厦门市2014-2015学年第一学期高二质量检测数学(文科)答案


厦门市 2014-2015 学年第一学期高二质量检测

(文科)数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1—5:CBCDA 6—10:CBDAA

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 8 12.

3 4

13.4

14. 2 2 ? 2

15. [

6 , ??) 3

16. ① ③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. 本题主要考查等差,等比数列的概念及通项公式、前 n 项和公式等基础知识,考查运算 求解能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)? a4 是 a2 与 a8 的等比中项,

?a42 ? a2 ? a8 ,
2

-------------------------------------------------------------------2 分

?(a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) , ------------------------------------------------------5 分 ? a1 ? 1, d ? 0 ,? d ? 1 , ?an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ------------------------------------------------7 分 ? {an } 的通项公式为: an ? n
(Ⅱ)

?bn ? 是以 b1 为首项,2 为公比的等比数列
? 数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?

bn ? 2an , ? bn ? 2n

--------------------------------------------------------8 分 ----------------------------10 分

b1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2n ) ? ? 2n?1 ? 2 ----------------------------12 分 1? q 1? 2

18.本题主要考查基本逻辑用语, 逻辑联结词以及充分必要条件, 考查不等式解法及推理论证 能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)当 a ? 2 , x ? 3 时, ∵x ? 3 满足不等式组 ? ∴ p ? q 是真命题. (Ⅱ) 由 ?

?0 ? x ? 4

2 ?x ? 2x ?1 ? 0 2 ∵x ? 3 也满足 x ? 8x ? 12 ? 0 ,∴ q 也是真命题。

,∴ p 是真命题;

----------------------------2 分

--------------------------------------4 分 -------------------------------------------6 分

?0 ? x ? 4 得1? 2 ? x ? 4 , 2 ?x ? 2x ?1 ? 0

由 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 a ? x ? 3a ,

--------------------------------------8 分

∵ p 是 q 的充分不必要条件, 知 (1 ? 2, 4] 是 (a,3a) 的真子集, ∴?

? ?a ? 1 ? 2 , ? ?3a ? 4

---------------------------------------------------------------10 分

1



4 ? a ? 1? 2 3 4 ? a ? 1 ? 2} 3

-------------------------------------11 分 ----------------------------------------------12 分

? 实数 a 的取值范围为 {a |
满分 12 分. 解: (Ⅰ)∵ a ? ∴sin A ?

19.本题主要考查解三角形以及三角正余定理的应用,考查运算求解能力和化归与转化思想,

2b sin A ,由正弦定理得:
-----------------------------------------------2 分

2 sin B sin A ,
2 , 2

又 0 ? A ? ? ,sin A ? 0 ∴sin B ?

-----------------------------------------4 分

又∵a ? b ? c ,∴A ? B ? C ,∴0 ? B ? ∴B ?

?
2
-----------------------------------------------6 分

?
4

(Ⅱ)∵a ?

2 , b ? 5 ,由(Ⅰ)知 B ? ? .由余弦定理得: 4
2 2

2 ∴b ? a ? c ? 2ac.cos B ,即 5 ? 2 ? c ? 2 2c.
2

2 ----------------------------------8 分 2
---------------------------------10 分

化简得: c ? 2c ? 3 ? 0 , 解得:c ? 3
2

∴S?ABC ?

1 1 2 3 . -----------------------------------------12 分 ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2

20. 本题主要考查数列基本知识应用,考查数据处理能力和推理论证能力. 满分 12 分. 解(Ⅰ)由题意知,建造第 1 层楼房每平方米建筑费用为 2200 元, 因此,建造第 1 层楼房建筑费用为 2200 ×2000 = 440 (万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 80 ×2000 = 16 (万元), -----------------1 分 ------------------2 分 -------------4 分

∴建造第 n 层时的建筑费用为 440 + (n ? 1) ×16 = 16n ? 424 (万元), 若建造 n 层,该楼房的综合费用为

y ? f (n) ? 440n ?

n(n ? 1) ?16 ? 3200 ? 8n 2 ? 432n ? 3200 , 2

2 ∴ y ? f (n) ? 8n ? 432n ? 3200 (15 ? n ? 30, n ? N ) . --------------------------------6 分

(Ⅱ)该楼房每平方米的平均综合费用为 g(n),则

g ( n) ?

f (n) ?10000 2000n

------------------------------------8 分

2

?

5 f (n) 5(8n2 ? 432n ? 3200) ? n n
3200 ? 432) n
3200 ? 432) ? 3760 n
-------------------------9 分

? 5(8n ?

? 5(2 8n ?

-------------------------11 分 -------------------------12 分

当且仅当 8n ? 3200 ,即 n ? 20 时等号成立.
n

∴应把楼层建成 20 层时平均综合费用最低. 21.本题主要考查椭圆的定义与性质,直线、椭圆的位置关系,考查数形结合思想、化归与 转化思想.满分 14 分. 解: (Ⅰ)? AF 1 ?

