黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题


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黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟考试 数学(文)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)已知集合 M ? ? ,2,3,4?, N ? ?? 2,2? ,则下列结论成立的是 1 (A) N ? M (B) M ? N ? M (C) M ? N ? N (D) M ? N ? ?2?

(2)从甲、乙、丙三名学生中选出两名,参加两个不同学习小组,其中甲、乙不同时入选的概率为 (A)

5 6

(B)

2 3

(C)

1 2

(D)

3 4

2 (3)已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则

(A)命题 p ? q 是假命题 (C)命题 p ? (?q) 是真命题
x

(B)命题 p ? q 是真命题 (D)命题 p ? (?q) 是假命题

(4)已知 x0 是函数 f ( x) ? 3 ? log1 x 的零点,若 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值满足
2

(A) f ( x1 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? 0 (5)双曲线

(B) f ( x1 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? 0 与 f ( x1 ) ? 0 均有可能

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程是 2 x ? y ? 0 ,则其离心率为 a2 b2
(B)

(A) 5

5 2

(C) 3

(D) 5

(6)等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 S n?1 , S n , S n? 2 成等差数列,则公比 q 为 (A) ? 2 或 1 (B) 1 (C) ? 2
·1·

(D) 2 或 ? 1

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(7)阅读如图所示的程序框图,若输入 a ? 则输出的 k 值是 (A) 9 (C) 11 (B) 10 (D) 12

9 , 19

开始 输入a k ? 1, S ? 0

(8)已知角 ? 的终边在射线 y ? ?

sin 2? ? tan

?
2

4 x ? x ? 0 ? 上,则 3

S ?S?

1 (2k ? 1)(2k ? 1)
k ? k ?1

?

26 (A) 25 23 (C) ? 50

74 (B) ? 25 97 (D) ? 75

S ? a?




输出k

结束

(9)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

2

2

2

正视图 (A) 4 ? 2 2

2

2

侧视图 (C) 8

俯视图 (D) 2 ? 2 ? 5 ? 10
2 2

(B) 4 ? 4 2

2 (10) 已知 P 是抛物线 y ? 4 x 上的一个动点,Q 是圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 上的一个动点,N (1,0)

是一个定点,则 PQ ? PN 的最小值为 (A) 3 (11)函数 y ? (B) 4 (C) 5 (D)

2 ?1

x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的 sin x

(A)

(B)

(C)

(D)

·2·

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( 12 )已 知定 义 在 R 上 的函 数 f (x) 满 足 f (x) ? ?

? x 2+3, (x ? [0, 1)) ? , 且 f ( x ? 2) ? f ( x) , 2 [ ?3-x , (x ? - 1, 0)) ?

3x ? 7 ,则方程 g ( x) ? f ( x) 在区间 [?8,3] 上的所有实数根之和为 x?2 (A) 0 (B) ? 10 (C) ? 11 (D) ? 12 g ( x) ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)若复数 z 满足 z ? 2 ? i(1 ? i) ( i 为虚数单位) ,则 z ?
?

.

( 14 ) 在 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1, 当 n ? N 时 , an?1 ? an ? 2an?1an ? 0 , 则 ?an ? 的 通 项 公 式 为 _____________. ( 15 ) 已 知

OA ? 1 , OB ? k

??? ?

? , OA ? OB ? 0 , 点 C 在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 30 , 设

???? ???? ???? O C ? 2? O A ? O B? ? R k 等于__________. ? ( ),则
(16)正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的各顶点都在球 O 的球面上,若三棱锥 O ? AB1 D1 的体积为 则球 O 的体积为____________.

2 , 3

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 2S ?ABC ? (I)求角 B ; (II)若 b ? 2 ,求 a ? c 的取值范围.

3 BA ? BC .

(18) (本小题满分 12 分) 已知侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC? A1 B1C1 的所有棱长都相等, D 为棱
A1 D
·3·

C1 B1

AA 中点. 1

A E B

C

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(I)证明: BC1 ? DB1 ; (II)在线段 BC 上是否存在点 E ,使 DE ∥平面 BA C1 ,若存在,确定点 E 的位置;若不存在, 1 请说明理由.

