湖南省株洲市二中2016届高三上学期第一次月考数学文试卷 Word版含答案


株洲市二中 2016 届高三上学期第一次月考 文科数学试题
命题人 审题人 高三文科数学组 时量 120 分钟 总分 150 分 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1 ? 2i 1.复数 的共轭复数是 2?i 3i 3i A. B.— C .i D.—i 5 5
2. 设全集 U ? {0,1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {2, 4}, B ? {y | y ? log 3 ( x ?1), x ? A} ,则集合

(CU A) I (CU B) =
A. {0, 4,5, 2} B. {0, 4,5}
a

C. {2, 4,5}

D. {1,3,5}

3、设 a , b ? R ,那么“ e b ? e ”是“ a ? b ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是 A.y= 2 ? 2
x ?x

B. y=cosx

C.y= log 0.5 | x |

D.y=x+x



1

5.

已知 a=21.2,b= ( )

1 2

?0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为

A.c<b<a

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

6、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? ?11, a3 ? a7 ? ?6 ,当 Sn 取得最小值时,n ? A.5 B.6 C.7 D.8

7. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体 的体积是

8 3 3 2 3 C. cm 3
A. cm

4 3 cm 3 1 3 D. cm 3
B.

8 设中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 ,且过点(5,4) ,则其 焦距为 A. 6 2 B. 6 C. 5 2 D.5

9、设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} ,则以 ( x, y ) 为坐标的点落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面区

域内的概率为 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

10、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R (其中 A ? 0,? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) ,其部分图

像如下图所示,将 f ( x) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再向右平移 1 个单位得 到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的解析式为 A. g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1) x ? 1)

B. g ( x) ? sin

?

C. g ( x) ? sin(

?
2

D. g ( x) ? sin(

?
8

8

( x ? 1) x ? 1)

?x ? 1 ? 11、已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ?y ? a x ?3 ? ? ? 1 1 A. B. C. 1 D.2 3 2
12、已知函数 f ( x) ? ? 是 A. ? ?2,0? B. ? ?2,1? C. ? ?4,0? D. ? ?4,1?

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?ln( x ? 1), x ? 0

,若 f (x) ? ax ?1 ,则 a 的取值范围

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

1 ? y ,则 x ? y 的值为_____________。 3 1 1 1 1 14.右图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 20
13. 已知 2 ? 12 , log 2
x

其中判断框内应填入的条件是

.

15. 若非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | b | ,则 a ? b 与 a ? b 的夹角是 16. 设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 an 和 Sn 满足: 4Sn ? (an ? 1) (n ? 1,2,3,L ) ,则 Sn
2

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r





三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答写出文字说明、证明过程或演算步 骤)
17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

cos C ? ( c oA s ? 3 s i nA) c o s B ? 0.

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求△ ABC 的面积.

. 18. (本小题满分 12 分)为了解某校高三 9 月调考数学成绩的分布情况,从该校参加考试的 学生成绩中抽取一个样本,并分成 5 组,绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第一组至 第五组数据的频率之比为 1: 2 : 8 : 6 : 3 ,最后一组数据的频数是 6. (1)估计该校高三学生 9 月调考数学成绩在 [125,140] 的概率,并求出样本容量; (2)从样本成绩在 [65,95) 的学生中任选 2 人,求至少有 1 人成绩在 [65,80) 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 ,
0

PA ? PD ? AD ? 2 ,点 M 在线段 PC 上,且 PM ? 2 MC , N 为 AD 的中点
(1)求证: AD ? 平面 PNB ; (2)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,求三棱锥 P ? NBM 的体积

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 和 F2 ,且| F1 F2 |=2,点(1, (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 圆心且与直线 l 相切圆的方程.

3 )在该椭圆上. 2

12 2 ,求以 F2 为 7

21、 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x(e x ? 1) ? ax2

(Ⅰ)若 a=

1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2

[来源:学科网]

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ( x ) ≥0 恒成立,求 a 的取值范围

22、 (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的参数方程为 ? 数, 0 ? ? ? ? ) ,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C 的极坐标方程;

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参 ? y ? sin ?

(Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 5 3 ,射线 OM:? ? 为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

?
3

与半圆 C 的交点

高三第一次月考文科数学试题及答案
时量 120 分钟 总分 150 分 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1 ? 2i 1.复数 的共轭复数是 D 2?i 3i 3i A. B.— C .i D.—i 5 5
2. 设全集 U ? {0,1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {2, 4}, B ? {y | y ? log 3 ( x ?1), x ? A} ,则集合

(CU A) I (CU B) =( D )
A. {0, 4,5, 2} B. {0, 4,5}
a b

C. {2, 4,5}

D. {1,3,5} )

3、设 a , b ? R ,那么“ e ? e ”是“ a ? b ? 0 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是 A.y= 2 ? 2
x ?x

A


B. y=cosx

C.y= log 0.5 | x |

D.y=x+x

1

5.

