华师一2011届高三第二轮复习专题讲座(概率与统计)第四讲:概率与统计


课 题: 概率与统计 一、教学内容与教学目标
(1) 概 率 与 统 计 ( 14 课 时 ) 离散型随机变量的分布列。离散型随机变量的期望值和方差。 抽样方法。总体分布的估计。正态分布。线性回归。 (2) 教 学 目 标 ( 1) 了 解 离 散 型 随 机 变 量 的 意 义 , 会 求 出 某 些 简 单 的 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 。 ( 2) 了 解 离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 值 、 方 差 的 意 义 , 会 根 据 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 求 出 期 望值、方差。 ( 3) 会 用 随 机 抽 样 、 系 统 抽 样 、 分 层 抽 样 等 常 用 的 抽 样 方 法 从 总 体 中 抽 取 样 本 。 ( 4) 会 用 样 本 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布 。 ( 5) 了 解 正 态 分 布 的 意 义 及 主 要 性 质 。 ( 6) 了 解 线 性 回 归 的 方 法 和 简 单 应 用 。

二、典例解析
例1 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两 只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外 飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数. .. ..... (Ⅰ)写出 ξ 的分布列(不要求写出计算过程) ; (Ⅲ)求概率 P(ξ≥Eξ). 解: (Ⅰ) ? 的分布列为: (Ⅱ)求数学期望 Eξ;

?
P

0

1

2

3

4

5

6

7 28

6 28

5 28

4 28

3 28

2 28

1 28

2 (1? 6 ? 2 ? 5 ? 3 ? 4) ? 2 . 28 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 15 ? (Ⅲ)所求的概率为 P(? ≥ E? ) ? P(? ≥ 2) ? . 28 28
(Ⅱ)数学期望为 E? ? 例 2 某电脑游戏开发公司设计了一种新的“横拟世界杯——足球大赛”游戏,该游戏中的“罚点球” 确定的规则如下;玩家每一轮罚 10 个点球,每罚一个点球,玩家可选定球门已划定的 9 个区域中的某一 个主罚,守门员则可守住 9 个区域中的 3 个区域. (Ⅰ)求玩家玩完一轮,10 个点球罚中的 ? 个的概率 P(? ? k ) 的表示式(k=0,1,2,…,10) ; (Ⅱ)求玩家玩完一轮,至少罚中 2 个点球的概率。 (结果保留小数点后 4 位即可,近似计算参考数据

1 ( )10 ? 0.0000169 ). 3
2 1 ,罚不中的概率为 . 且每次罚球的结果是相互独立的, 3 3 2 2 k 1 10 ? k k , k ? 0,1,2, ?,10 故 ? ~ B(10, ). ∴ ? 的分布列为 P(? ? k ) ? C10 ( ) ? ( ) 3 3 3 1 10 1 10 (Ⅱ) P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? ( ) ? 20 ? ( ) ? 0.9996 。 3 3
解: (Ⅰ)玩家罚中一个点球的概率为
第四讲 概率与统计 1

例3

把圆周分成四等份,A 是其中一个分点,动点 P 在四个分点上按痵时针方向前进,现投掷一个

质地均匀的正四面体,它的四个面上分别写着 1、2、3、4 四个数字,P 从 A 点出发,按照正面体底面上 数字前进几个分点,转一周之前继续投掷。 (1)求点 P 恰好返回 A 点的概率。 (文科只做第一问) (2)在点 P 转一周恰能返回的所有结果中,用随变量 ξ 表示点 P 返回 A 点时的投掷次 ,求 ξ 的分布 列和期望。 解: (1)记点 P 恰 好返回 A 点为事件 A1,记投掷 1 次、2 次、3 次、4 次反回 A 点分别为事件 B1、 B2、B3、B4。投掷 1 次返回时,所得数为 4,故 P(B1)= 2:3,1 三种情况,故 P(B2)=

1 ;投掷 2 次返回时,分为分别投出 1,3;2, 4

1 1 1 1 1 3 × + × × = ;投掷 3 次返回时,分为分别投出 1,1,1,1 4 4 4 4 4 16

故 P(B4)=

1 1 1 1 1 × × × = ;∴P(A1)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 4 4 4 4 256



1 3 3 1 125 ? ? + + 。 4 16 64 256 256
(2)在恰能返回 A 点的情况下,P(ξ=1)= , P?? ? 2 ? ?

1 8

1 3 3 , P?? ? 3? ? ,P(ξ=4)= 。 8 8 8

故 ξ 的分布列为(略) ,∴Eξ=1× +2× +3× +4× =

1 8

3 8

3 8

1 8

5 。 2

例 4 甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数 f(x) g(x) 、 ,当甲公司投入 x 万元 作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于 f(x)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没 有失败的风险;当乙公司投入 x 万元作宣传时,若甲公司投入的宣传费小于 g(x)万元,则甲公司对这一 新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险。 (1)试解释 f (0) ? 10, g (0) ? 20 的实际意义; (2)设 f ( x) ?

1 x ? 10, g ( x) ? 4

x ? 20 ,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均

无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司各应投入多少宣传费? 解: (1)f(0)=10 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败风险,至少要 投入 10 万元宣传费;g(0)=20 表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风 险,至少要投入 20 万元宣传费。 (2)设甲公司投入宣传费 x 万元,乙公司投入宣传费 y 万元,依题意,当且仅当

1 ? 1 ? y ? f ( x) ? x ? 10.......( ) 4 成立,双方均无失败的风险, ? ? x ? g ( y) ? y ? 20.......... 2) ( ?
由(1) (2)得 y ?

