2017最新立体几何知识点(文科)教师


立体几何题型与方法(文科)
1.平面
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平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (1).证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内 , 推出点在面内) , 这样可根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 (2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的 公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。 (3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证 明两平面重合 2. 空间直线. (1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线:共面有且仅有一个公共点;平行直线:共面 没有公共点;异面直线:不同在任一平面内,无公共点 (2). 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方 向相同,那么这两个角相等(如右图). (直线与直线所成角 ? ? [0? ,90? ] ) (向量与向量所成角 ? ? [0 ? ,180? ]) (3). 两异面直线的距离:公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. [注]: l1 , l 2 是异面直线,则过 l1 , l 2 外一点 P,过点 P 且与 l1 , l 2 都平行平面有一个或没有,但与 l1 , l 2 距离相等的 点在同一平面内. ( L1 或 L 2 在这个做出的平面内不能叫 L1 与 L 2 平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1). 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2). 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行.( “线线平行 ? 线面平行” ) (3). 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.( “线面平行 ? 线线平行” ) (4). 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一
P

点有且只有一个平面和一条直线垂直. ? ? 若 PA ⊥ ? , a ⊥ AO ,得 a ⊥ PO (三垂线定理) , 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这 个平面.( “线线垂直 ? 线面垂直” )
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O A a

直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. (5).a.垂线段和斜线段长定理:从平面外一点 向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线 .. 段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线 段短. b.射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平 分线上。 4. 平面平行与平面垂直. (1). 空间两个平面的位置关系:相交、平行. (2) . 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( “线 面平行 ? 面面平行” ) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. (3). 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.( “面面平 行 ? 线线平行” ) (4). 两个平面垂直判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直判定二: 如果一条直线与一个平面垂直, 那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. ( “线面垂直 ? 面 面垂直” ) (5). 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一 个平面. 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面. 5. 棱柱. 棱锥 (1). 棱柱. a.①直棱柱侧面积: S ? Ch ( C 为底面周长, h 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积: S ? C1l ( C1 是斜棱柱直截面周长, l 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图 为平行四边形得出的. b.{四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}. {直四棱柱} ? {平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱 底面是 侧棱垂直 底面是 平行六面体 直平行六面体 底面 矩形 平行四边形 长方体 底面是 正方形 正四棱柱 侧面与 正方体 底面边长相等
θ

P

?
B M A O

?

c.棱柱具有的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形 ;正棱柱的各个侧面都是 ........
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全等的矩形 . ..... ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 多边形. .. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. d.平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点 ,并且在交点处互相平分. ............. [注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ? , ? , ? ,则
cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 .

推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 . ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交,可能不 相交,若两条边相交,则应是充要条件) (2). 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]:①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 V 棱柱 ? Sh ? 3V棱柱 . a.①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面正多边形的中心. b.棱锥具有的性质:①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它 叫做正棱锥的斜高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也 组成一个直角三角形. c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球,球心 0 是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径; ⑧每个四面体都有内切球,球心 I 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径. (3).圆锥的特征 圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做 圆锥。
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(1)轴截面是等腰三角形; (2)母线的平方等于底面半径与高的平方和:

l 2 ? r 2 ? h2

(3)圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。 6、圆台的结构特征

图圆锥

1. 圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 2. 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆; ⑵ 圆台的截面是等腰梯形; ⑶ 圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。 3. 圆台的面积和体积公式 S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径) S 圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l V 圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h 为圆台的高)) 平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于 顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; 4. 球: a.球的截面是一个圆面.
4 ①球的表面积公式: S ? 4?R 2 .②球的体积公式: V ? ?R 3 . 3

附:①圆柱体积: V ? ?r 2 h ( r 为半径, h 为高)
1 ②圆锥体积: V ? ?r 2 h ( r 为半径, h 为高) 3 1 ③锥体体积: V ? Sh ( S 为底面积, h 为高) 3

7.其他定理: (1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线; (2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ; 直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是它的特殊情况) ; 平面与平面的位置关系: 相交 ; ; 平行 ; (3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等; (4)射影定理(斜线长、射影长定理) :从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线 段相等;射影较长的斜线段也较长;反之,斜线段相等的射影相等;斜线段较长的射影也较长;垂 线段比任何一条斜线段都短。
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(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。 (6)异面直线的判定: ①反证法; ②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。 (7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 (8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。

8.唯一性定理: (1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 (2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。 (3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。 9.空间角的求法: (所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角 的范围: 0 ? ? ? 90 ;
o o

(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为 0 ; ②线面垂直:线面所成的角为 90 ; ③斜线与平面所成的角:范围 0 ? ? ? 90 ;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
o o

o

o

线面所成的角范围 0 ? ? ? 90
o

o

(3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; 二面角的平面角的范围: 0 ? ? ? 180 ;
o o

