2013年深一模数学试题(理科)及答案 2


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
2013.2
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1 .答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息 条形码是否正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填 写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴 在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2 .选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不 按要求填涂的,答案无效. 3 . 非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答, 答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4 . 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再做答. 漏 涂、错涂、多涂的答案无效. 5 .考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考结论:
参考公式: 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 v ?

1 sh . 3 4 3 ?R . 3
i

2 若球的半径为 R ,则球的表面积为 S ? 4?R ,体积为 V ?

回归直线的方程是 : y ? bx ? a , 其中: b ?

?

? ( x ? x)( y
i ?1 i n i ?1 i

n

? y) , a ? y ? b x.
2

? ( x ? x)

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四 个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1.化简 sin 2013? 的结果是 A. sin 33?
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B. cos33?

C. ? sin 33? ?

?

D. ? cos33? ?

2.已知 i 是虚数单位,则复数 i13 (1 ? i) ? A. 1 ? i B. 1 ? i ? C. ?1 ? i ? ? D. ?1 ? i ? ? 3.图 1 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积 分别是

? A.
32? , 128 ? 3

B.

16? ,

32 ? 3

C.

12? ,

16 ? 3

D.

8? ,

16 ? 3

4.双曲线 x 2 ? my2 ? 1的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m= A.
1 4

B.

1 2

C. 2

D.

4

5. 等差数列 {an } 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、 三行中的某一个数, a1 , a2 , a3 二、 且 中的任何两个数不在下表的同一列.

则 a4 的值为 A. 18 B.15 C.12 D.20 6. 我们把各位数字之和为 6 的四位数称为 “六合数” (如 2013 是 “六合数”, ) 则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 A. 18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个

第2页

7.函数 y ? ln | x ? 1 | 的图像与函数 y ? ?2 cos?x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横 坐标之和等于 A. 8 B.6 C.4 D.2

8.函数 y ? f ( x), x ? D, 若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D, 存在唯一的 x2 ? D 使得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C, 则 称 函 数 f (x) 在 D 上 的 几 何 平 均 数 为 C . 已 知
f ( x) ? x3 , x ?[1,2], 则函数 f ( x) ? x3 在[1,2]上的几何平均数为
A. 2 B.2 C.4 D. 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本 大题分 为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须 作答.
5 9.若 (1 ? 2x) ? a0 ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x, ,则 a3 =________

10.容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n(n>1)个小矩形,若其中一 1 个小矩形的面积等于其余 n-1 个小矩形面积和的 ,则这个小矩形对 5 应的频数是_________. 11. 已知 ? ? ?( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0 ?, A ? ( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? y 2 ? 0 , 若 向区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率是____________. 12.若执行图 2 中的框图,输入 N ? 13 ,则输出的数等于_________. (注: S ? 0 ” “ ,即为“ S ? O ”或为“ S :? 0 ”) .

?

?

第3页

13.设集合 A ? ( x, y) | ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 ,

?

?

B ? ( x, y) | ( x ? t )2 ? ( y ? at ? 2)2 ? 1 , 如

?

?

果命题“ ?t ? R, A ? B ? ? ”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只 计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, 轴 x
?x ? t, 的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数) , ? y ? t ? 1.

曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? 3, 则 C1 与 C2 交点在直角坐标系中的坐 标为 ____________ . 15. (几何证明选讲选做题)如图 3 ,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足 为 E ,EF ? BC,垂足为 F ,若 AB=6,CF ? CB=5,则 AE =________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) ?x ? 已知函数 f ( x) ? 2 sin( ? )( 0 ? x ? 5), 点 A 、B 分别是函数 y ? f (x) 图像上 6 3 的最高点和最低点. (1)求点 A 、B 的坐标以及 OA? OB 的值;

? (2)设点 A 、B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan( ? 2? ) 的值.

第4页

17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如下表所示:

(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回 归方程; (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表 示选中的同学的物理成绩高于 90 分的人数, 求随机变量 X 的分布列及数学期 望 E (X ) 的值.

第5页

18. (本小题满分 14 分) 如 图 5 , ⊙ O 的 直 径 AB=4 , 点 C 、 D 为 ⊙ O 上 两 点 , 且

?CAB ? 45? , ?DAB ? 60? , F 为 BC 弧的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在
平面互相垂直(如图 6 ) . (1)求证: // OF 平面 ACD; (2)求二面角 C- AD-B 的余弦值; (3)在 BD 弧上是否存在点 G ,使得 FG//平面 ACD?若存在,试指出点 G 的 位置,并求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0), an ? 2 ? p ?
n? N?) .
an?12

an

(其中 p 为非零常数,

(1)判断数列 { (2)求 {an } ;
第6页

an ?1 } 是不是等比数列? an

(3)当 a=1 时,令 bn ?

nan? 2 , an

Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Sn .

