an ? 1 ? ( ) n ?1 ? an ? ( ) n ?1 ? 1 4 4 4


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