10.距离的求法: (1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足 间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。 注意:求点到面的距离的方法: ①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上) ; ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质) ; ③体积法:利用三棱锥体积公式。 (2)线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出 a , b 的公垂线段; ②转化为线面距离,即转化为 a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离,关键是找出或构造出这个平面;③转化为面
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面距离; (3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化; 10.常用的结论: (1)若直线 l 在平面 ? 内的射影是直线 l ? ,直线 m 是平面 ? 内经过 l 的斜足的一条直线,l 与 l ? 所成的角为 ? 1 ,l ? 与 m 所成的角为 ? 2 , l 与 m 所成的角为 ? ,则这三个角之间的关系是 cos? ? cos?1 cos? 2 ; (2)如何确定点在平面的射影位置: ①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上; Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角的两边夹角相等,那么斜线上的点在平面 上的射影在这个角的平分线所在的直线上; Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等,则这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分 线上。 ②垂线法:如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直 于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理); ③垂面法:如果两平面互相垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性 质定理); ④整体法:确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。 (3)在四面体 ABCD 中: ①若 AB ? CD, BC ? AD ,则 AC ? BD ;且 A 在平面 BCD 上的射影是 ?BCD 的垂心。 ②若 AB ? AC ? AD ,则 A 在平面 BCD 上的射影是 ?BCD 的外心。 ③若 A 到 BC, CD, BD 边的距离相等,则 A 在平面 BCD 上的射影是 ?BCD 的内心。 (4)异面直线上两点间的距离公式:若异面直线所成的角为 ? ,它们公垂线段 E A’ E’ F

a

AA' 的长为 d ,在 a , b 上分别取一点 E , F ,设 A' E ? m , AF ? n ;
则 EF ? 取正号)

d 2 ? m2 ? n 2 ? 2mncos?

A

(如果 ?E ' AF 为锐角,公式中取负号,如果 ?E ' AF 为钝,公式中

?

?
b

11. 空间向量. (1). a.共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. d.①共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对 x、 y 使
P ? xa ? yb .

②空间任一点 和不共线三点 、 B 、 C ,则 OP ? xOA ? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1) 是 PABC 四点共面的充要条 ...O . ......A . . . . . 件. (2).a.空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) ,y 轴是纵轴(对应为纵坐标) ,z
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轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 ) , ? a ? (?a1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R) , a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ,
a ∥ b ?a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b 2 ,a 3 ? ?b 3 (? ? R) ?
a1 a 2 a 3 ? ? 。 b1 b 2 b 3

a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0 。

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3 2 (向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a ) ? ? a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? a ?b ? ? 空间两个向量的夹角公式 cos ? a , b ?? ? 2 2 2 | a |?|b | a12 ? a 2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32
(a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ) 。 ②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . b.法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? ,如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. c.向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射线,其中 A ?? ,则 点 B 到平面 ? 的距离为

| AB ? n | |n|

.

②.异面直线间的距离 d ? 为 l1 , l2 间的距离).

CD ? n n

( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d

?

③.利用法向量求二面角的平面角定理:设 n1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量,则 n1 , n 2 所成的 角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n1 , n 2 方向相同,则为补角, n1 , n 2 反方,则为其夹角).

?? ? ?? ? ?? ? m? n m? n 二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
二、典型例题
1.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图及直观图如下图,其中俯视图为正方形,点 E 为棱 AD 的中点, (1)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使得 EF ? 平面 PBC ?若存在,求线段 EF 的长度; 2 2 若不存在,说明理由;
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2 正视图 2

2 侧视图

(2)求二面角 E ? PC ? D 的大小. P

A B

E C

D

解: (1)在棱 PC 上存在点 F,使得 EF⊥平面 PBC。 由三视图可知,AB⊥AD,AP⊥AB,AP⊥AD,以 AB 为 x 轴,以 AD 为 y 轴,以 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) ,E(0,1,0) ,P(0,0,2)设 F(x,y,z)在 PC 上,满足

PF ? ? PC(0 ? ? ? 1) PF ? ( x, y, z ? 2), PC ? (2,2 ? 2), BC ? (0,2,0)
? x ? 2? ? x ? 2? ? ? 由 ( x, y, z ? 2) ? ? (2,2,?2) 得 ? y ? 2? ,解得 ? y ? 2? ? z ? 2 ? ?2 ? ? z ? 2 ? 2 ? 2? ? ?
? F (2? ,2? ,2 ? 2? ) ??3 分? EF ? (2?,2? ? 1,2 ? 2? )
若 EF⊥面 PBC,则 ?

? ? EF ? PC ? 0 ?(2? ,2? ? 1,2 ? 2? ) ? (2,2,?2) ? 0 .即? ? ?(2? ,2? ? 1,2 ? 2? ) ? (0,2,0) ? 0 EF ? BC ? 0 ?
解得 ? ?

即?