已知 a=21.2,b= ( )

1 2

?0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 (



A.c<b<a

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

6、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? ?11, a3 ? a7 ? ?6 ,当 Sn 取得最小值是,n ? ( B) A.5 B.6 C.7 D.8

7. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体

的体积是

B

8 3 3 2 3 C. cm 3
A. cm

4 3 cm 3 1 3 D. cm 3
B.

8 设中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 ,且过点(5,4) ,则其 焦距为 A A. 6 2 B. 6 C. 5 2 D.5

9、设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} ,则以 ( x, y ) 为坐标的点落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面区 域内的概率为(C ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

10、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R (其中 A ? 0,? ? 0, ?

?
2

3 4

?? ?

?
2

) ,其部分图

像如下图所示,将 f ( x) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再向右平移 1 个单位得 到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的解析式为( B )

A. g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1)

B. g ( x) ? sin

?
8

( x ? 1)

C. g ( x) ? sin(

?
2

x ? 1)

D. g ( x) ? sin(

?
8

x ? 1)

?x ? 1 ? 11、已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ( ?y ? a x ?3 ? ? ?
A.



1 2

B.

1 3

C. 1

D.2

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 12、已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? ax ?1,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0
A. ? ?2,0? 【答案】C
:学,科,网 Z,X,X,K][ 来源:学§科§网]



B. ? ?2,1?

C. ? ?4,0?

D. ? ?4,1?

试题分析:根据函数 y ? f ( x) , y ? ax ?1 图形可得, a ? 0 ,当 x ? 0 时,

函 数 y ? x ? 2 x 与 函 数 y ? a x? 1 只 有 一 个 公 共 点 . 即 可 得 a ? ?4,a ? 0( 舍 去 ). 所 以
2

?4 ? a ? 0 .故选 C.

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

1 ? y ,则 x ? y 的值为_____________。2 3 1 1 1 1 14.右图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 20 其中判断框内应填入的条件是 . i ? 10 ?
13. 已知 2 ? 12 , log 2
x

15. 若非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | b |,则 | a ? b | 与 | a ? b | 的 夹角是 【答案】

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

? 3

16. 设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 an 和 Sn 满足: 4Sn ? (an ? 1)2 (n ? 1,2,3,L ) ,则 Sn=
2


2

?a 1? 【答案】 n 【解析】 由题: Sn ? ? n ? ? ,当 n ? 1 时,易得 a1 ? 1 . ? 2 2? 1? ?a 1? ?a an ? Sn ? Sn?1 ? ? n ? ? ? ? n?1 ? ? ? 2 2? ? 2 2?
2 2

2 2 ?a a ? ? a a ? ? a ? an ?1 ? ? an an ?1 ? ? ? n ? n ?1 ? 1? ? ? n ? n ?1 ? ? ? n ??? ? ? 2 2 ? ? 4 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2
2 2 an ? an ?1 an ? an ?1 ? ? an ? an?1 ? 2 . 所 以 an ? 2n ? 1 . 所 以 2 4

整理得:

Sn ? n 2 .
三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答写出文字说明、证明过程或演算步 骤)
17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

cos C ? ( c oA s ? 3 s i nA) c o s B ? 0 .(Ⅰ)求角 B 的大小;
(Ⅱ)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求△ ABC 的面积.

【答案】 (Ⅰ)

p 3

(Ⅱ)

3 4

18. (本小题满分 12 分)为了解某校高三 9 月调考数学成绩的分布情况,从该校参加考试的

学生成绩中抽取一个样本,并分成 5 组,绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第一组至 第 五组数据的频率之比为 1: 2 : 8 : 6 : 3 ,最后一组数据的频数是 6. (1)估计该校高三学生 9 月调考数学成绩在 [125,140] 的概率,并求出样本容量; (2)从样本成绩在 [65,95) 的学生中任选 2 人,求至少有 1 人成绩在 [65,80) 的概率.

【解析】 (1)估计该校高三学生 9 月调考数学成绩在 [125,140] 上的概率 为p?

3 3 6 3 ? ,设样本容量为 n ,则 ? ,解得 n ? 40 . ?4 分 1 ? 2 ? 8 ? 6 ? 3 20 n 20

1 (2)样本中成绩在 [65,80) 上的学生有 ×40=2 人,记为 x , y ;成绩 20 2 在 [80,95) 上的学生有 ×40=4 人,记为 a , b , c , d .从上述 6 人中任选 2 人的基本事 20 件有: {x, y} , { x, a} , {x, c} , {x, d} , { y, a} , { y , b} , { y , c} , { y, d} , {a, b} , {a, c} ,

{a, d} , {b, c} , {b, d} , {c, d } 共 15 个,
记“从上述 6 人中任选 2 人,至少有 1 人在 [65,80) 上”为事件 A,则事件 A 包含的基本 事件有: {x, y} , { x, a} , { x, b} , {x, c} , {x, d} , { y, a} , { y , b} , { y , c} , { y, d} ,共 9 个. 9 3 故所求概率 P(A)= = .???????????????12 分 15 5 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 ,
0

