抛物线的简单几何性质


一、复习回顾:
1、抛物线的定义:
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e ? 1,则这个点的轨迹是抛物线 .
定点F是抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线, 常数e=1是抛物线的离心率 .
K

l

y

d

.M .
F

y ? 2 px
2

O

x

p ? 0是焦准距

--抛物线标准方程

2、抛物线的标准方程:
标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0)
y y
F

x 2 ? 2 py( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y o x
F

图 形

.
p F ( ,0) 2 p x?? 2

o

x

F





F (?



线

p ,0) 2 p x? 2

3、椭圆和双曲线的性质:

.

o

x

F

o

x

p F (0, ) 2 p y?? 2

F (0,?

p ) 2 p y? 2

2 2 x y 方程 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 性质 a b

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

图形

范围 对称性 顶点坐标

B1 (0,?b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1B2叫短轴
e? c , (0 ? e ? 1) a

x ? ?a或x ? a, y ? R 关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 (?a,0), A2 (a,0) A1 (?a,0), A2 (a,0)
A1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴
c e ? , (e ? 1) a

? a ? x ? a,?b ? y ? b

离心率

二、讲授新课: 类比探索
o

y
F

结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R

.

x

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点.

(4)离心率

e=1

y

P

(5)焦半径
(6)通径

|PF|=x0+p/2

O

F

x

通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相 交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
通径的长度:2P

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

特点:
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;

2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大!

三、例题选讲:
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点

M(2, ?2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可

避免讨论!

思考: 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
联立用韦达定理解得 X^2-6X+1=0 X1+X2=6 X1X2=1 弦长公式:/AB/=根号 1+K^2*/X1-X2/ = 8

法二:设而不求 ,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三: 设而不求, 数形结合, 活用定义, 运用韦达定理,计 算弦长. X^2-6X+1=0 X1+X2=6 X1X2=1
/AB/=X1+X2+P=8

法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

一般地, 题目改为: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.

2p AB ? 2 sin ?

思考:通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗?

问题(接上一节的思考): 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.

法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.

继续

p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 ? 2 p ∴直线 AB 的方程为 x ? y cot ? ?

问题: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

p ? ( x , y ) 2 2 ? x ? y cot ? ? 由? 2 消去 x 并整理得 y2 ? 2 py cot ? ? p2 ? 0 与直线 ? y 2 ? 2 px ? 的倾斜角 ∴ y1 ? y2 ? 2 p cot ? , y1 ? y2 ? ? p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) = (1 ? cot ? )( y1 ? y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 ? cot ? ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 = 2 sin ?
解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!

2

问题: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. p 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,焦点 F ( , 0) M ( x1 , y1 ) 2
p 准线 l : x ? ? ,分别过点 A、B 作 l 的垂 2 线,垂足分别为 M、N.

由抛物线定义可知 FA ? MA , FB ? NB N

( x2 , y2 )

p ∵直线 AB 的方程为 x ? y cot ? ? 2 p ? ? x ? y cot ? ? 由? 2 消去 y 并整理得 x2 ? (2 p cot 2 ? ? p) x ? p2 ? 0 ? y 2 ? 2 px ? 2p 2 ∴ AB = 2 p cot ? ? 2 p ? sin 2 ?

∴ AB ? FA ? FB = x1 ? x2 ? p

问题: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.

解 : 如图记焦点 F , 准线 l , 分别过点 M A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、N. 由抛物线定义可知 FA ? MA , FB ? NB K

过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. 在△ AFE 中 EF ? AF cos ? .

Q
E

N

p ∴ FA = MA ? KE ? p ? FA cos ? ∴ FA ? 1 ? cos ?

记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF ? p

p p p 2p ? ? 同理 FB ? ,∴ AB ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ?

返回

发现一个结论: 2 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 ? y2 ? ? p .
2

M

这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K

几何解释,就是

? N

MK ? NK ? KF

2

思考: “一条直线和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?

刚才发现的结论的逆命题是否成立? 已知直线 l 和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交,两个交点的纵坐 p 2 标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p ,求证:直线 l 过焦点 F ( , 0) . 2

太漂亮了!
继续大胆猜想

大胆猜想: 过定点 P(a,0) (a>0) 的一条直线和抛物线 2 y ? 2 px( p ? 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 ? y2 是定值.

关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 思考: 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

坐标法是一种非常好的证明,你 还有没有其他好方法呢? 本题几何法也是一个极佳的思维!

作业: A 、B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点,满 足 OA ? OB ( O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积 , 纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.

