2009-2010一元微积分


2009-2010 学年第一学期一元微积分(A 上)试卷
踏实学习,弘扬正气;诚信做人,诚实考试;作弊可耻,后果自负
教师 题号 得分 一、填空题(每题 3 分,共 30 分) (1)函数 y ? arcsin 班号 一 专业班级 二 三 学号 四 姓名 五 成绩 六

1 的定义域为 x ?1




(2) lim

(n ? 1)100 ? n100 ? n ?? n99
n n n

(3) lim 1 ? 2 ? 3 ?
n??



(4)曲线 y ?
1

sin x 有 x( x ? 1)


条渐近线。

(5) lim x x ?1 ?
x ?1

(6)已知 f ?(1) ? 1 ,则 lim
x ?0
2 (7) d x ln( x ? 1) ?

?

?

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? x
dx 。




(8)已知 ?

? x ? t (1 ? sin t ) dy |t ?0 ? , dx ? y ? t ? cos t

1 的拐点坐标为 。 1 ? x2 (10)函数 y ? x ? cos x 在区间 [ ?? , ? ] 上的最大值为
(9)曲线 y ? 二、解下列各题(每题 6 分,共 36 分)
3



(1)求 a , b ,使得当 x ? 1 时, x ? ax ? b 是 x ? 1 的高阶无穷小。

(2)已知函数 y ? y ( x) 由方程 sin x ? e y ? xy ? 1确定,求 y ?(0) 与 y ??(0) 。

e x sin x ? x(1 ? x) (3)求极限 lim 。 x ?0 x3

(4)设函数 f ( x ) 在 x ? 0 处连续,且 lim
x ?0

f ( x) ? A 存在,证明 f ( x) 在 | x|

x ? 0 处可导的充要条件为 A ? 0 。

(5)假设函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上连续,在区间 (0,1) 内可导, a ? (0,1) 。

f (0) ? 1, f (1) ? 0, f (a) ? a 。证明存在两个不相同的数 ? ,? ? (0,1) ,使得 f ?(? ) f ?(? ) ? 1。

(6)求函数 f ( x) ? ln(1 ? x2 ) 的带佩亚诺型余项的 n 阶麦克劳林公式,并 求 f ( n ) (0) 。

? ex ?1 x?0 ? ? x 三、(9 分)已知函数 f ( x) ? ? ,求 f ?( x ) 。 ?sin x ? 1 x ? 0 ? 2 ?

四、(10 分) 证明双曲线 xy ? a 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角
2

形面积恒为常数。

五、(10 分) (1) 证明对任意自然数 k 及实数 a ? (0,1) ,方程 tan x ? ax 在每个区间

?? ? ? k? , k? ? ? 内存在唯一实根。 2? ?
(2) 证明 lim
x ??

tan x 不存在且非无穷大。 x

六、(5 分)已知正数列 ? xn ?n ?1 满足 lim
?

n ??

xn?1 1 ? c ? 1 ,证明 lim ? 0 。 n ?? x xn n


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