?4? ? 4? ? 2 ? 4 ? 4? ? 0 ?4? ? 2 ? 0

1 ? [0,1], 这时 F (1,1,1) 2
EF= | EF |? 12 ? 0 2 ? 12 ?

∴F 存在,且为棱 PC 的中点, EF ? (1,0,1)

2。

(2) :设平面 PCE、平面 PCD 的一个法向量分别是 m ? ( x1 , y1 , z1 ), n ? ( x2 , y2 , z2 )

? PE ? m ? 0 ? ? ? EF ? m ? 0 则? ? PD ? n ? 0 ? ? ? DC ? n ? 0

? PE ? (0,1,?2) ? ? ? EF ? (1,0,1) ?? ? PD ? (0,2,?2) ? ? ? DC ? (2,0,0)

? y1 ? 2 z1 ? 0 ?x ? z ? 0 ? 1 1 ? ?2 y 2 ? 2 z 2 ? 0 ? ?2 x 2 ? 0

取 z1 ? z 2 ? 1, 得m ? (?1,2,1), n ? (0,1,1) ?12 分? cos ? m ? n ??

2?2 1? 4 ?1 ? 1?1

?

3 2

?? m ? n ?? 30?

所以二面角 E—PC—D 的大小为 30°

2.如图,在直角梯形 P1DCB 中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D=6,BC=3,DC= 6 ,A 是 P1D 的中点,E 是线段 AB 的中 点,沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P-CD-B 成 45°角. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; P (2)求平面 PEC 和平面 PAD 所成的锐二面角的大小. P1 A D A E B C B C D

E 第 9 页,共 24 页

证明(Ⅰ)? AB ? PA, AB ? AD,? AB ? 平面PAD.

?AB∥DC,?DC ? 平面 PAD. ?DC ? PD DC ? AD,

?? PDA 为二面角 P-CD-B 的平面角.
. ?PA ? AD. ? ? APD=45°

故 ? PDA=45° ? PA=AD=3, 又 PA ? AB ,?PA ? 平面 ABCD.

(Ⅱ)证法一:延长 DA,CE 交于点 N,连结 PN,

? NE ? CE . 由折叠知 PE ? NE , 又? E为中点, ? PE ? NE ? CE,? PN ? PC. ,
又由(1)知 PN ? PD , ? ?CPD 为二面角 C ? PN ? D 的平面角. 在直角三角形 PDC 中,

tan?CPD ?

CD 6 3 ,? ?CPD ? 30? . ? ? PD 3 2 3

即平面 PEC 和平面 PAD 所成锐二面角为 30° . 证法二:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则

? 6 ? ?, C 6 ,3,0 P?0,0,3?, D?0,3,0?, E ? , 0 , 0 ? 2 ? ? ?

?

?

? 6 ? ? 6 ? ? ? ? ? PE ? ? ? 2 ,0,?3 ?, EC ? ? 2 ,3,0 ? ,设 n?x, y, z ? 为平面 PEC 的法向量,则 ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?

6 x ? 3z ? 0 2 ,可设 n ? 6 x ? 3y ? 0 2

? 6,?1,1? , ?
6 3 ? 2 8? 6
? 2 ??? ? 2 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC , 5 5 5

又平面 PAD 的法向量 DC ?

?

6 ,0,0 ,? cos ? n, DC ??
??? ?

3、 已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面?

解析:要判断点 P 与 A, B, C 是否一定共面,即是要判断是否存在有序实数对 x, y 使 AP ? xAB ? yAC 或对 空间任一点 O ,有 OP ? OA ? xAB ? yAC 。
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??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

答案:由题意: 5OP ? OA ? 2OB ? 2OC , ∴ (OP ? OA) ? 2(OB ? OP) ? 2(OC ? OP) , ∴ AP ? 2PB ? 2PC ,即 PA ? ?2PB ? 2PC , 所以,点 P 与 A, B, C 共面. 点评:在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对 照形式将已知条件进行转化运算. 4. 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对角线 BD , AE 上,且

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 1 BD , AN ? AE .求证: MN // 平面 CDE . 3 3 ???? ? 解析:要证明 MN // 平面 CDE ,只要证明向量 NM 可以用平面 CDE 内的两 ???? ???? 个不共线的向量 DE 和 DC 线性表示. 1 答案:证明:如图,因为 M 在 BD 上,且 BM ? BD ,所以 3 ???? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ???? 1 ???? 1 ???? MB ? DB ? DA ? AB .同理 AN ? AD ? DE ,又 3 3 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? ???? CD ? BA ? ? AB ,所以 MN ? MB ? BA ? AN ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? 1 ???? ? 1 ???? 2 ??? ? 1 ???? ??? ? ???? 1 ??? 2 ??? ? ( DA ? AB) ? BA ? ( AD ? DE ) ? BA ? DE ? CD ? DE .又 CD 与 DE 不共线,根据共面向 3 3 3 3 3 3 3 3 ???? ? ??? ? ???? 量定理,可知 MN , CD , DE 共面.由于 MN 不在平面 CDE 内,所以 MN // 平面 CDE . BM ?
点评:空间任意的两向量都是共面的.与空间的任两条直线不一定共面要区别开. 5. 如图, 四边形 ABCD 为矩形,DA ? 平面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2 ,BF ? 平面 ACE 于点 F , 且点 F 在 CE 上 (Ⅰ)求证: AE ? BE ; (Ⅱ)求三棱锥 D ? AEC 的体积; (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM ? 2 MB , 试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE .

