山东省潍坊市2015届高三上学期期末考试数学试题(理,A卷)


高三数学(理)
本试卷共 5 页,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分. 考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题
注意事项:

共 50 分)

1. 答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位 置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

a?i 为纯虚数,则实数 a ? 2?i 1 1 A. ?2 B. ? C.2 D. 2 2
1. 复数 2. 设集合 M ? x x ? 3 ? 2 , N ? x y ? A. 2,5 ?

?

?

?

x ? 2 ,则M ? N ?
D. 1,5?

?

?

B.

?1,5?

C.

? 2,5?

?

3. 下列说法中正确的是 A. 命题“若 x ? y,则 ? x ? ? y ”的逆否命题是“若 ? x ? ? y ,则 x ? y ” B. 若命题 p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 0,则?p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 C. 设 l 是一条直线,? , ? 是两个不同的平面,若 l ? ? , l ? ?,则? / / ? D. 设 x, y ? R ,则“ ? x ? y ? ? x ? 0 ”是“ x ? y ”的必要而不充分条件
2

4. 定义在 R 上的偶函数 y ? f ? x ? 的部分图象如图所示,则在 上,下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x ? 1
2

? ?2, 0?

B. y ? x ?1 D. y ? ?
x ? ?e x ? 0 ?x ? ?e x ? 0

C. y ? ?

?2 x ? 1 x ? 0
3 ?x ?1 x ? 0

2 2 5. 若过点 P ?2 3, ?2 的直线与圆 x ? y ? 4 有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是

?

?

·1·

A. ? 0,

? ?

??
? 6?

B.
5

? ?? 0, ? ? 3? ?

C.

? ?? 0, ? ? 6? ?

D. ? 0,

? ?

??
3? ?

1? ? 6. 二项式 ? 2 x 2 ? ? 的展开式中 x 的系数为 x? ?
A. ?20 B.20 C. ?40 D.40 7. 运行右面的程序框图, 若输入 n ? 2015 ,则输出的 a ?

A.

4030 4029 2015 4029 4030 4031 2015 4031 ln 2 2 2 ? ln 2 D. 4
B.

B.

C.

D.

8. 向右图 中边长为 2 的正方形中,随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图中阴影部分的概率为

1 ? 2 ln 2 4 2 ? ln 2 C. 4
A.

9.某公司生产甲、 乙两种桶装产品, 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原 料 3 千克,B 原料 1 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 1 千 克,B 原料 3 千克.每生产一桶甲产品的利润 400 元, 每生 产一桶乙产品的利润 300 元.公司在生产这两种产品的计划中, 每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克,通 过合理安排生产计划,公司每天可获得的最大利润是(单位:元) A.1600 B.2100 C.2800 D.4800

10. 设函数 f ? x ? 的定义域为 D,若任取 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D满足 为函数 y ? f ? x ? 在 D 上的均值.给出下列五个函数:

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? C ,则称 C 2

2 x ① y ? x ;② y ? x ;③ y ? 4sin x ;④ y ? 1gx ;⑤ y ? 2 . 则所有满足在其定义域上 的均值为 2

的函数的序号为 A. ① ③ B.①④

C.①④⑤

D.②③④⑤

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
·2·

注意事项: 将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 若向量 a,b 的夹角为150 , a ? 3, b ? 4,则 2a ? b ? _ __________. 12. 已知某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的外 接球的表面积为 __________. 13. 在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c . 已知 a2 ? b2 ? bc,sin C ? 2sin B ,则角 A 为 __________. 14. 已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左,右焦点,P 为双曲线右支上的一点,且 a 2 b2

PF1 ? 2 PF2 . 若 ?PF1F2 为等腰三角形,则该双曲线的离心率为_________.
15. 设 方 程 x4 ? ax ? 4 ? 0 的 各 实 根 为 x1 , x2 , ???, xk ? k ? 4? . 若 点 ? xi ,

? ?

4? , , k? 均 在 直 线 ? ? i ? 1, 2??? xi ?

y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是_________.
三、解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? sin x ?
2

1 1 cos 2 x ? , x ? R. 2 2

(I)求函数 f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? , 上的最值; ? 4 2? ?

(II)若将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍, 4
6 5 ? 4? 11? ? ?? ? ? , ? .求 cos ? ? ? 的值. ? 3 6 ? ?2 6?

纵坐标不变,得到 g ? x ? 的图象. 已知 g ?? ? ? ? , ? ? ?

17. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 边 形 ACDF 为 正 方 形 , 平 面 ACDF ? 平 面 BCDE, BC=2DE=2CD=4,DE//BC, ?CDE ? 90 ,M 为 AB (I)证明:EM//平面 ACDF; (II)求二面角 A ? BE ? C 的余弦值. 18. (本小题满分 12 分) 某机械厂生产一种产品,产品按测试指 标分为:指标大于或等于 90 为优等次,大于或等于 80 小于 90 为良等次,小于 80 为差等次. 生产一件优等次产品盈利 100 元,生产一件良等次产品盈利 60 元, 生产一件差等次产品亏损 20 元. 现随机抽查高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各 100 件进行检
·3·

的中点.

测,结果统计如下: 根据上表统计 得到甲、乙两 人生产这种产 品为优,良, 差等次的频率,现分别作为他们每次生产一件这种产品为优,良,差等次的概率,且每次生产一件 产品的等次互不受影响. (I)计算高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品的概率; (II)甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为 X 元(利润=盈利-亏损) ,求随机变量 X 的 概率分布和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知点 ? an , an ?1 ? n ? N ? 在函数 y ? 3x 的图象上,且

?

?

S3 ? 26.
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 在 an与an?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成公差为 dn 的等差数列, 求数列 ? 和 Tn ,并求使 Tn ?

?1? ? 的前 n 项 ? dn ?

8 5

n 40 ? 成立的最大正整数 n. n ?1 5? 3 27

20. (本小题满分 13 分) 已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 2 ?

y2 a

x2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经 b2





? 3 ? Q? ? 2 ,1? ? ,过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为 1. ? ?
(I)求椭圆 C1 的方程; (II) 过抛物线 C2 : y ? x ? h ? h ? R? 上一点 P 的切线与椭圆 C1 交于不同两点 M, N, 点 A 为椭圆 C1
2

的右顶点,记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G、H 点,当直线 GH 与 x 轴垂直时,求 h 的最小值. 21. (本小题满分 14 分)
·4·

设函数 f ? x ? ? ln x, g ? x? ? ? 2 ? a?? x ?1? ? 2 f ? x? . (I)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间; (II)设 A ?x1 ,y 1 ?,B x ? 1,y 2

? 是函数 y ? f ? x? 图象上任意不同两点,线段 AB 中点为 C ? x0 , y0 ? ,直

线 AB 的斜率为 k. 证明: k ? f ? ? x0 ? ; (III)设 F ? x ? ? f ?x ? ? 求实数 b 的取值范围.

F ? x ? ? F ? x2 ? b ? ?1 , ?b ? 0 ? ,对任意 x1, x2 ?? 0,2?, x1 ? x2 ,都有 1 x ?1 x1 ? x2

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