高一数学《方程的根与函数的零点》(课件)


湖南长郡卫星远程学校

制作 05

2009年下学期

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像

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2009年下学期

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x

-1

O1

3

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2009年下学期

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y

-1

O1

3

o
x=1

x

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2009年下学期

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

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制作 05

2009年下学期

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

2. 解方程: x2-2x-3=0
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x2-2x+1=0

x2-2x+3=0
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引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

2. 解方程: x2-2x-3=0 x1=-1; x2=3
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x2-2x+1=0

x2-2x+3=0
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引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

2. 解方程: x2-2x-3=0 x1=-1; x2=3
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x2-2x+1=0 x1=x2=0

x2-2x+3=0
制作 05 2009年下学期

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

2. 解方程: x2-2x-3=0 x1=-1; x2=3
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x2-2x+1=0 x1=x2=0

x2-2x+3=0 无实根
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方程 f(x)=0 有实数根

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方程 f(x)=0 有实数根

? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

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方程 f(x)=0 有实数根

? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数y=f(x)有零点

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方程 f(x)=0 有实数根

? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数y=f(x)有零点
有实根x0

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方程 f(x)=0 有实数根

? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数y=f(x)有零点
有实根x0 有交点(x0, 0)

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方程 f(x)=0 有实数根

? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数y=f(x)有零点
有实根x0 有交点(x0, 0)

零点:对于函数y=f(x), 我们把使f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
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对零点的理解:

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对零点的理解:
"数"的角度:

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标

求函数零点的方法:

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标

求函数零点的方法:
(1) 方程法:

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标

求函数零点的方法:
(1) 方程法: 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标

求函数零点的方法:
(1) 方程法: 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
(2) 图象法:

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对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标

求函数零点的方法:
(1) 方程法: 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
(2) 图象法: 画出函数y=f(x)的图象, 其图象 与x轴交点的横坐标是函数y= f(x)的零点
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自主探究
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象(如图), 我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2, 1]上有 零点, 计算f(-2)与f(1) 的乘积, 你能发现这 个乘积有什么特点? 在区间[2, 4]上是否
y
2 1

x
1 2 3 4

也具有这种特点呢?
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? 2 ?1 O ?1 ?2 ?3 ?4

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结论:零点存在定理

函数零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象 是连续不断的一条曲线, 并且有f(a)· f(b)<0,

那么函数y=f(x)在区间(a, b)内必有零点, 即
存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也就是方程 f(x)=0的根.
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对函数零点的存在性定理的理解

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对函数零点的存在性定理的理解
(1) 函数零点的存在性定理只能判断函数零 点的存在性,不能判断零点的个数.

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对函数零点的存在性定理的理解
(1) 函数零点的存在性定理只能判断函数零 点的存在性,不能判断零点的个数. (2) 只要函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象连 续不断,且在区间[a, b]两端的函数值异号, 则 函数y=f(x)在区间[a, b]上必定存在零点.

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对函数零点的存在性定理的理解
(1) 函数零点的存在性定理只能判断函数零 点的存在性,不能判断零点的个数. (2) 只要函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象连 续不断,且在区间[a, b]两端的函数值异号, 则 函数y=f(x)在区间[a, b]上必定存在零点. (3) 若函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象连续不 断, 且函数y=f(x)在区间[a, b]也存在零点, 则函 数y=f(x)在区间[a, b]两端的函数值可能同号也 可能异号.
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利用函数零点的存在性定理求函数 零点的步骤

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利用函数零点的存在性定理求函数 零点的步骤
(1) 确定函数y=f(x)在[a, b]上连续;

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利用函数零点的存在性定理求函数 零点的步骤
(1) 确定函数y=f(x)在[a, b]上连续;

(2) 若f(a)· f(b)<0, 则在(a, b)内存在零点.

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利用函数零点的存在性定理求函数 零点的步骤
(1) 确定函数y=f(x)在[a, b]上连续;

(2) 若f(a)· f(b)<0, 则在(a, b)内存在零点.
(3) 存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 则c是零点.
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[ 例题1 ] 函数y=lnx+2x-6的零点有_______个.

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[ 例题2 ]
2 函数f ( x ) ? ln x ? 的零点所在的大致 x 区间是( ) A. (1, 2) B . ( 2, 3) 1 C . (1, )和( 3, 4) D. (e , ? ? ) e
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