2016年温州市高三第二次适应性测试(理科含答案4月)


数学(理科)试题

2016 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题
150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

2016.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页。满分

1 Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
锥体的体积公式: V ? 球的表面积公式: S ? 4? R 2

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ?

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求。 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {3, 4,5} ,则 A ? CU B = ( A. {3} B. {1, 2, 4,5} C. {1, 2} D. {1,3,5} ▲ )

?2 x ? y ? 4 ? 2.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, 则 z ? x ? y ( ▲ ) ?x ? 2 y ? 2 ?
A.最小值为 ?1 ,不存在最大值 C.最大值为 ?1 ,不存在最小值 则“ m ? 1 ”是“ l1 ? l2 ”的( A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 于( ▲ ) B. 4 C. 6 D. 8 ▲ ) B.最小值为 2 ,不存在最大值 D.最大值为 2 ,不存在最小值

3.直线 l1 : mx ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 , B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等 A. 2

5.设集合 S ? { A0 , A1 , A2 , A3} ,在 S 上定义运算 ? : 其中 k 为 i ? j 被 4 除的余数, Ai ? Aj ? Ak , i, j ? 0,1, 2,3 , 若 ( A2 ? A3 ) ? Am ? A0 ,则 m 的值为( A. 0 B. 1 C. 2 ▲ ) D. 3
第 4 题图

数学(理科)试题 第 1 页(共 4 页)

数学(理科)试题

6.点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离,那么平面内到定圆 C 的距 离与到圆 C 外的定点 A 的距离相等的点的轨迹是( A.射线 A. f ( x) ? B.椭圆 C.双曲线的一支 B. f ( x) ? 2 ? 1
x



) D.抛物线 ▲
D1 A1

7.数列 {an } 是递增数列,且满足 an ?1 ? f (an ) , a1 ? (0,1) ,则 f ( x) 不可能 是( ...

)
P B1 C1

x
2

C. f ( x) ? 2x ? x

D. y ? log 2 ( x ? 1)

8.棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为棱 CC1 的中点, 点 P,Q 分别为面 A1 B1C1 D1 和线段 B1C 上的动点,则 ?PEQ 周 长的最小值为( A. 2 2 ▲ ) C. 11 D. 2 3

E Q C

D A B

B. 10

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.以椭圆 为

第 8 题图

x2 ? y 2 ? 1 的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 4




,离心率



y

10.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ) 的图象如图所示, 则? ? ▲ ,? ? ▲ .

π 2

1
O

π
第 10 题图

x

11.已知等差数列 {an } 的公差为 ?3 ,且 a 3 是 a1 和 a4 的等比中项,则通 项 an = ▲ ,数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的最大值为 ▲ . ▲

12.设奇函数 f ( x) ? ?

?a cos x ? 3sin x ? c, ? ? ? cos x ? b sin x ? c,

x?0 ,则 a ? c 的值为 x?0
▲ .

,不等式

f ( x) ? f (? x) 在 x ?[?? , ? ] 上的解集为

13.若正数 a , b 满足 log 2 a ? log5 b ? lg(a ? b) ,则
x x

1 1 ? 的值为 a b
x ?1





14.若存在 x0 ?[?1,1] 使得不等式 | 4 0 ? a ? 2 0 ? 1|? 2 0 成立, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 15.如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , AD ? 4 , M 、 N 分 别为线段 BC 、 CD 上的点,且满足 若 AC ?

D

N

C

1 1 ? ?1, 2 CM CN 2
▲ .

M

x AM ? y AN ,则 x ? y 的最小值为

A
数学(理科)试题 第 2 页(共 4 页)

第 15 题图

B

数学(理科)试题

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知

??? ? ???? ??? ? ??? ? 5 AB ? AC ? BA ? BC ,sin A ? . 3
(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 D 为 AC 的中点, S? ABC ? 8 5 ,求 BD 的长.

17. (本题满分 15 分)如图,矩形 ABCD 中,

AB ? ? (? ? 1) ,将其沿 AC 翻折,使点 D 到达点 E AD

的位置,且二面角 C ? AB ? E 为直二面角. (Ⅰ)求证:平面 ACE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)设 F 是 BE 的中点,二面角 E ? AC ? F 的平面角的大小为 ? ,当 ? ?[2,3] 时,求 cos ? 的 取值范围.

