青岛市2014届高三3月第一次模拟考试 数学文


青岛市高三统一质量检测

数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. 1. 若集合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ?
2

A. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x | x ? 0 或 x ? ?1} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2} ? ? ? ? ? 2. 已知向量 a ? (?1, 2) , b ? (3, m) , m ? R ,则“ m ? ?6 ”是“ a //(a ? b) ”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,样本重量均在 [5, 20] 内,其分组为 [5,10) , [10,15) , [15, 20] ,则样本重量落在 [15, 20] 内的频数为 A. 10
2

频率 组距
0.1

B. 20
2

C. 30

D. 40

x y 4. 双曲线 ? ? 1 的渐近线方程为 4 5 5 5 5 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x 4 2 5
5. 执行右图所示的程序框图,则输出的结果是 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6. 函数 y ? 2sin x 图象的一条对称轴方程可以为
2

0.06

D. y ? ?

2 5 x 5

O

5

10

15 20

重量

开始

k ?1

3 D. x ? ? ? 4 3 4 x 3 7. 函数 f ( x) ? 2 ? x ? 2 在区间 (0, 2) 内的零点个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ?x ? 0 ? 8. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? 4 x ? 3 y ? 4 ,则 z ? 2 y ? x 的最小值是 ?y ? 0 ?
A. x ? B. x ? C. x ? A. ?1 B. 0 C. 1 D.

?

?

S ?1
S ? 20?

否 输出 k 结束


S ? S ? 2k

k ? k ?2

9. 设 a, b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则能得出 a ? b 的是 A. a ? ? , b / / ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? / / ? B. a ? ? , b ? ? , ? / / ? D. a ? ? , b / / ? , ? ? ?

8 3

10. 在实数集 R 中定义一种运算“ ? ” ,对任意 a, b ? R , a ? b 为唯一确定的实数,且具有性质: (1)对任意 a ? R , a ? 0 ? a ; (2)对任意 a, b ? R , a ? b ? ab ? (a ? 0) ? (b ? 0) . 则函数 f ( x) ? (e ) ?
x

A. 2 C. 6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 复数 z ? 的概率为

1 的最小值为 ex B. 3

D. 8

1 (其中 i 为虚数单位)的虚部为 ; 2?i 12. 从等腰直角 ?ABC 的底边 BC 上任取一点 D ,则 ?ABD 为锐角三角形

2 2

2
主视图 左视图

13. 直线 y ? 2 x ? 1 被圆 x ? y ? 1截得的弦长为 14. 如图所示是一个四棱锥的三视图, 则该几何体的体积为 ;


2

2

2

俯视图

? ? x 2 ? x, x ? 1 3 ? 15. 已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 ,若对任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? m2 ? m 恒成立,则实数 m 的取值 1 4 ? ? 3
范围为 . 三、解答题:本大题 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 2cos A cos C ? 1 ? 2sin Asin C . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ?

3 3 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2

17. ( 12 分)某公司销售 A 、 B 、 C 三款手机,每款手机都有经济型和豪华型两种型号,据统计 12 月份共销 售 1000 部手机(具体销售情况见下表)

C 款手机 A 款手机 B 款手机 y x 经济型 200 z 豪华型 150 160 已知在销售 1000 部手机中,经济型 B 款手机销售的频率是 0.21 . (Ⅰ)现用分层抽样的方法在 A 、 B 、 C 三款手机中抽取 50 部,求在 C 款手机中抽取多少部? (Ⅱ)若 y ? 136, z ? 133 ,求 C 款手机中经济型比豪华型多的概率. E
18. ( 12 分)如图几何体中,四边形 ABCD 为矩形, AB ? 3BC ? 6 , BF ? CF ? AE ? DE ? 2 , EF ? 4 , EF // AB , G 为 FC 的中点, M 为 线段 CD 上的一点,且 CM ? 2 . (Ⅰ)证明: AF // 面 BDG ; (Ⅱ)证明:面 BGM ? 面 BFC ; A (Ⅲ)求三棱锥 F ? BMC 的体积 V .