D

C

F
A
·M

B

E

一、

强化训练

(一) 选择题 1.定点 P 不在△ABC 所在平面内,过 P 作平面α ,使△ABC 的三个顶点到α 的距离相等,这样的平面共有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【答案】D 解析: 过 P 作一个与 AB,AC 都平行的平面,则它符合要求;设边 AB,BC,CA 的中点分别为 E, F,G,则平面 PEF 符合要求;同理平面 PFG,平面 PGE 符合要求 2.P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABCD,P 到 B,C,D 三点的距离分别是 5 , 17 , 13 ,则 P 到 A 点的距离是( )
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(A)1

(B)2

(C) 3

(D)4

【答案】A 解析:设 AB=a,BC=b,PA=h,则 a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1. 3.直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面α 内,直角顶点 C 在平面α 外,C 在平面α 内的射影为 C1,且 C1 ? AB,则△C1AB 为( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都不对 2 2 2 2 C 解析:∵C1A +C1B <CA +CB =AB, ∴∠AC1B 为钝角,则△C1AB 为钝角三角形. 4.已知四点,无三点共线,则可以确定( ) A.1 个平面 B.4 个平面 C.1 个或 4 个平面 D.无法确定 C.解析: 因为无三点共线,所以任意三个点都可以确定平面α ,若第四个点也在α 内,四个点确定一个平面,当 第四个点在α 外,由公理 3 知可确定 4 个平面.故选 C 5.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π , 它们位于球心的同一侧且相距是 1, 那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 2 2 B 解析: 如图,设球的半径是 r,则π BD =5π ,π AC =8π , 2 2 ∴BD =5,AC =8.又 AB=1,设 OA=x. 2 2 2 2 ∴x +8=r ,(x+1) +5=r . 解之,得 r=3 故选 B. 6.球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1 ,经过 3 个点的小圆的周长为 4π ,那么这个 6

球的半径为( ) B 解析: 设球半径为 R,小圆半径为 r,则 2π r=4π ,∴r=2.如图,设三点 A、B、C,O 为球心,∠AOB=∠BOC =∠COA=

? ,又∵OA=OB 3

∴Δ AOB 是等边三角形 同理,Δ BOC、Δ COA 都是等边三角形,得Δ ABC 为等边三角形. 边长等于球半径 R,r 为Δ ABC 的外接圆半径. r=

3 3 AB= R 3 3
3 r=2 3 3

R=

∴应选 B. A.4 3 B.2 3 C.2 D.

3


7.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 被以 A 为球心,AB 为半径的球相截,则被截形体的表面积为(

5 7 π B. π C.π 4 8 1 1 2 2 5 A.解析:S= π ·1 ×3+ ×4π ·1 = π 。 4 8 4
A.

D.

7 π 4

8.某刺猬有 2006 根刺,当它蜷缩成球时滚到平面上,任意相邻的三根刺都可支撑住身体,且任意四根刺的刺尖不 共面,问该刺猬蜷缩成球时,共有( )种不同的支撑身体的方式。
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A.2006

B.4008

C.4012

D.2008

B.解析:当有 n 根刺时有 an 种支撑法,n = 4,5, 6,? ,则 an+1=an+3-1=an+2 或 an+1=an+4-2=an+2,∴{an}n = 4,5,6,?, 为等差数列,∵a4 = 4∴an=2n-4,A2006=4008 。 9.命题①空间直线 a,b,c,若 a∥b,b∥c 则 a∥c ③平面 α 、β 、γ 若 α ⊥β ,β ⊥γ ,则 α ∥γ ⑤直线 a、b 与平面 β ,若 a⊥β ,c⊥β ,则 a∥c A.①②③ B.①③⑤ C.①②⑤ D.②③⑤ ②非零向量 a、 b、 c ,若 a ∥ b , b ∥ c 则 a ∥ c ④空间直线 a、b、c 若有 a⊥b,b⊥c,则 a∥c 其中所有真命题的序号是( )

C.解析:由传递性知①②正确;由线面垂直性质知⑤正确;由空间直角坐标系中三坐标平面关系否定③;三坐标 轴关系否定④。

10.在正三棱锥中,相邻两侧面所成二面角的取值范围是(



( , ?) A、 3

?

( B、

2? , ?) 3

C、 (0,

? ) 2

( , ) D、 3 3

? 2?