D

C

A F E
第 17 题图

B

18. (本题满分 15 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像过点 (1, 0) . (Ⅰ)记函数 f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 M ,若 M ? 1,求 a 的最大值; (Ⅱ)若对任意的 x1 ?[0,2] , 存在 x2 ? [0,2] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

b 3 a ,求 的取值范围. 2 a

数学(理科)试题 第 3 页(共 4 页)

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19. (本题满分 15 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,焦距为 2 ,设点 P(a, b) a 2 b2

满足 ?PF1 F2 是等腰三角形. (Ⅰ)求该椭圆方程; (Ⅱ)过 x 轴上的一点 M (m,0) 作一条斜率为 k 的直线 l,与椭圆交于点 A、B 两点,问是否存 在常数 k 使得 | MA |2 ? | MB |2 的值与 m 无关,若存在则求出这个 k 的值,若不存在,请说 明理由;

y P

F1

O

F2

x

第 19 题图

20. (本题满分 15 分)设正项数列 {an } 满足: a1
2 2 2 2 an ? m ? an?m ? n ? m 成立.

? 1 ,且对任意的 n, m ? N ? , n ? m ,均有

(Ⅰ)求 a2 , a3 的值,并求 {an } 的通项公式; (Ⅱ) (i)比较 a2n?1 ? a2n?1 与 2a2 n 的大小; (ii)证明: a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?

n (a1 ? a3 ? ? ? a 2 n ?1 ) . n ?1

2016 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题参考答案
2016.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求。 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 B

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数学(理科)试题

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9. y ? ?

3 2 3 x, 3 3
2? 2? ,0) ? ( , ? ] 3 3

10. 2 , 13.1

? 6

11. ?3n ? 15 , 30 14. [0, ]

12. 0 , (?

9 2

15.

5 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.解: (Ⅰ)由已知得 AB ? ( AC ? BC) ? 0 , 设 E 为 AB 的中点,则 AB ? CE ? 0 ,故 a ? b ,

uu u r uuu r uuu r

uu u r uur

C
………3 分

则 C ? 2 A ? ? ,可得 sin C ? sin 2 A ? 2sin A cos A ? 解 2:由已知得 cb cos A ? ca cos B ? 0 ,

4 5 .7 分 9

D B

A

则 sinBcos A ? sin A cos B ? sin( B ? A) ? 0 ,可得 A ? B ,下同上.

E

1 2 a sin C ? 8 5 得 a ? 6 ,…………9 分 2 1 则 CD ? 3, cos C ? …………11 分 9
(Ⅱ)由 SV ABC ? 故由余弦定理得 AD ? 41 ,即 AD ?
2

41 …………14 分

17. (Ⅰ)? 二面角 C ? AB ? E 为直二面角, AB ? BC ? BC ? 平面 ABE …………2 分

? BC ? AE

? AE ? CE, BC ? CE ? C
? AE ? 平面 BCE …………4 分 …………6 分 ? 平面 ACE ? 平面 BCE (Ⅱ)解法 1:如图,以 E 为坐标原点,以 AD 长为一个单位长度,建立如图空间直角坐标系,
则 AB ? ? A(0,1,0), B( 则 EA ? (0,1,0), EC ? (

?2 ? 1,0,0), C ( ?2 ? 1,0,1), E (0,0,0), F (

?2 ? 1
2

,0,0) ……8 分

?2 ? 1,0,1)

设平面 EAC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

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数学(理科)试题

则?

? ?y ? 0 ,取 x ? 1 ,则 m ? (1,0,? ?2 ? 1) 2 ? ? ? ?1 ? x ? z ? 0

…………10 分 …………12 分 …………14 分

?? ? m?n ? 2 ?1 2 1 ? cos ? ? ?? ? ? ? ? 1? 2 2 2 ? | m | ? | n | ? ? 2(? ? 1)

同理设平面 FAC 的法向量为 n ? (2,

?2 ? 1,? ?2 ? 1)

? ? ? [2,3] ? cos? ? [

5 10 …………15 分 , ] 3 4 解法 2:过 F 作 FG ? CE 于 G ,过 G 作 GH ? AC 于 H ,连 FH ,则 FG ? AC 则二面角 E ? AC ? F 的平面角为 ?FHG …………9 分

? AF ? CF ? 1 ? (

?2 ? 1
2

)2 ?