PA ? PD ? AD ? 2 ,点 M 在线段 PC 上,且 PM ? 2 MC , N 为 AD 的中点

(1)求证: AD ? 平面 PNB ; (2)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,求三棱锥 P ? NBM 的体积 (1)∵ PA ? PD , N 为 AD 的中点,? PN ? AD ∵ 底 面 ABCD 为 菱 形 , ?BAD ? 60? , ? BN ? AD ∵

PN I BN ? N ,∴ AD ? 平面 PNB .
( 2 ) ∵ 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , 平 面 PAD ? 平 面

ABCD ? AD , PN ? AD ,
? PN ? 平面 ABCD ,
∵ PN ? NB , PA ? PD ? AD ? 2 ,

? PN ? NB ? 3 ,点到 P 平面 ABCD 的距离为 3 .

1 3 ? S?PNB ? ? 3 ? 3 ? . 2 2
∵ AD ? 平面 PNB ,AD∥BC,∴ BC ? 平面 PNB . ∵ PM ? 2 MC ,? VP ? NBM ? VM ? PNB ?

2 VC ? PNB 3

?

2 1 1 2 ? ? ? 3? 3?2 ? . 3 3 2 3

20、 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 和 F2 , 且| F1 F2 |=2, 点(1,

3 )在该椭圆上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2

(Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 圆心且与直线 l 相切圆的方程.

12 2 ,求以 F2 为 7

x2 y2 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 . ? ? 1; 4 3
试题解析: (Ⅰ)因为| F1 F2 |=2,所以 c ? 1 . 又点(1, 所 以

3 3 3 )在该椭圆上,所以 2a ? (1 ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? (1 ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? 4 . 2 2 2

a ? 2 b2 ? ,

. 3 所







C









x2 y2 ? ?1 4 3

……………. . (4 分)

(Ⅱ)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,题意.

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合 2 2
…………(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,学科网
显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y 2 ) ,则

8k 2 8k 2 ? 12 , x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
可得|AB|=

12(k 2 ? 1) ……………. . (9 分) 3 ? 4k 2

又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k 2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 12 | k | k 2 ? 1 = 12 2 , |AB| r= 2 7 3 ? 4k 2

17 k 4 + k 2 -18=0, 1, 化简得: 得 k=± ∴r = 2 , 圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ……………. . (13 分) 21、设函数 f ( x) ? x(e x ? 1) ? ax2

(Ⅰ)若 a=

1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2

[来源:学科网]

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ( x ) ≥0 恒成立,求 a 的取值范围 解: (Ⅰ) a ?
1 1 时, f ( x) ? x(ex ? 1) ? x2 , f '( x) ? ex ?1 ? xex ? x ? (ex ?1)( x ? 1) 。 2 2

当 x ? ? ??, ?1? 时 f '( x) ? ? ;当 x ? ? ?1,0? 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ? 0, ??? 时, f '( x) ? 0 。 故 f ( x) 在 ? ??, ?1? , ? 0, ??? 单调增加,在(-1,0)单调减少。 (Ⅱ) f ( x) ? x(e x ? 1 ? ax) 。令 g ( x) ? e x ?1 ? ax ,则 g '( x) ? e x ? a 。若 a ? 1 ,则当

x ?? 0, ??? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为增函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x≥0 时 g ( x) ≥0,
即 f ( x) ≥0. 若 a ? ? ,则当 x ? ? 0, lna ? 时, g '(x ) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0,从而当

x ? ? 0, lna ? 时 g ( x) <0,即 f ( x) <0.

综合得 a 的取值范围为 ? ??,1?

22、在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的参数方程为 ? O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C 的极坐标方程;

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,以 ? y ? sin ?

(Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 5 3 ,射线 OM:? ? 为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 【答案】 (1) ? ? 2 cos ? , ? ? [0,

?
3

与半圆 C 的交点

?
2

]; (2)4.

试题解析: (Ⅰ)半圆 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) 错误!未找到引用源。错误!
未找到引用源。 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 错误!未找到引用源。 ,

所 以 半 圆
源。 .

?, C 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? 2 c o?s ?

?
2

[ 错 0 ,误 ] ! 未 找 到 引 用

??????????(5 分)

? ?1 ? 2cos ?1 ? (Ⅱ)设错误!未找到引用源。 ( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? ? 错误!未找到引 ? ? 1 ? 3 ? ? ?1 ? 1 ? 用源。 ,解得 ? ? ,错误!未找到引用源。 ?1 ? ? 3 ?

? ?2 (sin ?2 ? 3 cos ?2 ) ? 5 3 ? 设错误!未找到引用源。 ( ?2 ,?2 ) 为点 Q 的极坐标,则有 ? 错误! ? ? ? ? 2 3 ?
? ?2 ? 5 ? 未找到引用源。 解得 ? ? ,错误!未找到引用源。 ?2 ? ? 3 ?
由于 ?1 ? ?2 错误!未找到引用源。 ,所以 | PQ |?| ?1 ? ?2 |? 4 错误!未找到引用源。 ,所以 PQ 的长为 4. ???????(10 分)


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