A.解析:法一:考察正三棱锥 P–ABC,O 为底面中心,不妨将底面正△ABC 固定,顶点 P 运动,相邻两侧面所 成二面角为∠AHC. 当 PO→0 时,面 PAB→△OAB,面 PBC→△OBC,∠AHC→π 当 PO→+∞时,∠AHC→∠ABC=
? . 3



? <∠AHC <π ,选 A. 3
2 3 . 3

P

法二:不妨设 AB=2,PC= x,则 x > OC = 等腰△PBC 中,S△PBC =

1 1 1 x·CH = ·2· x 2 ?1 ? CH = 2 1 ? 2 2 2 x

H A C O B

AC ?AHC ? 2 ? 等腰△AHC 中,sin 2 CH

1 2 1? 1 x2

由 x>

2 3 1 ?AHC ? ?AHC ? ? 得 ? sin <1,∴ ? ? ? <∠AHC<π . 3 2 2 6 2 2 3

11.一正四棱锥的高为 2 2 ,侧棱与底面所成的角为 45°,则这一正四棱锥的斜高等于( A.2 6 B.2 3 C.4 3 D.2 2



B.解析:由已知得底面对角线的一半为 2 2 ,所以底面边长的一半等于 2,由勾股定得斜高为 (2 2 ) ? 2 .
2 2

12 .以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机地取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率为 ( )

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A.

367 385

B.

376 385

C.

192 385

D.

18 385

A 解析:此问题可以分解成五个小问题:
3 (1)由正方体的八个顶点可以组成 c8 ? 56 个三角形;

(2)正方体八个顶点中四点共面有 12 个平面;
2 (3)在上述 12 个平面中每个四边形中共面的三角形有 c4 ? 4 个;
2 12c4 18 ; ? 3 c56 358

(4)从 56 个三角形中任取两个三角形共面的概率 p ?

(5) 从 56 个三角形中任取两个三角形不共面的概率, 利用对立事件的概率的公式, 得 P ? 1? 选 A. (二) 填空题 13.在三棱锥 P—ABC 中,底面是边长为 2 cm 的正三角形,PA=PB=3 cm,转动 点 P 时,三棱锥的最大体积为 .

18 367 ? ;故 385 385

14.P 为 ?ABC 所在平面外一点,PA、PB、PC 与平面 ABC 所的角均相等,又 PA 与 BC 垂直,那么 ?ABC 的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三 D1 角形④等腰直角三角形 15.将边长为 3 的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长 A1 为 1 的小正四面体,所得几何体的表面积为_____________ . 16.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为
1 1,点 M 在 A 上,且 AM= AB,点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P 到直 3

C1 B1 y C B x

D P A M

线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐标 系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是 . 13—16 解答 13.。
2 6 3

cm3.解析:点 P 到面 ABC 距离最大时体积最大,此时面 PAB⊥面 ABC,

1 3 2 6 ? ?4?2 2 ? 4 3 cm 3 . 高 PD=2 2 cm.V= 3
14.由题意可知 ?ABC 的外心在 BC 边的高线上,故一定有 AB=AC 选(1) (2) (4) 。 15. 7 3 .解析:原四个顶点截去后剩下截面为边长为 1 的正三角形,而原四面体的四个侧面变为边长为 1 的 正六边形,其表积为 4 ? 16. y 2 ?

3 3 ? 4?6? ?7 3 . 4 4

2 1 x ? 。解析:过 P 点作 PQ⊥AD 于 Q,再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H,连 PH,利用三垂线定理可证 3 9

PH⊥A1D1. 设 P(x,y) ,∵|PH|2 - |PH|2 = 1,∴x2 +1- [(x ?

1 2 2 2 1 ) +y ] =1,化简得 y 2 ? x ? . 3 9 3

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(三) 解答题 17. 已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG .

?

O
D

A

C
B

H
E F

??? ? ??? ? ???? 解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD ,
∵ EG ? OG ? OE ,

G

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ? ???? ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 18. 如 图 , P ? A B C D 是 正 四 棱 锥 , ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体,其中 A D B C P

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

AB ? 2, PA ? 6 .
(Ⅰ)求证: PA ? B1D1 ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的大小; (Ⅲ)求 B1 到平面 PAD 的距离. A
1

D
1

C B
1

第 19 题 图

1

1 1 4 4
1

解:(Ⅰ) 连结 AC , 交 BD 于点 O , 连结 PO , 则 PO⊥面 ABCD , 又∵ AC ? BD , ∴ PA ? BD , ∵ BD // B1D1 , ∴ PA ? B1D1 . (Ⅱ) ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO⊥面 PBD , 过点 O 作 OM⊥PD 于点 M, 连结 AM , 则 AM⊥PD , 就是二面角 A-PD-O 的平面角, 又∵ AB ? 2, PA ? 6 , ∴AO= 2 ,PO= 6 ? 2 ? 2 ∴∠AMO

OM ?