1 ( y ? 20) ? 10 ? 4 y ? y ? 60 ? 0 ,?( y ? 4)(4 y ? 15) ? 0 , 4
第四讲 概率与统计 2

?4 y ?15 ? 0,? y ? 4 ? y ? 16, x ? y ? 20 ? 4 ? 20 ? 24. ∴ xmin ? 24, ymin ? 16.
∴要使双方均无失败风险,甲公司至少要投入 24 万元,乙公司至少要投入 16 万元。

三、备选例题
1.某车间每日每位工人要完成 2 箱零件的装箱,每箱装入 6 个零件.质检员要通过抽样检验对工人装箱质 量进行评分:从 2 箱中随机抽取 1 箱并从该箱中取出 3 件,若无次品混入计 10 分;发现一件次品混入计 分;发现 2 件次品混入计分;发现 3 件次品混入计分.工人 A 所装第一箱无次品混入,但不慎将 3 件次品 误装入第二箱.求工人 A 该日所得分的分布列和期望. 解: 设工人 A 该日装箱质量得分为 ? , P(? ? 10) ? 则

C3 C3 C1 C2 9 21 6 3 ; (? ? ?5) ? 1 3 ? ? 133 ? P 1 3 C2 C6 C2 C6 40 C2 C3 40 6

P(? ? ?10) ?

2 C3 C1 C3 9 1 3 ; P(? ? ?20) ? 1 3 3 ? 。 ? 1 3 C2 C6 40 C2 C6 40

? 的概率分布为(略). E? ? 10 ?

21 9 9 1 11 ? 5 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 。 40 40 40 40 8

2.某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验,已知该种实验每次实验成功的概率为 (1)求他们做了 5 次这种实验至少有 2 次成功的概率;

1 . 2

(2)如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验,否则将继续进行下次实验,但实验的总次数最 多不超过 5 次,求该小组做实验的次数 ? 的概率分布列和期望. 解: (1)设 5 次实验中,只成功一次为事件 A,一次都不成功为事件 B,至少 2 次成功为事件 C,则

1 5 13 13 ,∴5 次实验至少 2 次成功的概率为 . 2 16 16 1 2 1 1 1 1 3 (2) ? 的可能取值为 2,3,4,5. 又∵ P (? ? 2) ? ( ) ? ; P (? ? 3) ? C 2 ( ) ? ; 2 4 2 4 1 4 3 1 5 1 5 1 5 5 1 1 0 1 P (? ? 4) ? C 3 ( ) ? ; P(? ? 5) ? C 4 ( ) ? C 5 ( ) ? C 5 ( ) ? 。∴ ? 的分布列为: (略) 2 16 2 2 2 16 1 1 57 3 5 ∴Eξ= ×2+ ×3+ ×4+ ×5= 。 4 4 16 16 16 2 3 3. 甲.乙两人各射击一次, 击中目标的概率分别是 和 假设两人射击是否击中目标, 相互之间没有影响; 3 4
P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B) =1- C 5 ( ) ? C 5 ( ) =
1 5 0
王新敞
奎屯 新疆

1 2

每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响

王新敞
奎屯

新疆

(1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; ... (2)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击 问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少? ...
王新敞
奎屯 新疆

(3)用 ξ 表示甲击中目标时射击的次数,求 ξ 的数学期望 Eξ 解: (1)记“甲连续射击 4 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,射击 4 次,相当于 4 次独立重复试验,故 P(A1)=1- P( A1 )=1- ( ) =

2 3

4

65 81

王新敞
奎屯

新疆

(2) 记“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 A3,“乙第 i 次射击为击中” 为事件 Di, (i=1,2,3, 4,5) ,则 A3=D5D4 D3 ( D2 D1 ) ,且 P(Di)=

1 ,由于各事件相互独立, 4
概率与统计 3

第四讲

故 P(A3)= P(D5)P(D4)P( D3 ( D2 D1 ) )= (3)根据题意 ξ 服从二项分布;Eξ=5×

1 1 3 1 1 45 × × ×(1- × )= , 4 4 4 4 4 1024

2 10 = . 3 3

4. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格 后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、 丙三件产品合格的概率依次为 0.5 , 0.6 , 0.4 ,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次 为 0.6 , 0.5 , 0.75 . (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的期望. 解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A , A2 , A3 , 1 (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则 P(E) ? P( A ?A2 ?A3 ) ? P( A ?A2 ?A3 ) ? P( A ?A2 ?A3 ) 1 1 1

? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.38 .

0.3) (2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0.3 ,所以 ? ~ B(3, ,
故 E? ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A,B,C ,则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 ,

P(? ? 0) ? (1 ? 0.3)3 ? 0.343 ,P(? ? 1) ? 3? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441,P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .于是, E(? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 .
5. 栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为 0.6 , .. .. 0.5 ,移栽后成活的概率分别为 0.7 , 0.9 . .. (1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率; .. (2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率. .. .. 解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A , A2 ;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件 B1 , B2 , 1

P( A1 ) ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.5 , P( B1 ) ? 0.7 , P( B2 ) ? 0.9 .
(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 P( A ? A2 ) ? 1 ? P( A ?A2 ) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.8 ; 1 1 (2)分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A,B 则 P( A) ? P( A B1 ) ? 0.42 , 1

P( B) ? P( A2 B2 ) ? 0.45 .恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P( AB ? AB) ? 0.42 ? 0.55 ? 0.58? 0.45 ? 0.492 .
解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为 P( A B1 A2 ? A B1 A2 B2 ? A A2 B2 ? A A2 B1B2 ) ? 0.492 . 1 1 1 1

四、教学小结
第四讲 概率与统计 4


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