答案:下一张

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) y y ⑴ kOA ? 1 , kOB ? 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
2 2 y y ∵ y12=2px1,y22=2px2∴ 1 ? 2 ? y1 y2 ? 0 2p 2p ∵ y1≠0,y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y ?y 2p ∴ 1 2? ∴ k AB ? ∴直线 AB: y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y2 y1 ? y2 x1 ? x2 y1 ? y2

y12 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y? ∴ y? ? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2
2 2 px ? 4 p ∵ y12 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p2 ∴ y ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 2p ∴ y? ( x ? 2 p) ∴ AB 过定点(2p,0). y1 ? y2

二、抛物线的焦点弦:

如图所示,弦AB过抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F, 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),弦AB的中点为P(x0 ,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线,垂足分别为A1、B1、P 1,依据 抛物线的定义,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线, 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此,我们容易得到
p1
B1 l

y
A

A1 p F B

x

抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB |? x1 ? x2 ? p ? 2 x0 ? p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外,将直线方程与抛物线方程联立方程组, l 我们还可以推得以下结论:
2P (1)若直线的倾斜角为?,则 | AB |? . 2 sin ?
(2) A、B两点间的横坐标之积,纵坐标之积均为 定值,即x1x2 ? p , y1 y2 ? ? p 2 . 4
2

y
A

A1 p1
B1

?
F

p

(3)设 | AF |? m,| BF |? n, 则

1 1 2 ? ? . m n p

B

x

(4)所有的焦点弦中,通径是最短的.

通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值

2P | AB |? 2 sin ?

1、求焦点为F (?2,3),准线方程为y ? 5的抛物线方程.
y

解:设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知:
?

.
P

F

O

x

P到F的距离等于到直线 y ? 5的距离
即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ?| y ? 5 |

化简得: ( x ? 2)2 ? ?4( y ? 4)

4、抛物线y 2 ? x和圆( x ? 3)2 ? y2 ? 1上最近两点间的距离为?
y

分析:如图, 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q

P
O F

Q
? C

| PQ |?| PA |
? | PQ | 最小值时,连线必经过 圆心

.

A

x

设P( x, y), C (3,0)
?| PC |? ( x ? 3) ? y ?
2 2

x ? 5 x ? 9 ( x ? 0)
2

5 11 ?当x ? 时, | PC |min ? 2 2 11 ?| PQ |min ? ?1 2

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y

解:(1)设lOA : y ? kx, 则lOB

1 :y?? x k

A

x O F ?M 2 2 ? y ? kx ? y A ? , xA ? 2 联立 ? 2 k k B ? y ? 2x 1 ? ?y ? ? x 联立? k ? yB ? ?2k , xB ? 2k 2 ? y 2 ? 2x ? 1 x A ? xB 1 ? 2 2 ? ? k x ? ? ( ? k ) ?2 2 ? ? k k 2 ?? 2 ? 轨迹方程: y ? x ? 2 1 y ? y B ?y ? A ? ?k ? k ? 2

.

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y

(2)设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y ? kx ? b
? y ? kx ? b 联立? 2 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 ? y ? 2x

A
O F

.

?M
B

x

b2 2b ? x1 x2 ? 2 同理 y1 y2 ? k k

b 2 2b ? 0 ? b ? ?2k 由OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 ? k k
?l AB : y ? kx ? 2k 与x轴交点(2,0)

6、已知直线l:x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点, 求证:OA⊥OB. 证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1,KOB =-1 因此OA⊥OB
y

A

O

C(2p,0) y2=2px B
L:x=2 p

x

变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于A、B 两点,求证:OA⊥OB. y A

2

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

O

P(2p,0)

x

设l : x ? my ? 2 p代如y 2 ? 2 px得

B
l

y2=2px

y ? 2 pmy ? 4 p ? 0
2 2

....................

2 y 变式2: 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点,

且OA⊥OB ,则_____ _____. 直线l过定点(2p,0)
y

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

A

设l : x ? my ? a代如y ? 2 px得
2

O

P

x

B
l

y2=2px

y ? 2 pmy ? 2 pa ? 0
2

y12 y2 2 ? y1 y2 ? ?2 pa又x1 ? 、x2 ? 2p 2p

? x1 x2 ? a2

....................

直线和抛物线的位置关系

2016年12月9日星期五

一、复习回顾:

直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法:
1、根据几何图形判断的直接判断



2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数

Ax+By+c=0

解的个数 f(x,y)=0(二次方程)



判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经 接触了一些,在我们看来就是三句话的实践: (一)设而不求; (二)联立方程组,根与系数的关系; (三)大胆计算分析,数形结合激活思维.

这一节我们来做几个关于直线与抛物线 的问题……

二、讲授新课:
问题:你能说出直线与抛物线位置关系吗?

y

x F

思考 1: 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?

分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.