PO ? OD 2 ? 2 2 AO 2 6 ? ? , ∴ tan ?AMO ? , ? ? 2 OM 2 PD 6 3
3

即二面角的大小为 arctan

6 . 2
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(Ⅲ)用体积法求解: VB1 ? PAD ? VA? B1PD ? 即 B1 到平面 PAD 的距离为

1 1 6 5 hx ? S PAD ? AO ? S BPD 解得 hx ? , 5 3 3

6 5 5

19. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD; (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线 EF ? 平面 PCD? 证: (1)取 CD 中点 G,连结 EG、FG ∵E、F 分别是 AB、PC 的中点,∴EG//AD,FG//PD, ∴平面 EFG//平面 PAD, ∴ EF//平面 PAD. (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45?角时,直线 EF?平面 PCD. 证明: ∵G 为 CD 中点, 则 EG?CD, ∵PA?底面 ABCD∴AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影。 ∵CD?

平面 ABCD,且 CD?AD,故 CD?PD

.又∵FG∥PD∴FG?CD,故?EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD

所成二面角的平面角,即?EGF=45?,从而得?ADP=45?, AD=AP.由 Rt?PAE?Rt?CBE,得 PE=CE.又 F 是 PC 的 中点,∴EF?PC. 由 CD?EG,CD?FG,得 CD?平面 EFG,∴CD?EF,即 EF?CD, 故 EF?平面 PCD. 20. 已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC = AD = CD = DE = 2a,AB = a,F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求异面直线 AC,BE 所成角余弦值; (Ⅲ)求面 ACD 和面 BCE 所成二面角的大小. 解: (Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD ∴DE⊥AF。 又∵AC=AD=C,F 为 CD 中点 ∴AF⊥CD, ∴AF⊥面 CDE ∴AF⊥平面 CDE 。 (Ⅱ)∵

DE ? 平面ACD? ? ? DE // AB AB ? 平面ACD ?

取 DE 中点 M,连结 AM、CM,则四边形 AMEB 为平行四边形 AM//BE,则∠CAM 为 AC 与 BE 所成的角。在△ACM 中,AC=2a

AM ? AD2 ? DM 2 ? 4a 2 ? a 2 ? 5a CM ? CD 2 ? DM 2 ? 4a 2 ? a 2 ? 5a
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由余弦定理得: cos?CAM ?

(2a) 2 ? ( 5a) 2 ? ( 5a) 2 2 ? 2a ? 5a
5 。 5

?

5 5

∴异面直线 AC、AE 所成的角的余弦值为 (Ⅲ)延长 DA。EB 交于点 G,连结 CG。 因为 AB//DE,AB=

1 DE,所以 A 为 GD 中点。又因为 F 为 CD 中点,所以 CG//AF。 2

因为 AF⊥平面 CDE,所以 CG⊥平面 CDE。 故∠DCE 为面 ACD 和面 BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。 21. 如图,四边形 ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA, (Ⅰ)证明:AC//平面 PMD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小; (Ⅲ)求平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小。 (Ⅰ)证明:如图 1,取 PD 的中点 E,连 EO,EM。 ∵EO//PB,EO=

1 1 PB,MA//PB,MA= PB, 2 2

∴EO//MA,且 EO=MA ∴四边形 MAOE 是平行四边形, ∴ME//AC 。 又∵AC ? 平面 PMD,ME ? 平面 PMD, ∴AC//平面 PMD 。 (Ⅱ)如图 1,PB⊥平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, ∴CD⊥PB。 又∵CD⊥BC, ∴CD⊥平面 PBC。 ∵CD ? 平面 PCD, ∴平面 PBC⊥平面 PCD。 过 B 作 BF⊥PC 于 F,则 BF⊥平面 PDC,连 DF, 则 DF 为 BD 在平面 PCD 上的射影。 ∴∠BDF 是直线 BD 与平面 PDC 所成的角。 不妨设 AB=2,则在 Rt△BFD 中, BF ? ∴直线 BD 与平面 PCD 所成的角是

? 6

1 ? BD , ∴∠BDF= 2 6

(Ⅲ)解:如图 3,分别延长 PM,BA, 设 PM∩BA=G,连 DG, 则平面 PMD∩平面=ABCD=DG 过 A 作 AN⊥DG 于 N,连 MN。 ∵PB⊥平面 ABCD, ∴MN⊥DG ∴∠MNA 是平面 PMD 与平面 ABCD 所成 的二面角的平面角(锐角) 在 Rt△MAN 中, tan?MNA ?

