吉林省吉林大学附属中学2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


一心为展凌云翼,三载可化大鹏飞
吉大附中高中部 2015-2016 学年下学期

高三年级第二次模拟考试 数学(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 注意事项: 1.请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上; 2.客观题的作答:将正确答案填涂在答题纸指定的位置上; 3.主观题的作答:必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答,在此区域外书写的答案 无效;在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(客观题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. (1)已知 U ? R ,M ? {x | ?1≤ x ≤ 2} ,N ? {x | x ≤ 3} , 则 (? U M ) ? N ? (D) (A) {x | 2 ≤ x ≤ 3} (B) {x | 2 ? x ≤ 3} (C) {x | x ≤ ?1 或 2 ≤ x ≤ 3} (D) {x | x ? ?1 或 2 ? x ≤ 3} 2?i (2)已知复数 z ? ,则复数 z 在复平面内对应的点在(D) 1? i (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)在等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 8 ,a4 ? 7 , 则 a5 ? (B) (A) 11 (B) 10 (C) 7 (D) 3 (4)下列说法中正确的是(D) (A) “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件
2 (B)若 p : ?x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 (C)若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 ? 1 ? 1 (D)命题“若 ? ? ,则 sin ? ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ” 2 6 2 6 (5)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是(B) 开始 (A) 27 S=0 (B) 63 i=1 (C) 15 (D) 31



S > 5 0? 否 S = S2 + 1 i=2i+1

输出i 结束

1) 上单调递减的是(C) (6)下列函数既是奇函数,又在区间 (0 ,

(A) f ( x) ? x3
1? x (C) f ( x) ? ln 1? x

(B) f ( x) ? ? | x ? 1| (D) f ( x) ? 2x ? 2? x

(7) ? ( 1 ? x 2 ? x)dx ? (B)
?1

1

1

(A)

? 4

(B)

? 2

(C)

? 3

(D)

?
2

?1

?3 x ? y ? 2 ? 0 , ? (8)设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ? 2 , 则 z ? y ? 2 x 的最大值(A) ? y …? x ? 1, ?

(A)

7 2

(B)2

(C) 3

(D)

11 2

(9)已知 F1 、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭 a 2 b2

圆交于 A 、B 两点,若 △ABF1 是锐角三角形,则该椭圆离心率 e 的取值范围是(C) (A) e ? 2 ? 1 (B) 0 ? e ? 2 ? 1 (C) 2 ? 1 ? e ? 1 (D) 2 ? 1 ? e ? 2 ? 1 1 (10)一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成, 1 其三视图如图所示,则该几何体的体积是(B) 3 1 (A) ? 2 正视图 (B) ? ? 1 1 1 1 (C) ? ? 6 2 (D) ?
俯视图

1 1

侧视图

(11)一个五位自然数 a1a2a3a4a5 , ai ?{0 , 1, 2, 3, 4, 5}, i ? 1, 2, 3, 4, 5 ,当且仅当
a1 ? a2 ? a3 , a3 ? a4 ? a5 时称为“凹数” (如 32014,53134 等) ,则满足条件的五位自然数中“凹数”

的个 数为(D) (A) 110 (B) 137 (C) 145 (D) 146

b 为正实数,直线 y ? x ? a 与曲线 y ? ln( x ? b) 相切,则 (12)已知 a ,

a2 的取值范围(A) 2?b
? ?) (D) [1,

1 (A) (0 , ) 2

1) (B) (0 ,

? ?) (C) (0 ,

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 2 (13) ( x 2 ? 3 )5 展开式中的常数项为 .40 x ??? ? ??? ? (14)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? __________.2 a an?1 ? an ? 2n ,则 n 的最小值为 (15)已知数列 {an } 满足 a1 ? 33 , . n 解析: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 33 ? 33 ? n2 ? n , a 33 33 所以 n = + n - 1 ,设 f (n) ? ? n ? 1 , n n n 则 f (n) 在 ( 33 , ? ?) 上单调递增,在 (0 , 33) 上单调递减, 因为 n ? N* ,所以当 n ? 5 或 6 时, f (n) 有最小值.