思考 1: 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点? 解:依题意直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 消去 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 (Ⅰ) x 联立 ? 2 (*) ? y ? 4x y 呢? 0 时,方程(Ⅰ)只有一解 当 k ? 你认为是消 ,∴直线与抛物线只有一个公共点 x 呢,还是消
1 ①当△=0 时,即 k ? 0 或 ? 2

当 k ? 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= ?16(2k ? k ? 1)
2

……

……

……

思考 1: 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?

?

几何画板演示

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1 直线的方程是__________________________.
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、
2答案

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB ? 1 ? 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=

( y1 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =

4?b 2

4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

思考 2: 2 若抛物线 y ? x 存在关于直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: ?2 ? k ? 0

分 析: 假设 存在 关于 直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k ? 0 不合题意,∴ k ? 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

试试看!

学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.

课外思考: 1.求抛物线 y ? 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 (即在抛物线的内部) 的轨迹方程. x ? 2 ( y ≥ 2 2 ) 2.若抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 . 线 y ? x ? m 对称,且 x1 x2 ? ? ,则 m ? _____ 2 2

直线与抛物线的位置关系 ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交 : 直线与抛物线交于两个不同点 , 或直线与抛物线 的对称轴平行; 相切 : 直线与抛物线有且只有一个公共点 ,且直线不平 行于抛物线的对称轴; 相离:直线与抛物线无公共点. ⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是: ①方程组有一组解 ? 直线与抛物线相交或相切(1 个公 共点; ②方程组有两组解 ? 直线与抛物线相交(2 个公共点); ③ 方程组无解 ? 直线与抛物线相离

例2、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线 两交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1), 求直线l的方程.
说明:中点弦问题的解决方法:
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法

附:补充例题:
1、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L:4x+3y+46=0的 距离最短,并求此距离.

解:直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 ),
则y0 ? 64x0
2

y0 2 将x0 ? 代入得: 64 2 y0 ? 3 y0 ? 46 2 y ? 48y0 ? 16? 46 d ? 16 ? 0 , ( y0 ? R ) 5 80

4 x0 ? 3 y0 ? 46 4 x0 ? 3 y0 ? 46 d ?| |? 5 16 ? 9

y

O

.

F

x

?当y0 ? ?24时, d min ? 2 此时P(9,?24)

设直线4 x ? 3 y ? m ? 0与抛物线相切 另解: ? y 2 ? 64x y2 ? ? 3 y ? m ? 0 由? ? 0得 : m ? 36 ? ?4 x ? 3 y ? m ? 0 16

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值.

解:设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y ? kx ? b
y
M A F

B

? y ? kx ? b 2 ? x ? kx ? b ? 0 ? 2 ?y ? x

o

x

由弦长 | AB |? 1 ? k 2 k 2 ? 4b ? 2
y1 ? y2 x1 ? x2 k2 ? y0 ? ? k( )?b? ?b 2 2 2

1 k2 ?b ? ? 2 1? k 4

k2 1 1? k 2 1 1 1 3 ? y0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? (当k ? ?1时,取等号 ) 2 2 4 1? k 4 1? k 4 4 4
? y0 min ? 3 4

1 此时 l AB : y ? ? x ? 4

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值.

解法二: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN ? AD ? BC , MN ?

1 AD ? BC ? 2( ? y0 ) 4
1 AF ? BF ? 2( ? y0 ) 4

p 1 ? y0 ? ? y0 , 2 4
A D

y
M F

B

o
N C

x

AD ? AF , BC ? BF

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2

?(| AF | ? | BF |) min ? 2

即y0 min

3 ? 4

4、已知抛物线y ? x 2上存在两个不同的点M , N 关于 9 直线y ? ?k x ? 对称,求k的范围. 2

解:设M ( x1, y1 ), N ( x2 y2 ), MN中点( x0 , y0 )
2 ? y ? x ? y ? y2 由? 1 1 2 相减得:1 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? y 2 ? x2 1 ? ? 2 x0 k ? y0 ? 4 9 又y0 ? ? kx 0 ? 2
?

M

y
?

P
?

N?