(19) (本小题满分 12 分) 某校有 1400 名考生参加市模拟考试,现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取 20 份和 50 份数学试卷,进行成绩分析,得到下面的成绩频数分布表: 分数 分组 文科 频数 理科 频数 [0, 30) 2 3 [30, 60) 4 7 [60, 90) 8 12 [90, 120) 3 20 [120, 150] 3 8

(I)估计文科数学平均分及理科考生的及格人数(90 分为及格分数线) ; (II)在试卷分析中,发现概念性失分非常严重,统计结果如下: 文理 失分 概念 其它 文 15 5 理 30 20

问是否有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关? 附:

0.150

0.100

0.050

0.010

P( K ? k )
2

k

2.072

2.706

3.841

6.635

K2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(20) (本小题满分 12 分)
·4·

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已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点,M 是线段 AB 上的 a2 b2
1 x 上. 2

一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l 2 : y ? (I)求椭圆的离心率;

(II)设椭圆左焦点为 F ,若 ?AF1B 为钝角,求椭圆长轴长的取值范围. 1 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? x(a ? 0) . 2

(I)当 a ? 2 时,求 y ? f (x) 的单调区间和极值; (II)若存在 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: f ?(

x1 ? x 2 ) ? 0. 2

请考生在第(22)~(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, O 的直径 AB ? 10 ,P 是 AB 延长线上一点,BP ? 2 , 圆 割线 PCD 交圆 O 于点 C 、D , 过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F . (I)求证: ?PEC ? ?PDF ; (II)求 PE ? PF 的值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x ? y ? 1 ,在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取
2 2

相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的极坐标方程为

? (2 cos? ? sin ? ) ? 6 .
(I)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 倍、 2 倍后得到曲线 C 2 ,试 写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (II)在曲线 C 2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

·5·

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(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2a . (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 3 的解集; (II)当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的集合.

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数学试题参考答案及评分标准(文科)
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.

一.选择题
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8 A 9 B 10 A 11 D 12 C

二.填空题
(13) 1 ? i ; (14) an ?

1 2 3 ; (15) ; (16) 4 3? 2n ? 1 3

三. 解答题
(17) (本小题满分 12 分) 解:(I)由已知得 ac sin B ? 3ac cos B , ∴ tan B ? 3 ,∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? ??????????????2 分 . ?????????????4 分

?
3

2 2 (II)法一:由余弦定理得 4 ? a ? c ? 2ac cos

?
3



???????????6 分

? a?c? ∴ 4 ? ? a ? c ? ? 3ac ? ? a ? c ? ? 3 ? , ? (当且仅当 a ? c 时取等号) ? 2 ?
2 2 2

????9 分

解得 0 ? a ? c ? 4 . 又 a ? c ? b ,∴ 2 ? a ? c ? 4 , ∴ a ? c 的取值范围是 ? 2, 4? . 法二:由正弦定理得 a ?

????????????11 分

?????????????12 分

4 3

sin A, c ?

4 3

sin C ,

???????????6 分

又 A?C ?

4 4 2? (sin A ? sin C ) ? [sin A ? sin( A ? B)], ????7 分 ,∴ a ? c ? 3 3 3

·7·

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?

4 3

[sin A ? sin( A ?

?
3

)] ?

4

1 3 (sin A ? sin A ? cos A) , 2 2 3

?????8 分

? 4(

3 1 ? sin A ? cos A) ? 4 sin( A ? ) . 2 2 6

???????????????10 分

∵0 ? A ?

2? ? ? 5? 1 ? ,∴ ? A ? ? ,∴ ? sin( A ? ) ? 1 3 6 6 6 2 6
???????????????????12 分

∴ a ? c 的取值范围是 ? 2, 4? . (18) (本小题满分 12 分)

解: (I)连结 B1C ,设 BC1 ? B1C ? F ,连结 DF, DB, DC1 , ∵四边形 BCC1 B1 是正方形, ∴ BC1 ? B1C 且 F 为 BC1 的中点. ????2 分 由题意知 Rt?DA1C1 ? Rt?DAB , ∴ DB ? DC1 ,∴ BC1 ? DF . ????4 分

A1 D B1 F A E B

C1

C

又∵ DF, B1C ? 平面 B1 DC , DF ? B1C ? F ,∴ BC1 ? 平面 B1 DC . ????6 分 ∵ DB1 ? 平面 B1 DC ,∴ BC1 ? DB1 . ??????????????7 分 ??????????8 分

(II)存在点 E 为 BC 的中点,使 DE / / 平面 BAC1 . 1 连接 EF, A1 F , EF

1 CC1 , A1 D 2

1 CC1 ,∴ EF ∥ A1 D , 2
????????????10 分

∴四边形 EFA D 为平行四边形,∴ A1 F ∥ DE . 1

∵ A1 F ? 平面 BA C1 , DE ? 平面 BA C1 ,∴ DE ∥平面 BA C1 . ??????12 分 1 1 1 (19) (本小题满分 12 分)

