柯西不等式、排序不等式与数学归纳法考前过关训练(三)


考前过关训练(三)
柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 (35 分钟 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.函数 y=2 A. B.· + 的最大值为 ( C.-3 +1· =3, = ,即 x=0 时,等号成立. ) ) D.3 60 分)

【解析】选 D.y= ≤ 当且仅当

2.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则 a 的最大值是 ( A.1 B.2 C.3 D.4

【解题指南】利用柯西不等式构建关于 a 的不等式求解. 【解析】选 B.由柯西不等式,得 (2b2+3c2+6d2) ≥(b+c+d)2,

即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2, 当且仅当 = = 时等号成立.

又 b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2, 故 5-a2≥(3-a)2, 解得 1≤a≤2,即 a 的最大值是 2. 3. 一组实数为 a1,a2,a3, 设 c1,c2,c3 是另一组数 b1,b2,b3 的任意一个排列 , 则 a1c1+a2c2+a3c3 的 ( )

A.最大值为 a1b1+a2b2+a3b3,最小值为 a1b3+a2b2+a3b1

B.最大值为 a1b2+a2b3+a3b1,最小值为 a1b3+a2b1+a3b2 C.最大值与最小值相等为 a1b1+a2b2+a3b3 D.以上答案都不对 【解析】选 D.a1,a2,a3 与 b1,b2,b3 的大小顺序不知,无法确定其最值. 4.对于正整数 n,下列说法不正确的是 ( A.3n≥1+2n C.0.9n<1-0.1n )

B.0.9n≥1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n

【解析】选 C.由贝努利不等式知,选项 C 不正确. 5.(2016·菏泽高二检测)已知 x+y+z=1,则 2x2+3y2+z2 的最小值为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 D.由柯西不等式得, (2x2+3y2+z2) 所以(2x2+3y2+z2)≥ . 6.(2016·苏州高二检测)已知 x,y,z∈R+,且 + + =1,则 x+ + 的最小值为 ( A.5 B. 6 C. 8 D.9 ) ≥(x+y+z)2=1,

【解析】选 D.由柯西不等式,知 ≥(1+1+1)2=9, 因为 + + =1,所以 x+ + ≥9. 即 x+ + 的最小值为 9. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.已知点 P 是边长为 2 的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为 x,y,z,

则 x,y,z 所满足的关系式为________,x2+y2+z2 的最小值是______.

【解析】利用三角形面积相等,得 ×2 (x+y+z)= ×(2 )2,即 x+y+z=3.

由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9, 得 x2+y2+z2≥3,当且仅当 x=y=z=1 时取等号. 答案:x+y+z=3 3 8.如图所示,矩形 OPAQ 中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和________ 空白部分的矩形的面积之和.

【解析】由题干图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1, 根据顺序和≥逆序和可知,a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1. 答案:≥ 9.(2016·聊城高二检测)凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线条数 f(n+1)与 f(n)的递推关系为________. 【解析】凸 n+1 边形比凸 n 边形对角线条数多 n-1, 所以凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线条数 f(n+1)与 f(n)的递推 关系为 f(n+1)=f(n)+n-1. 答案:f(n+1)=f(n)+n-1 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 10.已知 a,b,c∈R+,求证: + + ≥a10+b10+c10.

【解题指南】可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成

为积的形式. 【证明】不妨设 a≥b≥c>0,则 ≥ ≥ >0 且 a12≥b12≥c12>0, 则 = + + + + ≥ ≥ + + + + =a10+b10+c10.

11.a1,a2,…,an 是互不相等的正数,其中 ai∈[1,+∞),且 i∈{1,2,3,…,n},n≥2. 证明: (1) + >a1+a2. (2) + +…+ + >n.

【证明】(1)因为 a1>0,a2>0,且 a1≠a2, 所以 + -a1-a2= (2)不妨设 1≤a1<a2<…<an, 则 < <…< ,且 > >…> . = >0,所以 + >a1+a2.

由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成立, 所以 + +…+ 即 + +…+ + > · + · +…+ · . =n.

+ >a1+a2+…+an>

12.(2016·厦门高二检测)设 an=1+ + +…+ (n∈N+),是否存在 n 的整式 g(n),使 得等式 a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)对大于 1 的一切正整数 n 都成立?证明你的结 论. 【解析】假设 g(n)存在,那么当 n=2 时, 由 a1=g(2)(a2-1),即 1=g(2) 所以 g(2)=2; ,

当 n=3 时,由 a1+a2=g(3)(a3-1), 即 1+ =g(3) ,所以 g(3)=3,

当 n=4 时,由 a1+a2+a3=g(4)(a4-1), 即 1+ =g(4) + ,所以 g(4)=4,

由此猜想 g(n)=n(n≥2,n∈N+). 下面用数学归纳法证明: 当 n≥2,n∈N+时,等式 a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立. (1)当 n=2 时,a1=1, g(2)(a2-1)=2× =1,结论成立.

(2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时结论成立, 即 a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1)成立, 那么当 n=k+1 时,a1+a2+…+ak-1+ak =k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1 =(k+1) =(k+1)(ak+1-1),

说明当 n=k+1 时,结论也成立, 由 (1)(2) 可知 , 对一切大于 1 的正整数 n, 存在 g(n)=n 使等式 a1+a2+a3+ … +an-1=g(n)(an-1)成立.


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