?2 ? 3
2 )2 ? 2 2

? H 为 AC 的中点

? FH ? (

?2 ? 3
2

)2 ? (

?2 ? 1
2

由 S ?CEF ?

1 S ?BCE ,得 FG ? 2

?2 ? 1 ?2 ? 1 …………11 分 ? GH ? 2? 2?
…………14 分

? cos? ?

2 1 ? 1? 2 2 ?
5 10 , ] 3 4

? ? ? [2,3] ? cos? ? [

…………15 分

18.解: (Ⅰ)解: (Ⅰ)? f ( x) 过点 (1, 0) ,? f (1) ? a ? b ? c ? 0, ,????1 分

?c ? ?a ? b, f ( x) ? ax2 ? bx ? a ? b ? f ( x) 是开口向上的抛物线,? M ? max{ f (0), f (2)} ????3 分 ? f (0) ? ?a ? b ? 1 ????5 分 ?M ? 1 ? ? ? f (2) ? 3a ? b ? 1 两式相加得 a ? 1 ,即 a 的最大值为 1 ????6 分
? f (1) ? a ? b ? c ? 解法二: 由 ? f (2) ? 4 a ? 2b ? c ? f (0) ? c ?

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f (2) ? 2 f (1) ? f (0) f (2) ? f (0) 1 ? 1 ? ? ? 1 …………6 分 2 2 2 3 (Ⅱ)由题意,存在 x2 ? [0,2] ,使 f min ( x) ? f ( x2 ) ? a 2 3 ? f min ( x) ? f max ( x) ? a ………8 分 2 b ? a ? b ? c ? 0 ? f ( x) ? ax2 ? bx ? a ? b 其对称轴为 x ? ? 2a b b ? 0 即 ? 0 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增 ①当 ? 2a a 3 ? f min ( x) ? f max ( x) ? f (0) ? f (2) ? ?a ? b ? 3a ? b ? 2a ? a 2 b ? ? 0 均符合题意 …………10 分 a b b ? 1 即 ?2 ? ? 0 时, ②当 0 ? ? 2a a b b f ( x) 在 [0, ? ] 上递减,在 [ ? , 2] 上递增且 f (0) ? f (2) 2a 2a
解得: a ?

? f min ( x) ? f max ( x) ? f (? b2 3 ? 由 ? ? 2a ? a 4a 2
③当 1 ? ?

b b2 b2 ) ? f (2) ? ? ? a ? b ? 3a ? b ? ? ? 2a 2a 4a 4a
b ? 0 符合题意 a
…………12 分

得: ? 2 ?

b b ? 2 即 ?4 ? ? ?2 时, 2a a b b f ( x) 在 [0, ? ] 上递减,在 [ ? , 2] 上递增且 f (0) ? f (2) 2a 2a

? f min ( x) ? f max ( x) ? f (? b2 3 ? 由 ? ? 2a ? 2b ? a 4a 2
??4 ?

b b2 b2 ) ? f (0) ? ? ? a ? b ? a ? b ? ? ? 2a ? 2b 2a 4a 4a
得: ?4 ? 2 ?

b ? ?4 ? 2 a
…………13 分

b ? ?4 ? 2 符合题意 a b b ? 2 即 ? ?4 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递减 ④当 ? 2a a

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? f min ( x) ? f max ( x) ? f (2) ? f (0) ? 3a ? b ? a ? b ? 2a ? ? b ? ?4 均符合题意 a b b 综上所述:? ? ?4 ? 2 或 ? ? 2 a a

3 a 2
…………14 分 …………15 分

19.解: (Ⅰ)根据题意,有 ?

2c ? 2 ? 2 2 ?(a ? 1) ? b ? 4

…………4 分

?a?2 x2 y2 ? ?1 解得: ? 故所求椭圆方程为 4 3 b ? 3 ?