2

又因为

a a5 53 a6 21 a 21 ? , ? ,所以 n 的最小值为 6 ? . 5 5 6 2 6 2 n

3

???? ??? ? CD ? c , (16) 如图, 在三棱锥 D ? ABC 中, 已知 AB ? 2 ,AC ? BD ? ?3 , 设 AD ? a ,BC ? b ,



c2 的最小值为 ab ? 1

D

.2
C A B

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) , C b, c , 且 满 足 已 知 △ABC 的 内 角 A , B 的 对 边 分 别 为 a, sin(2 A ? B) ? 2 ? 2cos( A ? B) . sin A b (Ⅰ)求 的值; a (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 7 ,求 △ABC 的面积. sin(2 A ? B) 解析: (Ⅰ)∵ ? 2 ? 2cos( A ? B) ,∴ sin(2 A ? B) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? B) , sin A sin[ A ? ( A ? B)] ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? B) ∴ , ∴ s A? i B n? A( ? A) ? c A o B , b ∴ sin B ? 2 sin A ,∴ b ? 2a ,∴ ? 2 . a b a2 ? b2 ? c2 1 ? 4 ? 7 1 (Ⅱ)∵ a ? 1, c ? 7 , ? 2 ,∴ b ? 2 ,∴ cosC ? ? ? ? ,∴ a 2ab 4 2 2? . C? 3 1 1 3 3 3 ? ∴ S△ABC ? ab sin C ? ? 1 ? 2 ? ,即 △ABC 的面积的 . 2 2 2 2 2 (18) (本小题满分 12 分) 为向国际化大都市目标迈进,沈阳市今年新建三大类重点工程,它们分别是 30 项基础 设施类工程, 20 项民生类工程和 10 项产业建设类工程.现有来沈阳的 3 名工人相互独立地从 这 60 个项目中任选一个项目参与建设. (Ⅰ)求这 3 人选择的项目所属类别互异的概率; (Ⅱ)将此 3 人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为 X , 求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) . 解析:记第 i 名工人选择的项目属于基础设施类,民生类,产业建设类分别为事件 Ai ,Bi , Ci ,i ? 1,2 ,3 . 由题意知 A1 ,A2 ,A3 ,B1 ,B2 ,B3 ,C1 ,C2 ,C3 , 均相互独立. 30 1 20 1 10 1 则 P( Ai ) ? ? ,P( Bi ) ? ? ,P(Ci ) ? ? (i ? 1,2 , 3). 60 2 60 3 60 6

s

1 1 1 1 (Ⅰ)3 人选择的项目所属类别互异的概率: P ? A3 ? ? ? . 3 P( A 1 B2C3 ) ? 6 ? 2 3 6 6 (Ⅱ)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率: 30 ? 10 2 P? ? . 60 3 2 2 k 2 k 由 X ? B(3, ) , ? P( X ? k ) ? C3 ( ) (1 ? )3?k (k ? 0 , 1,2 , 3) . 3 3 3 ? X 的分布列为
4

X
P
其数学期望为 E ( X ) ? 3 ?

0

1

2

3

1 27
2 ? 2. 3

2 9

4 9

8 27

(19) (本小题满分 12 分) 如图1,?ACB ? 45? ,BC ? 3 , 过动点 A 作 AD ? BC , 垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B , 连接 AB ,沿 AD 将 △ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图2所示) .

图1 图2 (Ⅰ)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大;
M 分别为棱 BC ,AC 的中点,试在棱 (Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. 解析: (Ⅰ)方法一:在图1所示的 △ABC 中,设 BD ? x(0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45? 知, △ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x . 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图2), AD ? DC , AD ? BD ,且 BD ? DC ? D . 1 1 所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90? ,所以 S△BCD ? BD ? CD ? x(3 ? x) . 2 2 于 是 1 1 x? ?x ? ?x 3 VA? ? ( ≤ [ ] ?B △ 3 12 3 3 , 当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立,故当 x ? 1 ,即 BD ?1 时,三棱锥 A ? BCD 的体 积最大. 1 1 1 1 3 2 方法二:同方法一,得 VA?BCD ? AD ? S△BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x ? 6x ? 9x) . 3 3 2 6 1 3 1 2 令 f ( x) ? ( x ? 6 x ? 9 x) ,由 f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 . 6 2 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (0 , 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值.故当 BD ?1 时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大. (Ⅱ)方法一:以 D 为原点,建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1,AD ? CD ? 2 . 1 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (0 , 2, 0) ,A(0 , 0, 2) , M (0 , 1, 1) , E( , 1, 0) , 于是可得 D(0 , 2 ???? ???? ? 1 ?,0) ? ? 1, 0 ) 且 BM ? (?1, , 则 EN ? (? , , 因 为 E N ? B M等 价 于 1, 1) . 设 N ( 0, 2 ? ? ?? ? ? ? ?? E N? B M ?0 , 1 1 1 0) .所以当 DN ? (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点 )时, 解得 ? ? , N (0 , , 2 2 2 EN ? BM .