20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1 (?1,0)及F2 (1,0), 点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上,且 | PF1 | 、
| F1F2 | 、 | PF2 | 构成等差数列.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线: l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M, N 是 直线 l 上的两点,且 F1M ? F2 N ? l .求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

第7页

21. (本小题满分 14 分) a 已 知 f ( x) ? x ? (a ? 0), g ( x) ? 2 ln x ? bx , 且 直 线 y ? 2 x ? 2 与 曲 线 y ? g (x) 相 x 切. (1)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取 值范围;
? (2)当 a=1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3](e ? 2.71828 是自然对数的

底数)内的任意 k 个实数 x1, x2 , x3 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk ) 成立; (3)求证: ?
i ?1 n

4i ? ln(2n ? 1) 4i 2 ? 1

(n ? N ? )

第8页

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 C 3 C 4 D 5 A 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. 80 ; 13. 0 ? a ? 10. 10 ; 11.

8 ; 27

12.

12 ; 13

4 ; 3

14. (2,5) ;

15. 1 .

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( 最高点和最低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA? OB 的值;

πx π ? )( 0 ? x ? 5) ,点 A 、 B 分别是函数 y ? (x) f 图像上的 6 3

? (2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan( ? 2? ) 的值.
解: (1)? 0 ? x ? 5 , ? 分

?

3

?

πx π 7π ? ? , 6 3 6

?????????????1

1 πx π ? ? ? sin( ? ) ? 1 . ???????????????????????2 2 6 3


πx π π πx π ? ? ,即 x ? 1 时, sin( ? ) ? 1 , f (x) 取得最大值 2 ; 6 3 2 6 3 πx π 7π πx π 1 ? ? ? ) ? ? , f (x) 取得最小值 ?1 . 当 ,即 x ? 5 时, sin( 6 3 6 6 3 2

第9页

因此,点 A 、 B 的坐标分别是 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) . 分

????????????4

??? ??? ? ? ?OA ? OB ? 1? 5 ? 2 ? (?1) ? 3 .


????????????????????6

(2)? 点 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) 分别在角 ? 、 ? 的终边上,

1 ? tan ? ? 2 , tan ? ? ? , 5 1 2 ? (? ) 5 ?? 5 , ? tan 2? ? 1 12 1 ? (? )2 5


????????????????8 分

??????????????????10

5 ) 12 ? 29 . ??????????????????12 ? tan(? ? 2? ) ? 5 1 ? 2 ? (? ) 2 12 2 ? (?
分 【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等 变换,以及平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学( x 分) 物理(

A1
89
87

A2
91
89

A3
93
89

A4
95
92

A5
97
93

y 分)

(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归方程; (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中的 同学的物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E (X ) 的值.
y(物理成绩)

解: (1)散点图如右图所示.????1 分

x=

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 90 , y= 5

94 92 90 88

? ? ?
89 91 93 95

?

?

第 10 页

O

97

x(数学成绩)

图4

? (x
i ?1

5

i

? x ) 2 ? (?4) 2 ? (?2) 2 ? 0 2

? 2 2 ? 4 2 ? 40,

? (x
i ?1

5

i

? x )( yi ? y ) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30 ,
????????? 5

b?


30 ? 0.75 , bx ? 69.75 , a ? y ? bx ? 20.25 . 40

? 故这些数据的回归方程是: y ? 0.75 x ? 20.25 .
分 (2)随机变量 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 . 分

????????? 6

??????????????7

C2 1 C2 1 C1C1 2 P(X ? 0 ) = 2 ? ; P(X ? 1)= 2 2 2 ? ; P(X ? 2)= 2 ? . ????10 2 2 C4 6 C4 6 C4 3
分 故 X 的分布列为:

X p
?????11 分

0 1 6

1 2 3

2 1 6

? E (X ) = 0 ?


1 2 1 + 1? + 2 ? = 1 . ???????????????????12 6 6 3

【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望 等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18. (本小题满分 14 分)
? 如图 5 , ⊙O 的直径 AB ? 4 ,点 C 、 D 为 ⊙O 上两点,且 ?CAB=45 ,

? ∠ DAB ? 60 , F 为 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图
?