…………6 分

? y ? k ( x ? m) ? (Ⅱ)联立方程: ? x 2 ,整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4m 2 ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ? 4

? 8k 2 m x ? x ? 2 ? ? 1 3 ? 4k 2 在 ? ? 0 的情况下有: ? 2 ? x1 x 2 ? 4m ? 12 ? 3 ? 4k 2 ?

…………9 分

| MA | 2 ? | MB | 2 ? (1 ? k 2 )[(x1 ? m) 2 ? ( x 2 ? m) 2 ] ? (1 ? k 2 )[(x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ? 2m( x1 ? x 2 ) ? 2m 2 ] ? (1 ? k 2 ) [(?24k 2 ? 18)m 2 ? 96k 2 ? 72] 2 2 (3 ? 4k )
…………13 分
2 令 ? 24k ? 18 ? 0 ,得 k ?
2

3 3 ,即 k ? ? 4 2
…………15 分

此时 | MA | ? | MB | ? 7 与 m 无关符合题意
2 2

(若设直线 AB : x ? ty ? m ,其中 t ?

1 ,则化简过程相对简捷,可得 k
结果同样可得)

| MA | 2 ? | MB | 2 ? (1 ? t 2 )[(y1 ? 0) 2 ? ( y 2 ? 0) 2 ] ? (t 2 ? 1) [(18t 2 ? 24)m 2 ? 72t 2 ? 96] 2 2 (t ? 3)

2 2 2 2 2 20. 解:解: (Ⅰ)令 m ? 1 ,得 an?1an?1 ? n ? 1,从而 a1 a3 ? 3 ,所以 a3 ? 3 ………2 分

数学(理科)试题 第 8 页(共 4 页)

数学(理科)试题
2 2 令 n ? m ? 2 ,得 a2 m? 2 ? a2 ? 4m ? 4

从而 a 4 ?

8 a2

, a6 ?

12 2 ,又 a 4 a 6 ? 5 ? 1 ? 24 , a2

2 所以 a2 ? 2 , a2 ?

2

………4 分

从而 a2m?2 ?

2m ? 2

可知当 n 为偶数时, an ?

n;

令 n ? m ? 1 ,得 a2m?1 ? 综上可得 an ? (Ⅱ) (i)

2m ? 1 ,可知当 n 为奇数时, an ? n
………6 分

n (n ? N ? ) .

a 2 n ?1 ? a 2 n ?1 ? 2a 2 n ? ( 2n ? 1 ? 2n ) ? ( 2n ? 1 ? 2n ) ? ?0
所以 a2n?1 ? a2n?1 ? 2a2n (ii)即证明 2 ? ………9 分

1 2n ? 1 ? 2 n

?

1 2n ? 1 ? 2n

4 ? ? ? 2n ?

n ( 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n ? 1) n ?1

由(i)得 1 ? 3 ? 2 2 , 将上述的 n 个式子相加,得

3 ? 5 ? 2 4 ,?, 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 2n

2( 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? (1 ? 2n ? 1) ? 2( 2 ? 4 ? ? ? 2n )
所以 2 ? 4 ? ? ? 2n ? ( 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1) ?

1 ? 2n ? 1 2

所以,只需证 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ?

1 ? 2n ? 1 n ? ( 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1) 2 n ?1

即 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 事实上,当 k ? 0,1,2,?, n 时

(n ? 1)(1 ? 2n ? 1) ………12 分 2

数学(理科)试题 第 9 页(共 4 页)

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1 ? 2k ? 2n ? 1 ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ?

2k 1 ? 2k ? 1

?

2k 2n ? 1 ? 2k ? 2n ? 1

?0

(因为 1 ? 2k ? 1 ? 2n , 1 ? 所以 1 ? 2k ? 2n ? 1 ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 从而

2n ? 1 ? 2k )

1 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? [(1 ? 2n ? 1) ? ( 3 ? 2n ? 1) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 3 ) ? ( 2n ? 1 ? 1)] 2 ? 1 (n ? 1)(1 ? 2n ? 1) .………15 分 2

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