A ?

1 3 3

5

???? ?n ? BN , ???? 1 ? ???? ? , 及 BN ? (? 1, ,0), 得 设 平 面 B M N 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( x ,y ,z ) , 由 ? 2 ? ?n ? BM , ? y ? 2x , ? ?z ? ?x . 2, ? 1) .设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ? , 可取 n ? (1,
1 ???? | ? ? 1| ???? n ? EN 3 1 1 ???? | ? 2 ? 2, ? 1) 可得 sin? =| 则由 EN ? ( ? ,? ,0) , n ? (1, ,即 ? ? 60? . 2 | n | ? | EN | 2 2 2 6? 2 故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 ? .

图a

图b

图c 图d 方法二:由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1,AD ? CD ? 2 , EF ,则 MF∥AD . 如图b,取 CD 的中点 F ,连结 NF ,BF , 由(Ⅰ)知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图c,延长 FE 至 P 点使得 FP ? DB ,连 BP ,DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF .取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN∥DP , 所以 EN ? BF .因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 平面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF ? BF ? F ,所以 EN ? 平面 BMF .又 BM ? 平面 BMF ,所以 EN ? BM . 因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的. 1 (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点)时, EN ? BM . 即当 DN ? 2 5 连结 MN ,ME ,由计算得 NB ? NM ? EB ? EM ? , 2 所以 △ NMB 与 △EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图d所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG ,NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN ,故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角. 2 在 △ EGN 中,易得 EG ? GN ? NE ? ,所以 △ EGN 是正三角形, 2 故 ?ENH ? 60? ,故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 ? . (20) (本小题满分 12 分) 1) , 已知点 F (0 , 直线 l : y ? ?1 ,P 为平面上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q ,

6

且 QP ? QF ? FP ? FQ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 M 过定点 D(0 ,2) ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、B 两 点,设 DA ? l1 ,DB ? l2 ,求
l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 解析: (Ⅰ)设 P ? x ,y ? , Q? x , ?1? , ? FQ ? ? x , ? 2? , FP ? ? x ,y ?1? , QP ? ? 0 ,y ? 1? ,代入

已知可得,轨迹 C 的轨迹方程为 x 2 ? 4 y .
2

-------------4 分
2

b) ,则 a 2 ? 4b , MD ? r 2 ? a2 ? ?b ? 2? , (Ⅱ)设 M (a ,

? 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b? ? a2 ? ?b ? 2? . ---------6 分
2 2 2

令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? a2 ? 4b ? 4 ? 4 , ?x ? a ? ? 2 .
2

不妨设 A? a ? 2 , 0? ,B ? a ? 2 , 0? ,? l1 ?
l l l 2 ? l 2 2a 2 ? 16 ?1? 2? 1 2 ? ?2 l2 l1 l1l2 a 4 ? 64
l l ① a ? 0 时,? 1 ? 2 ? 2 ; l2 l1

? a ? 2?

2

?4, l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

-----------10 分

② a ? 0 时,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤ 2 1? ? 2 2 , 当且仅当 a ? ?2 2 时等号成立. 64 l2 l1 2?8 a2 ? 2 a

综上,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1

-----------12 分

(21) (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ?

a ? ln x ,若曲线 f ( x) 在点 (e ,f (e)) 处的切线与直线 e2 x ? y ? e ? 0 垂直(其 x

中 e 为自然对数的底数).
m ? 1) 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (Ⅰ)若 f ( x) 在 (m ,

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时, 解析: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 所以 f ( x) ?

f ( x) 2e x?1 ? . e ? 1 ( x ? 1)( xe x ? 1)

1 ? a ? ln x 1 a 1 ,由已知 f ?(e) ? ? 2 ,所以 ? 2 ? ? 2 ,得 a ? 1 . 2 x e e e

1 ? ln x ln x , f ?( x) ? ? 2 ( x ? 0) , x x

1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数,当 x ? (1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函 当 x ? (0 ,

数.
m ? 1) 上存在极值, 所以 x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点, 又 f ( x) 在 (m , 所以 m ? 1 ? m ? 1 ,
7

1) . 即 0 ? m ? 1 ,故实数 m 的取值范围是 (0 ,

(Ⅱ)

f ( x) 2e x?1 1 ( x ? 1)(ln x ? 1) 2e x?1 ? 等价于 . ? x e ? 1 ( x ? 1)( xe x ? 1) e ?1 x xe ? 1

令 g ( x) ?