6) .
(1)求证: OF // 平面 ACD ; (2)求二面角 C - AD - B 的余弦值;

? (3)在 BD 上是否存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ?若存在,试指出点 G 的位置,
第 11 页

并求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由. C
? F

?
B

C
?F

A

? O

?
?

A

O
D
图6

?

B

D
图5

(法一) :证明: (1)如右图,连接 CO ,

? ?CAB ? 45? ,? CO ? AB ,

?
?

C
?F
?

? 又? F 为 BC 的中点,? ?FOB ? 45 ,
? OF // AC . ? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ? OF // 平面 ACD .????????3 分 解: (2)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥平面 ABD . 又? AD ? 平面 ABD , ? CO ? AD , ? AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则∠ CEO 是二面角 C - AD - B 的平面角.


?

A E D

B

O

G

????????????5

? ?OAD ? 60? , OA ? 2 , ?OE ? 3 .
由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为直角三角形,

? CO ? 2 ,? CE ? 7 . ? cos ?CEO =


21 3 = . ??????????????????????8 7 7

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,

? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,
? OG // AD , ?BOG=?BAD=60? .
第 12 页

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.??10
分 连 AG ,设 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,点 G 到平面 ACD 的距离为 h .

1 1 1 ? S ?ACD = ? AD ? CE = ? 2 ? 7 = 7 , S ?GAD ? S ?OAD = ? 2 ? 3 = 3 , 2 2 2 1 1 2 21 . ? 由 VG- ACD = VC - AGD ,得 ? 7 ? h = ? 3 ? 2 ,得 h ? 3 3 7
????12 分

? 在 ?AOG 中, AO ? OG ? 2 , ?AOG ? 120 ,由余弦定理得 AG = 2 3 ,?13



? sin? ?


h 7 = . AG 7

???????????????????14

(法二) :证明: (1)如图,以 AB 所在的直线 为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点, 作 空 间 直 角 坐 标 系 O ? x y z, 则 A ? 0,? 2 0 , , ?

z

?

C
?F

A

C ?0,0,2? .

O? G

B y

?

D

AC ? (0,0,2) ? (0,?2,0) ? (0,2,2) ,

x

? ? 点 F 为 BC 的中点,? 点 F 的坐标为 0, 2 , 2 , OF ? (0, 2, 2 ) .
??? ? 2 ???? ? OF ? AC ,即 OF //AC . 2
? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ??????????????????????3 分 ? OF // 平面 ACD . ??? ? ? 解: (2)? ?DAB ? 60 ,? 点 D 的坐标 D 3, ?1,0 , AD ? ( 3,1,0) .

?

?

?

?

设二面角 C - AD - B 的大小为 ? , n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ACD 的一个法向量.

??

?? ???? ?? x, y, z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ? n1 ? AC ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0, ? ? ? 由 ? ?? ???? 有? 即? ? 3 x ? y ? 0. ? n1 ? AD ? 0, ? ?? x, y, z ? ? 3,1, 0 ? 0, ? ?

?

?

第 13 页

取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ?

3.
?????????????????5 分

?? ?n1 = 1,- 3, 3 . ?? ?

?

?

取平面 ADB 的一个法向量 n2 = ?0,0, ? , 1

???????????????6 分

?? ?? ? 1? 0 ? (? 3) ? 0 ? 3 ?1 n1 ? n2 21 ? .?????????8 分 ? cos ? ? ?? ?? ? ? 7 | n1 | ? | n2 | 7 ?1

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,

? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,则有 OG // AD . ?????? ???? ??? ? ???? 设 OG ? ? AD(? ? 0) ,? AD ? ( 3,1,0) ,? OG ?
????

?

3? ,? ,0 .

?

2 2 2 又? OG ? 2 ,? ( 3? ) ? ? ? 0 ? 2 ,解得 ? ? ?1 (舍去 ?1 ) .

???? ? OG ?

?

? 3 ,1,0 ,则 G 为 BD 的中点.

?

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.??11
分 设直线 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,

???? ? AG ? ( 3,1,0) ? (0, ?2,0) ? ( 3,3,0) ,
根据(2)的计算 n1 ? 1,- 3 , 3 为平面 ACD 的一个法向量,

??

?

?