15 ? 2 ? 45 ? 4 ? 75 ? 8 ? 105 ? 3 ? 135 ? 3 ? 76.5 20 ∴估计文科数学平均分为 76.5 . ????????????????????3 分 50 20 ? 8 ? 1000 , 1000 ? ? 560 , ∵ 1400 ? 70 50 ∴理科考生有 560 人及格. ?????????????????????6 分
解: (I)∵

·8·

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(II) K ?
2

70(15 ? 20 ? 5 ? 30) 2 ? 1.4 ? 2.706. 20 ? 50 ? 25 ? 45

???????????10 分 ????????12 分

故没有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关. (20) (本小题满分 12 分) 解:设 A, B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ) (I)由 AM ? ? BM 知 M 是 AB 的中点, .

????????1 分

? x ? y ? 1 ? 0, ? 由 ? x2 得: (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0 , y2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
∴ x1 ? x 2 ?

2a 2 2b 2 , y1 ? y 2 ? ?( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 2 , ???????3 分 a2 ? b2 a ? b2 a2 b2 , 2 ). a2 ? b2 a ? b2 a2 2b 2 ? ? 0, a2 ? b2 a2 ? b2
2 . 2
???????6 分 ?????????4 分

∴点 M 的坐标为 (

又点 M 在直线 l 2 上,∴

2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 2b ? 2(a ? c ) ,∴ a ? 2c ,∴ e ?

2 2 (II)由(I)知 b ? c ,方程化为 3x ? 4 x ? 2 ? 2c ? 0

? ? 16 ? 24 ?1 ? c 2 ? ? 0, c ?
∴ x1 ? x 2 ?

3 . 3

?????????7 分

2 ? 2c 2 2c 2 1 4 ? .???8 分 , x1 x2 ? , y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? ? 3 3 3 3
2

由已知知 F1 A ? F1 B ? 0 ,即 ( x1 ? c, y1 ) ? ( x2 ? c, y2 ) ? x1 x2 ? c( x1 ? x2 ) ? c ? y1 y2 ? 0
2 代入得 c ? 4c ? 3 ? 0 ,解得 c ? 2 ? 7 或 c ? 2 ? 7 ,

综上得 c ? 2 ? 7 . 又 a ? 2c , ∴ 2 a 的取值范围是 (4 2 ? 2 14,??) .
·9·

???????11 分 ????????12 分

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(21) (本小题满分 12 分) 解: (I)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x( x ? 0) , ∴ f ?( x) ?

1 2 x2 ? x ?1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 2x ?1 ? ? ?? ,????????????2 分 x x x

1 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? , 2 2 1 1 ∴ (0, ) 是 f (x) 的单调递增区间, ( ,?? ) 是 f (x) 的单调减区间. ???????5 分 2 2 1 3 当 x ? 时, f (x) 取极大值为 ? ? ln 2 . ??????????????????6 分 2 4
令 f ?( x) ? 0 ,则 0 ? x ? (II)解法 1: 不妨设 x2 ? x1 ? 0 , 由已知,得 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (ln x 2 ?

1 2 1 ax 2 ? x 2 ) ? (ln x1 ? ax12 ? x1 ) 2 2

1 2 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x12 ) ? ( x 2 ? x1 )] , 2 1 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x1 ) ? 1]( x 2 ? x1 ) ? 0 2


ln x2 ? ln x1 1 ? a( x2 ? x1 ) ? 1. ????????????????????8 分 x2 ? x1 2
1 ? ax ? 1 , x

∵ f ?( x) ? ∴ f ?(

x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 2 a 2 )? ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1
x2 ? 1) x1 x 1 ? [ ? ln 2 ] . ????????????????9 分 x x 2 ? x1 x1 1? 2 x1 2(

设t ?

x2 2(t ? 1) ? ln t (t ? 1) . ??????????????????10 分 , g (t ) ? 1? t x1
(t ? 1) 2 ? 0 ,∴ g (t ) 在 (1, ??) 上是减函数,∴ g (t ) ? g (1) ? 0 , t (t ? 1) 2

∵ g ?(t ) ? ?

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x2 ? 1) x1 x 1 ? ln 2 ? 0 ,又∵ 即 ? 0, x2 x1 x2 ? x1 1? x1 2(
∴ f ?(

x1 ? x 2 ) ? 0. 2

??????????????????12 分

解法 2: 不妨设 x2 ? x1 ? 0 , 由已知,得 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (ln x 2 ?