( x ? 1)(ln x ? 1) x ? ln x ,则 g' ( x) ? , x x2 1 x ?1 , ? x x

再令 h( x) ? x ? ln x ,则 h' ( x) ? 1 ?

? ?) 上是增函数, 因为 x ? 1 ,所以 h' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (1, ? ?) 上是增函数, 所以 h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 ,所以 g' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1,

g ( x) 2 . ? e ?1 e ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) 2e x?1 令 m( x) ? x ,则 m' ( x) ? , ( xe x ? 1) 2 xe ? 1
所以 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 ,故
? ?) 上是减函数. 因为 x ? 1 ,所以 1 ? e x ? 0 ,所以 m' ( x) ? 0 ,所以 m( x) 在 (1,

2 , e ?1 f ( x) 2e x?1 g ( x) ? 所以 . ? m( x) ,即 e ? 1 ( x ? 1)( xe x ? 1) e ?1
所以 x ? 1 时, m( x) ? m(1) ?

请考生在第 22、23、24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时 请写清楚题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 1 如图, 过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B ,C 两点, 且 AB ? AC , 作直线 AF 与 3 圆 E 相切于点 F ,连结 EF 交 BC 于点 D ,已知圆 E 的半径为 2 , ?EBC ? 30? . (Ⅰ)求 AF 的长; ED (Ⅱ)求 的值. AD
F D C E B A

解析:(Ⅰ)延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM ,则 ?BCM ? 90? , ?EBC ? 30? ,所以 BC ? 2 3 , 又 BM ? 2BE ? 4 , 1 1 又 AB ? AC ,可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 . 3 2 2 根据切割线定理得 AF ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,即 AF ? 3 .

8

(Ⅱ)过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 △EDH ∽△ADF ,从而有

ED EH , ? AD AF

1 又由题意知 CH ? BC ? 3 ,EB ? 2 ,所以 EH ? 1, 2 ED 1 因此 ? . AD 3
(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 4 ? 5cos t , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数)以坐标原点为极点, x 轴非负半轴 ? y ? 5 ? 5sin t , 为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(其中 ?≥0 , 0 ≤ ? ? 2? ) .
? x ? 4 ? 5cos t 解析: (Ⅰ)将 ? 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , y ? 5 ? 5sin t ?

即 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0 .
? x ? ? cos ? , 将? 代入 x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0 , ? y ? ? sin ? ,

得 ? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 . 所以 C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 . (Ⅱ) C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0 , 由? 解得 ? 或? . 2 2 ? y ? 1 ?y ? 2 ? ?x ? y ? 2 y ? 0 ,

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ( 2 ,

?
4

) , (2 ,

?
2

).

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)求不等式 2 x ? 2| x|≥2 2 的解集; a2 b2 (a ? b)2 (Ⅱ)已知实数 m ? 0 ,n ? 0 ,求证: ? … . m n m?n

1 解析: (Ⅰ)①当 x≥0 时,有 2x ? 2x ≥2 2 ,∴ 2 x ≥ 2 2 ,解得 x≥ . 2 x ?x x 2 x ②当 x ? 0 时,有 2 ? 2 ≥2 2 ,即 (2 ) ? 2 2 ? 2 ? 1≥0 .
解得 2 x ≤ 2 ? 1 或 2x ≥ 2 ? 1 ,又 x ? 0 ,∴ x ≤ log2 ( 2 ? 1) , 1 ∴原不等式解集为为 {x | x ≥ 或 x ≤ log2 ( 2 ? 1)} . 2 a 2 b 2 (a ? b)2 na 2 ? mb 2 (a ? b)2 (m ? n)(na 2 ? mb 2 ) ? mn(a ? b)2 ? ? ? (Ⅱ)∵ ? ? m n m?n mn m?n mn(m ? n)
? n 2 a 2 ? m 2 b 2 ? 2mnab (na ? mb)2 ? ≥0 , mn(m ? n) mn(m ? n)

1



a2 b2 (a ? b)2 ,当且仅当 na ? mb 时等号成立. ? ≥ m n m?n

9


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