F
G

D

M B

C

19. (12 分)已知 {an } 是等差数列,公差为 d ,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n .令 cn ? (?1) n Sn (n ? N? ) , {cn } 的 前 20 项和 T20 ? 330 .数列 {bn } 满足 bn ? 2(a ? 2)d (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?1
n?2

? 2n?1 , a ? R .

? bn , n ? N? ,求 a 的取值范围.

x2 x2 2 2 ? y ? 1( a ? 1) C : y ? ? 1(0 ? a2 ? 1) 的 离 心 率 相 等 . 直 线 与 1 2 2 a12 a2 C1 交于 A, D 两点 与曲线 ( A 在 D 的左侧) , 与曲线 C2 交于 B, C 两点 ( B 在 C 的左侧) ,O l : y? m ( 0 ? m? 1 ) 为坐标原点, N (0, ?1) .
20 . ( 13 分 ) 已 知 椭 圆 C1 :

3 5 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 2 ???? ???? ???? 4 ???? (Ⅱ)若 2 ND ? AD ?| ND | ? | AD | ,且 ?AND 和 ?BOC 相似,求 m 的值.
(Ⅰ)当 m =

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x . 3 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (3, f (3)) 的切线方程; (Ⅱ)对一切 x ? ?0,?? ?, af ?( x) ? 4a 2 x ? ln x ? 3a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,试讨论 f ( x) 在 (?1,1) 内的极值点的个数.
21. (14 分)已知函数 f ( x) ?

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数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. CABBC DBACB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. ?

1 5

12.

1 2

13.

4 5 5

14. 4

15. m ? ?

1 或 m ?1 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 2cos A cos C ? 1 ? 2sin Asin C 得:

? 2(cos A cos C ? sin A sin C) ? ?1
1 ? cos( A ? C ) ? ? ,………………………………………………………………………4 分 2 1 ? cos B ? ,又 0 ? B ? ? 2 ? ? B ? ………………………………………………………………………………………6 分 3
a 2 ? c ? b2 1 (Ⅱ)由余弦定理得: cos B ? ? 2ac 2
2

(a ? c)2 ? 2ac ? b 2 1 ? ? ,…………………………………………………………………8 分 2ac 2
又a?c ?

3 3 ,b ? 3 2

?

27 5 ? 2ac ? 3 ? ac , ac ? ……………………………………………………………10 分 4 4
1 1 5 3 5 3 ac sin B ? ? ? ? . ……………………………………………12 分 2 2 4 2 16

? S?ABC ?

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 因为

x ? 0.21 ,所以 x ? 210 1000

………………………………………2 分

所以手机 C 的总数为: y ? z ? 1000 ? ?150 ? 200 ? 160 ? 210 ? ? 280, ………………3 分 现用分层抽样的方法在在 A 、 应在 C 款手机中抽取手机数为: C 三款手机中抽取 50 部手机, B、 (部). ……………………………………………………………5 分

50 ? 280 ? 14 1000

(Ⅱ)设“ C 款手机中经济型比豪华型多”为事件 A ,

C 款手机中经济型、豪华型手机数记为 ( y, z ) ,
因为 y ? z ? 280 , y, z ? N ,满足事件 y ? 136, z ? 133 的基本事件有:
*

(136,144) , (137,143) , (138,142) , (139,141) , (140,140) , (141,139) , (142,138) , (143,137) , (144,136) , (145,135) , (146,134) , (147,133) 共 12 个
事件 A 包含的基本事件为 (141,139) ,(142,138) ,(143,137) ,(144,136) ,(145,135) ,(146,134) ,(147,133) 共7个 所以 P ( A) ?

