2.1.1 指数与指数幂的运算(1) 课件(人教A版必修1)


本章视点 在初中我们已经学习了一次函数、二次函数、反 比例函数,在同学们使用的计算器上,有 ex,10x, ln, log, ,∧等等这些符号,它们分别对应着

我们常用的运算,你知道这些运算吗?

? 本章学习的三个基本初等函数:指数函数、对数函 数和幂函数将为你解开谜底. ? 第一节是指数函数,教材先给出两个实际例子,回 顾了初中已学的整数指数幂,并初步体会其中的函 数模型,同时提出问题,在问题的引导下,探究分 数指数幂、无理数指数幂.

? 第二节是在学习了指数函数后,通过具体实例了解 对数函数模型的实际背景,学习对数概念,进而学 习对数函数.在指数与对数的对应关系的基础上, 教材又讨论了指数函数与对数函数的对应性质. ? 第三节从实际问题得到五个常用的幂函数,从而引 出幂函数的概念,并认识它们的图象与基本性质.

? 学习三种基本初等函数,在掌握各种基本初等函数 概念的同时,熟悉各种函数的图象,通过图象来认 识性质,即“作图”、“识图”和“用图”,这是 学习本章内容的常用方法,因此数形结合思想会贯 穿始终.其次,由于指数函数、对数函数的底数及 幂函数的幂指数对函数图象有影响,因此分类讨论 思想也在本章学习中扮演着重要的角色.

2.1

指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

第1课时 根式

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.理解n次方根及根式的概念. 2.正确运用根式运算性质进行运算变换. 3.要注意 a 与( a)n的区别与联系,这是本节的难 点,要仔细体会、理解. n
n

n

研 习 新 知

? 新知视界
? 1.根式及相关概念 ? (1)a的n次方根定义 ? 如果 xn = a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 ,且 n∈N*.

(2)a 的 n 次方根的表示 n ①当 n 是奇数时,a 的 n 次方根表示为 a ,a∈R. n ②当 n 是偶数时,a 的 n 次方根表示为± a ,a∈[0,+∞). (3)根式 n 式子 a 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.

2.根式的性质 (1) 0= 0(n∈ N*,且n>1); (2)( a)n=a(n∈ N*,且n>1); (3) an = a(n为大于 1的奇数); (4) n
?a ? a≥ 0?? ? n a = |a |= ? ? ?- a ? a<0?

n

n

n

(n为大于 1的偶数 ).

思考感悟 根式 a的符号如何确定? 提示:根式 n a 的符号由根指数 n的奇偶性及被开方数 a n a 为非负实数; n a n

的符号共同确定:①当 n为偶数时, a≥ 0, ②当 n为奇数时, n n

a 的符号与 a的符号一致, a>0时, n

>0; a= 0时, a= 0; a<0时, a<0.

自 我 检 测 1.下列各式正确的是( 3 A. ?- 3? = ?- 3?
2

) B. a4 = a D. a0= 1 4

6

C. 2 = 2

6

2

3

答案:C

4 2. ?- 2?4运算的结果是( A. 2 C. ± 2 B.- 2

)

D.不确定

答案:A

1 3.当( -1)0有意义时,x的取值范围是( x A.{x|x≠1} C.{x|x≠0,1} B.{x|x≠0} D.以上答案都不对

)

答案:C

4.当1<x<3时,化简 ? x-3?2+ ? 1-x?2的结果 是________.

答案:2

5.求

1 3 3 3 6 - 3 + 0.125的值. 4 8

解:原式=

25 3 27 3 1 5 3 1 3 - + = - + = . 4 8 8 2 2 2 2

互 动 课 堂

典 例 导 悟 类型一 根式的概念 [例 1] 3 求下列各式的值:

(1) ?- 7?3; (2) ?- 9?2; 4 (3) ? a- b? (a>b); (4) ?-2?2
2

[分析] 运用根式的运算公式进行计算.

[ 解]

3 3 (1) ?- 7? =- 7.