AO ? OF ? b2 ? c 2 ? a , 又? AF1 ? AF2 1
-----------------------------------------------------------------------------1 分

2

2

? AF2 ? a ,

设 BF2 ? t (t ? 0) ,由椭圆定义知 BF 1 ? BF 2 ? 2a ,

? BF 1 ? 2a ? t ,
? ?F1 AB ? 900 ,? BF1 ? AF1 ? AB ,
即 (2a ? t )2 ? a 2 ? (a ? t )2 ,? t ?
2 2 2

-----------------2 分

? S ?F1 AB

4a a , AB ? 3 3 4 1 4 1 ? AF1 ? AB ,? ? a ? a 2 3 2 3

----------------3 分

?a ? 2

---------------------- -------------------------------------------------4 分

?F1 AB ? 900 , OA ? OF2 ? b ? c , a 2 ? b2 ? c 2
? b ? 1,
---------------------------------5 分

? 椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

----------------------------------------6 分

(Ⅱ)设动点 P 坐标为 ( x, y ) ,

点 P 关于原点的对称点为 Q --------------------------------------------------------------7 分 -----------------------8 分

? Q 点坐标为 (? x,? y) ,

由 A(0,1), F2 (1,0) ,得直线 AF2 的方程为 y ? 1 ? x ,

3

4 ? ? y ?1? x ?x ? 0 ? x ? 3 ? 2 联立 ? x ,得 ? 或? , ? y2 ? 1 y ?1 ?y ? ? 1 ? ? ?2 3 ? 4 1 ? B 点坐标为 ( ,? ) , -----------------------10 分 3 3 4 1 4 1 ? BP ? ( x ? , y ? ) , BQ ? (? x ? ,? y ? ) , 3 3 3 3 4 4 1 1 17 ? BP ? BQ ? ( x ? )( ? x ? ) ? ( y ? )( ? y ? ) ? ? x 2 ? y 2 ? ------------------11 分 3 3 3 3 9
? ? x 2 ? (1 ? x 2 17 1 8 )? ? ? x2 ? , 2 9 2 9
------------------------------------------12 分

点 P 在椭圆上,?? 2 ? x ?

2 ,? 0 ? x 2 ? 2 ,

-------------------------------13 分 --------------------------------14 分

1 8 ? BP ? BQ 的取值范围为 [? , ] . 9 9
思想方法.满分 14 分. 解: (Ⅰ)

22. 考查函数与导数基础知识,考查函数与方程、分类与整合、化归与转化以及数形结合等

f ?( x) ?

ax(2 ? x) a(2 ? x) ? x4 x3

-----------------------------------------2 分

f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0, 切线斜率为 1, ? f ?(1) ? 1 ,
?a ?1
------------------------------3 分

a (2 ? x) (Ⅱ)? f ?( x) ? , x3 2? x a (2 ? x) ? 0 -------------------5 分 当 x ? (3,5) 时, 3 ? 0 ,又 a ? 0 ,所以? f ?( x) ? x x3
所以函数 f ( x) 在区间 (3,5) 上单调递减。 ----------------------------------------------7 分 ----------------------8 分

' (Ⅲ ) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) ,则 g ( x) ? ln x ? 1 ? a ,

令 g ( x) ? 0, 即 ln x ? a ? 1 ,得 x ? e
' '

a ?1


a ?1

令 g ( x) ? 0, 即 ln x ? a ? 1,考虑到 ln x 的定义域为 x ? 0 ,得 0 ? x ? e 所以, g ( x) 在区间 (0, e
a ?1



) 上为递减函数,

--------------------------9 分 --------------------------10 分

g ( x) 在区间 (ea ?1,??) 上为递增函数。
① 当e
a ?1

? 1,即 0 ? a ? 1 时

g ( x) 在区间 [1, e] 上为递增函数,此时 g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae ; ---------11 分
4

② 当e

a ?1

? e ,即 a ? 2 时

g ( x) 在区间 [1, e] 上为递减函数,此时 g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 ; -----------------12 分
③ 当1 ? e
a ?1

? e ,即 1 ? a ? 2 时

在区间 [ea?1 , e] 上为递增函数, 此时 g ( x) 的最大值 g ( x) 在区间 [1, ea ?1 ] 上为递减函数, 为 g (e) 和 g (1) 中较大者,

g (e) ? g (1) ? a ? e ? ae ,令 g (e) ? g (1) ? 0 ,解得 a ?

e , 1? a ? 2 e ?1

?当 1 ? a ?


e 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , --------------------------13 分 e ?1

e ? a ? 2 时, g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . --------------------------14 分 e ?1 e 综上所述, 当 0 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , e ?1 e 当a ? 时, g ( x) 的最大值为 g (1) ? 0 . e ?1

5


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