???? ?? AG ? n1 ? sin? ? cos(90? ? ? ) ? ???? ?? ? | AG | ? | n1 |

3 ?1 ? 3 ? (? 3) ? 0 ? 3 2 3? 7

?

7 . 7

因此,直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值为 分

7 . ???????????14 7

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础 知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能 力.

第 14 页

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? a(a ? 0) , an ? 2

a ? p ? n ?1 (其中 p 为非零常数, an

2

n ? N* ) .
(1)判断数列 { (2)求 an ; (3)当 a ? 1 时,令 bn ? 解: (1)由 an ? 2 分

an ?1 } 是不是等比数列? an

nan ? 2 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Sn . an
???????????1

2 a a an ?1 ,得 n? 2 ? p ? n?1 . ? p? an?1 an an

an ?1 ,则 c1 ? a , cn?1 ? pcn . an c , ? a ? 0 ,?c1 ? 0 , n ?1 ? p (非零常数) cn a ????????????????????3 ? 数列 { n ?1 } 是等比数列. an
令 cn ? 分 (2)? 数列 {cn } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列,

? cn ? c1 ? pn?1 ? a ? pn?1 ,即
分 当 n ? 2 时, an ?

an ?1 ? ap n ?1 . an

???????????4

an an?1 a ? ??? 2 ? a1 ? (ap n?2 ) ? (ap n?3 ) ??? (ap 0 ) ?1 an?1 an?2 a1
n ?1

?a


p

n2 ?3n ? 2 2


n2 ?3n? 2 2

??????????????????6

? a1 满足上式, ? an ? a
分 (3)?

n?1

p

, n ? N* .

??????????7

an? 2 an? 2 an?1 ? ? ? (ap n ) ? (ap n?1 ) ? a 2 p 2 n?1 , an an?1 an

第 15 页

? 当 a ? 1 时, bn ?


nan? 2 ? np 2 n?1 . pan

????????????????8

? Sn ? 1? p1 ? 2 ? p3 ? ?? n ? p2n?1 ,

① ②

p2 Sn ?

1? p3 ? ?? (n ?1) ? p2n?1 ? n ? p2n?1

? 当 p2 ? 1 ,即 p ? ?1时,① ? ②得:
(1 ? p 2 )Sn ? p1 ? p3 ? ? ? p 2 n?1 ? np 2 n?1 ?
即 Sn ? 分 而当 p ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 分 当 p ? ?1 时, S n ? (? 1) ? (? 2)? ? ? (? n )? ? 分

p(1 ? p 2 n ) ? np 2 n?1 , 2 1? p
??????????11

p(1 ? p 2 n ) np 2 n?1 ? , p ? ?1 . (1 ? p 2 )2 1 ? p 2
n(n ? 1) , 2

??????????12

n(n ? 1) .?????????13 2

? n(n ? 1) , p ? 1, ? ? 2 ? n(n ? 1) 综上所述, S n ? ?? , p ? ?1, 2 ? ? p(1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )


???????????14

【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错 位求和等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想. 20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) ,点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上,且 PF 、 1

F1 F2 、 PF2 构成等差数列.
第 16 页

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1 M ? l , F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. y x2 y 2 l M ? ? 1. 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为

a2

b2

? PF1 、 1F 2 、 2 构成等差数列, F PF ? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .
又? c ? 1 ,? b ? 3 .
2

N F1 O F2

x

x2 y 2 ? 1 . ????????????????????4 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3
分 (2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 中 , 得

图7

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 12 ? 0 .


??????????5

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 , 化简得:m ? 4k ? 3 .
2 2

??????????7 分

设 d1 ? F1M ? 分

?k ? m k 2 ?1

, d2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1



??????????9 y l M H N O F2

(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 d1 ? d2 ? MN ? tan ? , F1

x

? MN ?

d1 ? d 2 , k

S?

2m 2m d 2 ? d22 1 d1 ? d 2 8 (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 ,???11 ? 2 ? 1 2 k 2k k ?1 m ? 3 ?1 m ? m 4

第 17 页



? m2 ? 4k 2 ? 3 , 当 k ? 0 时,m ? 3 ,m ? ?

1 1 4 ? 3? ? 3, ? 2 3. S m 3 3
???????????13

当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 分 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . 分 (法二)? d12 ? d2 2 ? (

????????????14

?k ? m k 2 ?1
?

)2 ? (

k ?m k 2 ?1
?

)2 ?

2(m2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) , ? k 2 ?1 k 2 ?1

d1d 2 ?

