【数学】1.3 空间几何体的表面积与体积课件(人教A版必修2)1


学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣. 2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.

重点 了解柱体锥体的表面积计算公式. 难点 柱体锥体台体的表面积计算公式的应用.

思考
在初中,我们已经学习了正方体和长方体的 表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何 体的展开图与其表面积的关系吗?

正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体,它 们的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的 面积.

探究

棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体,它们的展开图是什么?如 何计算它们的表面积?

棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形.

棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形.

棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样, 我们可以把多面体展成平面图形,利用 平面图形求面积的方法,求多面体的表面积。

例1、已知棱长为 , 各面均为等边三角形的 a 四 面体S ? ABC(如下图), 求它的表面积 .

S

A
B

C

解: 先求△SBC的面积,过点S 作SD⊥BC, S A 交BC于点D.因为BC=a ,
3 ?a? SD ? SB ? BD ? a ? ? ? ? a 2 ?2?
2 2 2 2

B

D

C 所以

1 1 3 3 2 S?SBC ? BC ? SD ? a ? a ? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC的表面积
3 2 S ? 4? a ? 3a 2 4

按照计算多面体表面积的方法,你能 找出圆柱、圆锥 、 圆台的表面积的 求法吗?

圆柱的侧面展开图是一个矩形:
如果圆柱的底面半径为 r,母线为 l,那么圆柱 ?r 2,侧面积为 2?rl 。因此圆柱的 的底面积为 表面积为

S ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2
O′
l

O r

2?r

S表面 ? S底 ? S侧

圆锥的侧面展开图是一个扇形: 如果圆柱的底面半径为 r,母线为 l ,那么 它的表面积为

S ? ?r ? ?rl ? ?r (r ? l )
2

S
l

S表面 ? S底 ? S扇
2?r

O

圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于 上、下两个底面和加上侧面的面积,即

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )
'2 2 '

S表面 ? S上底 ? S下底 ? S扇环
2?r ?

O′

2?r
r′

O

r

例2 如下图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁 长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每 平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多 ? 少油漆( 取3.14,结果精确到1毫升) 10cm

15cm

7.5cm

解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的 表面积 2 2
10cm

?? 15 ? 15 20 ? ? 1.5 ? s ? ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? 2 ? ? ?

15cm

7.5cm

? 1000cm ? 0.1 m
2

?

?

? ?
2

涂100个花盆需油漆: 0.1?100 ?100 ? 1000 (毫升)

答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( A )

1? 2? A. 2? 1? 2? C. ?

1? 4? B. 4? 1? 4? D . 2?

2 . 已知圆台的上下底面的半径分别为2cm 和4cm,它的表面积为 38? cm2 ,则它的母线长 为( A ) A.3cm

B.4cm

C.5cm

D.6cm

3 . 若一个棱台的上、下底分别是边长为 1cm和3cm的正方形,侧棱长为2cm,则棱台的 侧面积为( D ) A.

4 6cm
2

2

B.

8 6cm

2

C. 4 3cm

8 3cm2 D.

4 . 一个直角三角形的直角边分别为12与5, 以较长的直角边为轴,旋转而成的圆锥的侧 面积为( C )
A.60? B.78? C. 65? D.156 ?

5 .五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分 别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧 780 棱长是13cm,求它的侧面面积______.

2 6 . 已知圆锥的表面积为 am2 ,且它的侧面展开 3a? 图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径____. 3?
7 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么 这个圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为 180 ____度 8 . 已知圆锥表面积为 5? ,且侧面展开图形为 扇形,扇形的圆心角为90?,则圆锥底面半径为 _____. 1

小结
本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法: 将空间图形问题转化为平面图形问题,利用平面 图形求面积的方法求立体图形的表面积.

复习回顾
球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。

球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。

4 3 半径是R的球的体积: V ? ?R 3
推导方法:

分割

求近似和

化为准确和

2、球的表面积
第一步:分割
球面被分割成n个网格, 表面积分别为:

?S1,?S 2,?S3 ...?S n
O 则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ... ? ?Sn

?Si
O

?Vi

?V 设“小锥体”的体积为:i 则球的体积为: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

第二步:求近似和

?Si
?hi
O O

?Vi

1 ?Vi ? ?S i ?hi 3
由第一步得: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S 2 ?h2 ? ?S3?h3 ? ... ? ?S n ?hn 3 3 3 3

第三步:转化为球的表面积

?hi

?Si

如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。

R
O

?hi 的值就趋向于球的半径R ?Vi 1 ? ?Vi ? ?S i R 3 1 1 1 1 ?Si V ? ?Si R ? ?S2 R ? ?S3 R ? ... ? ?Sn R 3 3 3 3 1 1 ? R( ?S i ? ?S 2 ? ?S3 ? ... ? ?S n ) ? RS 3 3 ?Vi 4 3 ② 球的体积: V ? ?R 3 由①② 得:



S ? 4πR

2

练习一:
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—倍。

2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。

4

(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是———。 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是———。 3

1: 2 2

1: 4

例1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R,B1 D ? 2a 3 a 2

C1

C1

(2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得:R ? ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

?a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=——。 2 ? a2

关键: 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍

2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.

32 3?

1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 3.二个公式


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