1 2 1 ax 2 ? x 2 ) ? (ln x1 ? ax12 ? x1 ) 2 2

1 2 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x12 ) ? ( x 2 ? x1 )] , 2 1 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x1 ) ? 1]( x 2 ? x1 ) ? 0 2


ln x2 ? ln x1 1 ? a( x2 ? x1 ) ? 1. x2 ? x1 2
1 ? ax ? 1 , x

????????????????????8 分

∵ f ?( x) ? ∴ f ?(

x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 2 a 2 )? ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1
? 2 x ? 2 x1 1 ( 2 ? ln x1 ? ln x2 ) . ??????????????9 分 x2 ? x1 x2 ? x1
???????????????10 分

令 g ( x) ?

2 x2 ? 2 x ? ln x ? ln x2 ( x ? (0, x2 )) . x2 ? x

∴ g ?( x) ?

( x2 ? x)2 ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, x2 ) 单调递增,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , x( x2 ? x)2
???????????????12 分



x ? x2 1 ) ? 0. ? 0 ,∴ f ?( 1 2 x2 ? x1

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解法 1:
·11·

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(I)连接 BC ,则 ?ACB ? ?APE ? 90? , 即 B 、 P 、 E 、 C 四点共圆. ∴ ?PEC ? ?CBA . ??????????3 分 又 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆, ∴ ?CBA ? ?PDF ∴ ?PEC ? ?PDF . ?????????5 分 (II)∵ ?PEC ? ?PDF , ∴ F 、 E 、 C 、 D 四点共圆,??????7 分 ∴ PE ? PF ? PC ? PD ,又 PC ? PD ? PB ? PA ? 2 ? (2 ? 10) ? 24 , ???9 分

PE ? PF ? 24 .
解法 2: (I)连接 BD ,则 BD ? AD ,又 EP ? AP ∴ ?PDF ? ?PDB ? ?PEA ? ?EAP ? 90 ,
?

???????????????10 分

∵ ?PDB ? ?EAP ,∴ ?PEC ? ?PDF . ???5 分 (II)∵ ?PEC ? ?PDF , ?EPC ? ?DPF , ∴ ?PEC ∽ ?PDF ,∴ 即 PE ? PF ? PC ? PD , 又∵ PC ? PD ? PB ? PA ? 2(2 ? 10) ? 24,

PC PE ? , PF PD
????????????7 分 ???????????????9 分

∴ PE ? PF ? 24 . ???????????????10 分 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 , ???????2 分

由题意知曲线 C 2 的直角坐标方程为 (

x

y ) 2 ? ( ) 2 ? 1 ,?????????????4 分 2 3
??????????6 分

∴曲线 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? , ? ( ? 为参数). ? y ? 2 sin ? . ?

(II)设 P( 3 cos?,2 sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离

d?

2 3 cos? ? 2 sin ? ? 6 5

4 sin( ? ? ) ? 6 3 , ? 5

?

??????????8 分

当 sin(

?

3 ? ? ) ? ?1时,即点 P 的坐标为 (? ,1) 时,点 P 到直线 l 的距离最大, 2 3
·12·

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此时 d max ?

4?6 5

?2 5.

??????????10 分

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)解:原不等式可化为 2x ? 1 ? x ? 2 ? 3 , 当 x ? 2 时, 3 x ? 3 ? 3 ,则 x ? 2 ,无解; 当 ??????????1 分

1 1 ? x ? 2 时, x ? 1 ? 3 ,则 x ? 2 ,∴ ? x ? 2 ; ?????????3 分 2 2 1 1 当 x ? 时, 3 ? 3 x ? 3 ,则 x ? 0 ,∴ 0 ? x ? , ?????????5 分 2 2
综上所述:原不等式的解集为 ?0,2? . (II)原不等式可化为 x ? 2a ? 3 ? 2x ? 1 , ∵ x ? ?1,2? ,∴ x ? 2a ? 4 ? 2x , 即 2 x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? 2 x , 故 3 x ? 4 ? 2a ? 4 ? x 对 x ? ?1,2? 恒成立, 当 1 ? x ? 2 时, 3 x ? 4 的最大值为 2 , 4 ? x 的最小值为 2 , ???????????7 分 ??????????6 分

1 ∴实数 a 的集合为 ? ? .

???????????10 分

·13·


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