.
O

F

A

x

? ?2 ? x0 ? 2 要使直线 MN与抛物线有两交点,

1 1 1 ? ?4 ? ? 4 ? k ? (?? ,? ) ? ( ,?? ) k 4 4

抛物线的对称性问题 例.已知直线过原点,抛物线的顶点 在原点,焦点在x轴的正半轴上,且 点A(-1,0)和B(0,8)关于直 线的对称点都在抛物线上,求直线 和抛物线的方程。

类型四 抛物线的最值与定值问题 [ 例 4] 如图 6 ,已知△ AOB 的一个顶点为抛 物线y2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线 上,且∠AOB=90°. (1)证明直线AB必过一定点; (2)求△AOB面积的最小值.
图6

[解]

(1)证明: 设 OA 所在直线的方程为 y= kx,

1 则直线 OB 的方程为 y=- x, k 2 ? ?y= kx, ?x= 0, ?x=k2, ? ? 由? 2 解得? 或? ? ? ?y = 2x, ?y= 0, ?y= 2, ? k 1 ? ? y =- x, 2 2 k 即 A 点的坐标为 ( 2, ).同样由? k k 2 ? y ? = 2x,

解得 B 点的坐标为 (2k2,- 2k). 2 + 2k k ∴ AB 所在直线的方程为 y+ 2k= (x- 2k2), 2 2 2- 2k k 1 化简并整理,得 ( - k)y= x- 2. k 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数,当 x= 2 时,恒 有 y= 0. 故直线过定点 P(2,0).

(2)解:由于 AB 所在直线过定点 P(2,0),所以可 设 AB 所在直线的方程为 x= my+ 2.
? ?x= my+ 2, 由? 2 ? ?y = 2x,

消去 x 并整理得 y2- 2my- 4= 0.

∴ y1+ y2= 2m,y1y2=- 4. 于 是 |y1 - y2| = ? y1- y2?2 = ? y1+ y2?2- 4y1y2 = ? 2m? 2+ 16= 2 m2+ 4.

1 S△ AOB= × |OP|× (|y1|+ |y2 |) 2 1 1 = |OP |· |y1- y2|= × 2× 2 m2+ 4 2 2 = 2 m2+4. ∴当 m= 0 时,△ AOB 的面积取得最小值为 4.

迁移体验4 如图7所示,已知直线l:y=2x- 4与抛物线y2=4x交于A,B两点,试在抛物 线的弧AOB上找一点P,使△PAB的面积S最 大,并求出这个最大面积.

图7

? ?y= 2x- 4, 解:联立方程组? 2 ? ?y = 4x, ?x= 4, ? 解得? ? ?y= 4 ?x= 1, ? 或? ? ?y=- 2,

不妨设 A, B 两点的坐标分别为 (4,4), (1,- 2), 由两点间的距离公式可得 |AB|= 3 5.

设抛物线的弧 AOB 上任一点 P 的坐标为(x0,y0), d 为点 P 到直线 AB 的距离. |2x0- y0- 4| 1 y2 d= = | 0- y0- 4| 5 52 = 1 2 5 |(y0- 1)2- 9|,

∵- 2<y0<4,∴(y0- 1)2-9<0. ∴ d= [9- (y0- 1)2]. 2 5 1

当 y0=1 时,dmax= , 2 5 1 9 27 Smax= × ×3 5= . 2 2 5 4 综上,对抛物线 y2=4x, 1 即当 P 点的坐标为 ( , 1)时,△PAB 的面积 S 4 27 取得最大值,最大值为 . 4

9

[例5] 设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的 距离为3,求抛物线的方程.
[误解] m 准线方程为 x=- , 4

因为准线与直线 x=1 的距离为 3, m 所以准线方程为 x=-2, 所以- 4 =-2, 所以 m=8, 故抛物线方程为 y2=8x.

[辨析] 错因只考虑到了m>0的情况,而 m<0时也可以满足条件.因此,求抛物线 方程时,要考虑各种情况,以免遗漏.

[正解]

m 当 m>0 时,准线方程为 x=- 4 =-2,

所以 m=8. 此时抛物线方程为 y2=8x; m 当 m<0 时,准线方程为 x=- 4 =4,所以 m=-16, 此时抛物线方程为 y2=-16x. 所以所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-16x.

例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。

证明:以抛物线的对称 轴为x轴,它的顶点为原点, 建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 y 2 ? 2 px, 2 y0 2p 点A的坐标为 ( , y0 ),则直线OA的方程为y ? x, 2p y0 p 抛物线的准线是 x ? ? 2 p2 联立可得点 D的纵坐标为 y?? . y0 p 因为点F的坐标是( ,0),所以直线AF的 2 p D x ? y 方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2

y

A O F B
x

p2 联立可得点 B的纵坐标为 y?? . y0

所以DB // x轴。

一、抛物线的几何性质:
性质

方程

设抛物线方程为: y 2 ? 2 px, ( p ? 0)
l
y

d

M

图形

K

O

F

x

范围 对称性

顶点坐标

x ? 0, y ? R 关于x轴对称 坐标原点(0,0)
e ?1
p | MF |? x0 ? , 2 M ( x0 , y0 )

离心率 焦半径 通径

| AB |? 2 p

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

y∈ R

x≤0 y∈ R
(0,0)
p ? x0 2

x∈ y≥0 x∈R y≤0 R
关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2


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