(2) ?- 9?2= |- 9|= 9. (3) ? a- b?2= |a- b|= a- b(a>b). (4) ?- 2? = 2 = 24= 22. 4
2

4

2

2

1

[点评 ] 当n为奇数时, an = a;当 n为偶数时, n an= |a |=
?a ? a≥ 0?? ? ? ? ?- a ? a<0? .

n

要在理解的基础上,记准、

记熟、会用、用活;(4)中被开方数是(- 2)2,容易出 现 ?- 2? = 22的错误. 4
2
1

变式体验1 求下列各式的值. (1) ?-8?3; (2) ?-10?2; 4 (3) ? 3-π?4. 3

3 解:(1) ?-8?3=-8. (2) ?-10?2=|-10|=10. 4 (3) ? 3-π?4=|3-π|=π-3.

类型二 [例 2] 6- 4 2.

根式的运算 计算: 5+ 2 6 + 7- 4 3 -

[分析] 本题需把各项被开方数变为完全 平方的形式,然后再利用根式运算的性质.

[解析] =

5+ 2 6+ 7- 4 3 - 6- 4 2 22- 2× 2 3+ ? 3?2 -

? 3?2+ 2 3· 2+ ? 2?2 +

22- 2× 2 2+ ? 2?2 = ? 3+ 2?2 + ?2- 3?2 - ?2- 2?2 = | 3+ 2|+ |2- 3|- |2- 2| = 3+ 2+ 2- 3- (2- 2) =2 2

[答案] [点评]

2 2 此题开方后先带上绝对值,然后根据正负

去掉绝对值符号.

变式体验 2

? π+ π-1?2- 4+

? π-π-1?2+ 4. 解:原式= π2- 2+ π 2+ π2+ 2+ π
- -2

= ? π- π 1?2 + ? π+ π 1?2
- -

= π-π 1+ π+ π 1= 2π.
- -

类型三 [例 3]
2

有限制条件的根式运算 若代数式 2x- 1 + 2- x 有意义,化简

4 4x -4x+ 1+ 2 ? x-2?4. [分析] 先借助代数式有意义确定出x的取值范 围,再进行根式的化简.

[ 解]

∵代数式 2x- 1+ 2- x有意义

?2x- 1≥ 0? ? ∴? ? ?2- x≥ 0

1 ∴ ≤ x≤ 2 2 ∴ 4 4x - 4x+ 1 +2
2

4

? x- 2?4 =

? 2x- 1?2 +

2 ? x- 2?4 = |2x- 1|+ 2|x- 2|= 2x- 1+ 2(2- x) = 2x- 1+ 4- 2x= 3

? [点评] 进行根式的化简时,我们经常忘记条件, 根式有意义常忘记被开方数为0的情况,做题时应 引起高度注意.

变式体验3 设-3<x<3,求 - x +6x+9的值.
2

x2-2x+1

解:原式= ?x- 1?2- ?x+ 3?2 = |x- 1|- |x+ 3|, ∵- 3<x<3,∴当- 3<x<1时, 原式=- (x- 1)- (x+ 3)=- 2x- 2; 当 1≤x<3时, 原式= (x- 1)- (x+ 3)=- 4.
? ?- 2x- 2 ∴原式=? ? ?? - 4

?- 3<x<1? ?1≤ x<3?

类型四 [例 4]

根式运算的应用 比较 5, 11 , 123的大小. 3 6

[分析] 因根指数都不相同,应化成统一 的根指数,再进行比较.

[ 解] 6 121,

∵ 5=

6

5 =

3

6

125 ,

3

11 =

6

112 =

又∵ 121<123<125,∴ 121< 123< 125. 故 5> 123> 11. [点评 ] 根指数相同时,不论根指数是奇数还 是偶数,根式的大小取决于被开方数的大小. 6 3

6

6

6

变式体验4 设a= 5 ,b= 3 ,c= 2 ,则a, b,c大小关系是( )

5

3

A.a>b>c B.a>c>b C.a<c<b D.c<a<b

解析:比较a10,b10,c10的大小. 答案:C

? 思悟升华 ? 1.在实数范围内,一个正数的奇次方根是一个正 数;一个负数的奇次方根是一个负数. ? 2.在实数范围内,一个正数的偶次方根有两个, 它们互为相反数;一个负数没有偶次方根. ? 3.0的任何次方根都是0.

4.

n

a 与(

n

n n

a ) 的区别与联系:①

n

n

an 一定有意

义,即 a∈ R; ( a )n在 n为奇数时一定有意义,即 a∈ R;在 n为偶数时,若 a<0,则式子无意义,故 a≥ 0;②式子 n a 与式子 (
n

n

a )n是有条件的相等,当

两个式子都有意义时,它们都等于 a.

课时作业(13)


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