MA 2 ? , NA 2

∴∠MNA=arctan

2 2
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∴平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角) 大小是 arctan

2 2

? ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D , 22. 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 , A 1 在底面

又知 BA1 ? AC1 。 (I)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (II)求 CC1 到平面 A 1 AB 的距离; (III)求二面角 A ? A 1 B ? C 的大小。 2 ,, 解: (I)因为 A1D ? 平面 ABC 4 , 所以平面 AAC 1 1C ? 平面 ABC , 6 又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AAC 1 1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 所以 AC1 ? 平面 A 1BC ; (II)因为 AC1 ? AC 1 ,所以四边形 AAC 1 1C 为 菱形,

D 为 AC 中点,知 ?A1 AC ? 60? 。 故 AA 1 ? AC ? 2 ,又
取 AA1 中点 F ,则 AA1 ? 平面 BCF ,从而面 A 1 AB ? 面 BCF , 过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A 1 AB , 在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,故 CH ?

2 21 , 7

即 CC1 到平面 A 1 AB 的距离为 CH ?

2 21 。 7

(III)过 H 作 HG ? A1B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B , 从而 ?CGH 为二面角 A ? A 1 B ? C 的平面角, 在 Rt ?A ? BC ? 2 ,所以 CG ? 2 , 1BC 中, AC 1

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在 Rt ?CGH 中, sin ?CGH ?

CH 42 , ? CG 7 42 。 7

故二面角 A ? A 1 B ? C 的大小为 arcsin

解法 2: (I)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,因为 BC ? AC , 所以 DE ? AC ,又 A1D ? 平面 ABC , 以 DE, DC, DA 1 为 x, y , z 轴建立空间坐标系, 则 A ? 0, ?1,0? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? ,

A1 ? 0,0, t ? , C1 ? 0, 2, t ? ,

???? ? ???? AC1 ? ? 0,3, t ? , BA1 ? ? ?2, ?1, t ? ,
???? ??? ? ??? ? ? CB , ? CB ? 0 ,知 AC CB ? ? 2,0,0 ? ,由 AC 1 1
又 BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A 1BC ;
2 (II)由 AC1 ? BA 1 ? ?3 ? t ? 0 ,得 t ? 3 。

???? ? ????

设平面 A 1 ? 0,1, 3 , AB ? ? 2, 2,0 ? ,所以 1 AB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , AA

?

????

?

?

??? ?

? ???? ? ?n ? AA1 ? y ? 3z ? 0 ? z ? 1 n ? 3, ? 3,1 ,设 ,则 ? ??? ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? ???? ? ? AC1 ? n 2 21 所以点 C1 到平面 A 。 ? ? 1 AB 的距离 d ? 7 n ???? ?? ??? ? (III)再设平面 A 1 ? 0, ?1, 3 , CB ? ? 2,0,0 ? , 1BC 的法向量为 m ? ? x, y, z ? , CA

?

?

?

?

?? ???? ?? ? m ? ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ,设 z ? 1 ,则 m ? 0, 3,1 , ? ? ?? ??? ? ? m ? CB ? 2 x ? 0 ?? ? ?? ? m?n 7 故 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ,根据法向量的方向, 7 m?n

所以

?

?

可知二面角 A ? A 1 B ? C 的大小为 arccos

7 。 7

(四) 创新试题 1.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C//平面 AB1D;
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(II)求二面角 B—AB1—D 的大小; (III)求点 c 到平面 AB1D 的距离. 解法一(I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1 = AB, ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ∵DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (II)解:在面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F,在面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连接 DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1, ∴FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1 ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 设 A1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF=

3 . 4

在△ABE 中, FG ?

3 3 2 , ? BE ? 4 8 DF 6 , ? FG 3 6 . 3

在 Rt△DFG 中, tan?FGD ?

所以,二面角 B—AB1—D 的大小为 arctan

(III)解:∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC,且 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 B1BCC1,又 AD ? 平面 AB1D,∴平面 B1BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H, 则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离. 由△CDH∽△B1DB,得 CH ?

BB1 ? CD 5 ? . B1 D 5
5 . 5

即点 C 到平面 AB1D 的距离是

解法二: 建立空间直角坐标系 D—xyz,如图, (I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. 设 A1A = AB = 1, 则 D(0,0,0), A1 (0,

3 1 3 1 1 ,1), E (? , , ), C ( ,0,0). 2 4 4 2 2

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1 3 1 3 1 ? A1C ? ( ,? ,?1), DE ? (? , , ), 2 2 4 4 2

? A1C ? ?2DE,? A1C // DE.
? DE ? 平面AB1 D, A1C ? 平面AB1 D , ? A1C // 平面AB1 D.
(II)解:? A(0,

3 1 3 1 ,0), B1 (? ,0,1) , ? AD ? (0, ,0), B1 D ? ( ,0,?1) , 2 2 2 2

设 n1 ? ( p, q, r ) 是平面 AB1D 的法向量,则 n1 ? AD ? 0, 且n1 ? B1 D ? 0 , 故?