?k ? m k 2 ?1

?

k ?m k 2 ?1

m2 ? k 2 k 2 ?1

3k 2 ? 3 ? 3. k 2 ?1

? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?
1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

2 k 2 ?1



四边形 F1MNF2 的面积 S ? 分

1 k 2 ?1

(d1 ? d 2 ) ,

????11

S2 ?

1 16k 2 ? 12 2 2 (d1 ? d 2 ? 2d1d 2 ) ? 2 k 2 ?1 (k ? 1) 2
1 ? 2) 2 ? 12 . k ?1
2

? 16 ? 4(


??????????????????13

当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 Smax ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . ??????????14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础 知 识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形 结合、化归与转化思想. 21. (本小题满分 14 分)
第 18 页

已知 f ( x) ? x ? 相切.

a (a ? 0) , g ( x) ? 2 ln x ? bx ,且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) x

(1) 若对 [1,??) 内的一切实数 x , 不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底 数)内的任意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk ) 成立; (3)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

解 : 1 ) 设 点 ( x0 , y0 ) 为 直 线 y ? 2 x ? 2 与 曲 线 y ? g (x) 的 切 点 , 则 有 ( (*) 2 ln x0 ? bx0 ? 2x0 ? 2 . 2 2 ? g ?( x) ? ? b ,? ? b ? 2 . (**) x x0 由(*) (**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 、 分 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得

???????????2

a ? x ? 2 ln x , x ? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立. 1 设 h( x) ? x 2 ? 2 x ln x , h ?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 , x 2 ? h ??( x ) ? 2 ? ,? 当 x ? 1 时, h??( x) ? 0 ,则 h ?(x ) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h(x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1 , a ? 1 .???????5
分 因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . 分 (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ???????????????6

1 , x

? f ?( x) ? 1 ? f (3) ?


1 ? 0 , ? f (x) 在 [e,3] 上是增函数, f (x) 在 [e,3] 上的最大值为 x2

8 . 3


[e,3]









k







x1 , x2 ,?, xk





第 19 页

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk )
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

? 当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值,xk ? e 时不等式右边取得最
小值.

? (k ? 1) ?


8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 . 3 因此, k 的最大值为 13 .

???????????????10

(3)证明(法一) :当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) , 即 ln x ? 分

1 1 (x ? ) . 2 x

?????????????????????11

2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ( ? ), ,得 ln 2k ? 1 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ? , ????????????13 4k 2 ? 1
令x ? 分

ln(2n ? 1) ? ?[ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 4i ? 1
2

?????????14

分 (法二)数学归纳法:当 n ? 1 时,左边=

4 ,右边= ln 3 , 3 1 ? 2 ln x . x

根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,即 x ? 令 x ? 3 ,得 3 ?

1 4 ? 2 ln 3 ,即 ? ln 3 . 3 3
????????????11 分

因此,n ? 1 时不等式成立.

5 4 5 4 625 4 ? 27 ,? 4 ? ln 27 ,即 ? ln 3 . (另解:? e ? ,? e ? ( ) ? ) 2 3 2 16 k 4i 假设当 n ? k 时不等式成立,即 ? 2 ? ln(2k ? 1) , i ?1 4i ? 1 n ? k ?1 则 当
时,
k 4i 4i 4(k ? 1) 4(k ? 1) ?? 2 ? 4i 2 ? 1 i?1 4i ? 1 ? 4(k ? 1) 2 ? 1 ? ln(2k ? 1) ? 4(k ? 1) 2 ? 1 , i ?1 k ?1

第 20 页

要证 n ? k ? 1 时命题成立,即证 ln(2k ? 1) ?

4(k ? 1) ? ln(2k ? 3) , 4(k ? 1) 2 ? 1

即证

4(k ? 1) 2k ? 3 . ? ln 2 2k ? 1 4(k ? 1) ? 1
1 2k ? 3 ? 2 ln x 中,令 x ? ,得 x 2k ? 1

在不等式 x ?

ln

2 k ? 3 1 2 k ? 3 2k ? 1 4(k ? 1) . ? ( ? )? 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 3 4(k ? 1) 2 ? 1
???????????????13 分

? n ? k ? 1 时命题也成立.
根据数学归纳法,可得不等式

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) 对一切 n ? N * 成立. ?14 分 ?1

【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等 式的求解与证明、数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问 题的能力及创新意识. 命题: 喻秋生、姚亮、宋晓勤 审题:魏显峰

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