3 1 q ? 0, p ? r ? 0.取r ? 1, 得n1 ? (2,0,1) ; 2 2

同理,可求得平面 AB1B 的法向量是 n2 ? ( 3,?1,0). 设二面角 B—AB1—D 的大小为θ ,? cos? ?

n1 ? n2 15 , ? | n1 || n2 | 5

∴二面角 B—AB1—D 的大小为 arccos

15 . 5

(III)解由(II)得平面 AB1D 的法向量为 n1 ? (2,0,1) , 取其单位法向量 n ? (

2 5

,0,

1

1 ), 又 DC ? ( ,0,0). 2 5

∴点 C 到平面 AB1D 的距离 d ?| DC ? n |?

5 . 5

2. 如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都为 a,P 为 A1B 上的点。 (1)试确定 A1 P 的值,使得 PC⊥AB;
PB

(2)若 A1 P ? 2 ,求二面角 P—AB—C 的大小;
PB 3

(3)在(2)条件下,求 C1 到平面 PAC 的距离。

AP 解法一: (1)当 1 ? 1 时,PC⊥AB , PB 4
取 AB 的中点 D′,连结 CD′、PD′, 6。 ∵△ABC 为正三角形, ∴CD′⊥AB 当 P 为 A1B 的中点时,PD′//A1A, ∵A1A⊥底面 ABC, ∴PD′⊥底面 ABC,
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2

∴PC⊥AB (2)当

A1 P 2 ? 时,过 P 作 PD⊥AB 于 D, PB 3

如图所示,则 PD⊥底在 ABC 过 D 作 DE⊥AC 于 E,连结 PE,则 PE⊥AC ∴∠DEP 为二面角 P—AC—B 的平面角。 又∵PD//A1A, ∴

2 BD BP 3 ? ? , ∴ AD ? a 5 DA PA1 2

∴ DE ? AD ? sin 60? ?

2a 3 3 ? ? a. 5 2 5 3 a 5
∴∠PED=60°

又∵

PD 3 ? , A1 A 5

? PD ?
PD ? 3 DE

∴ tan ?PED ?

即二面角 P—AC—B 的大小为 60° (3)设 C1 到面 PAC 的距离为 d,则 VC1 ?PAC ? VP? ACC1 ∵PD//A1A ∴PD//平面 A1C ∴DE 即为 P 点到平面 A1C 的距离。

又 PE= PD2 ? DE 2 ? ∴

3 3 2 3 2 ( a) 2 ? ( a) 2 ? a 5 5 5

1 1 S ?PAC ? d ? S ?ACC 1 ? DE 3 3

∴ ( a? 解得

1 1 3 2

2 3 1 1 3 a) ? d ? ( a 2 ) ? a 5 3 2 5
a 2 1 a 2

d?

即 C1 到平面 PAC 的距离为

解法二:以 A 为原点,AB 为 x 轴,过 A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 A— xyz,如图所示,则 B(a,0,0) ,A1(0,0,a) ,C ( , 设 P( x,0, z )

a 3 a,0) , 2 2

(1)由 CP ? AB ? 0,得( x ? 即 (x ?

a 3 ,? a, z ) ? (a,0,0) ? 0 2 2

a ) ? a ? 0, 2

?x ?

a , ∴P 为 A1B 的中点。 2

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A1 P ? 1 时,PC⊥AB。 PB A1 P 2 2 2 ? 时,由A1 P ? PB ,得( x,0, z ? a) ? (a ? x,0,? z ) PB 3 3 3

(2)当

即 ?

?3 x ? 3a ? 2 x, ?3( z ? a) ? ?2 z

2 ? x? a ? ? 5 ? ? z ? 3a ? 5 ?

2 3 ?P( a,0, a) 5 5

设平面 PAC 的一个法向量 n= ( x?, y ?, z ?)

3 ? ? ? ? 2 ( x , y , z ) ? ( a , 0 , a) ? 0 ? ? 5 5 ?n ? AP ? 0 ? 则? ,即? ? ?( x ?, y ?, z ?) ? ( a , 3 a,0) ? 0 ?n ? AC ? 0 ? 2 2 ?
取 x? ? 3,则y? ? ? 3, z ? ? ?2

3a ?2 a ? x? ? z ? ? 0, ? 5 ?5 即? ? a x ? ? 3 ay ? ? 0 ? 2 ?2

?n ? (3,? 3,?2).

又平面 ABC 的一个法向量为 n0=(0,0,1) ∴ cos ? n, n 0 ??

n ? n0 ?2 1 ? ?? | n | ? | n 0 | 4 ?1 2

∴二面角 P—AC—B 的大小为 180°-120°=60° (3)设 C1 到平面 PAC 的距离为 d, 则 d ? | C1C |? | cos ? n, C1C ?|? 即 C1 到平面 PAC 的距离为

| n ? C1C | | (3,? 3,?2) ? (0,0,?a | a ? ? . |n| 4 2

a . 2

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