7 12 7 ……………………………………………12 分 12

即 C 款手机中经济型比豪华型多的概率为 18. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O 点,则 O 为 AC 的中点,连接 OG 因为点 G 为 CF 中点, 所以 OG 为 ?AFC 的中位线 所以 OG // AF ,………………………………………………………………………………2 分

? AF ? 面 BDG ,
OG ? 面 BDG ,

? AF // 面 BDG ……………………………………4 分
(Ⅱ)连接 FM

E

F
G

? BF ? CF ? BC ? 2 , G 为 CF 的中点

? BG ? CF
?CM ? 2 ,? DM ? 4 ? EF / / AB , ABCD 为矩形 ? EF / / DM ,又? EF ? 4 ,? EFMD 为平行四边形

D
O

M
B

C

A

? FM ? ED ? 2 ,??FCM 为正三角形 ? MG ? CF ,
? MG ? BG ? G ?CF ? 面 BGM
? CF ? 面 BFC

?面 BGM ? 面 BFC

……………………………………………………………………8 分

(Ⅲ) VF ? BMC ? VF ? BMG ? VC ? BMG ? 因为 GM ? BG ? 3 , BM ? 2 2

1 1 ? S BMG ? FC ? ? S BMG ? 2 3 3

所以 S BMG ?

1 ? 2 2 ?1 ? 2 2
2 2 2 ……………………………………………………………12 分 ? S BMC ? 3 3

所以 VF ? BMC ?

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d ,因为 cn ? (?1) n Sn 所以 T20 ? ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? ? ? S20 ? 330 则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? 330 ……………………………………………………………3 分 则 10(3 ? d ) ? 解得 d ? 3 所以 an ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 bn ? 2(a ? 2)3 ………………………………………………………………6 分
n?2

10 ? 9 ? 2d ? 330 2

? 2n ?1

bn ?1 ? bn ? 2(a ? 2)3n?1 ? 2n ? [2(a ? 2)3n?2 ? 2n?1 ] ? 4(a ? 2)3n?2 ? 2n?1

1 2 ? 4 ? 3n ?2 [(a ? 2) ? ( ) n ?2 ] 2 3 1 2 1 2 由 bn ?1 ? bn ? (a ? 2) ? ( ) n ? 2 ? 0 ? a ? 2 ? ( ) n ? 2 …………………………10 分 2 3 2 3 1 2 n?2 1 2 n?2 5 因为 2 ? ( ) 随着 n 的增大而增大,所以 n ? 1 时, 2 ? ( ) 最小值为 2 3 2 3 4 5 所以 a ? …………………………………………………………………………………12 分 4
20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ C1 , C2 的离心率相等, ∴

a12 ? 1 a1

? 1 ? a2 2 ,∴ a1a2 ? 1 ,………………………………………………………2 分

Qm?


3 3 ,将 y ? 分别代入曲线 C1 , C2 方程, 2 2

x2 3 1 ? ? 1 ? x A ? ? a1 , 2 a1 4 2 3 x2 1 ? 2 ? 1 ? xC ? a2 . 4 a2 2



?当 m =

a a 3 3 3 ) , C( 2 , ) . 时, A(? 1 , 2 2 2 2 2

又∵ AC ?

5 1 1 5 ,? a1 ? a2 ? . 4 2 2 4

1 5 ?1 ? a1 ? 2 ? a1 ? a2 ? ? 由 ?2 2 4 解得 ? 1. a2 ? ? ? ?a1a2 ? 1 ? 2

x2 ∴ C1 , C2 的方程分别为 ? y 2 ? 1 , 4 x 2 ? y 2 ? 1 . ……………………………………5 分 4
(Ⅱ)将 y ? m 代入曲线 C1 : 将 y ? m 代入曲线 C2 : y ?
2

x2 ? y 2 ? 1 得 x A ? ? a1 1 ? m 2 , xD ? a1 1 ? m 2 , a12

x2 ? 1 得 xB ? ? a2 1 ? m 2 , xC ? a2 1 ? m 2 a2 2

由于 a1a2 ? 1 ,

1 1 1 ? m 2 , m) . 1 ? m 2 , m) , C ( a1 a1 ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ND ? AD 1 ? 2 ND ? AD ?| ND | ? | AD | ,? cos ?ADN ? cos ? ND, AD ?? ???? ???? ? , | ND | ? | AD | 2
2 2 所以 A( ? a1 1 ? m , m) , D(a1 1 ? m , m) , B(?

??ADN ?

?
3

………………………………………………………………………………8 分

根据椭圆的对称性可知: ND ? NA , OB ? OC , 又 ?AND 和 ?BOC 相似,

??ADN ? ?BCO ?

?
3



? tan ?ADN ? tan ?BCO ? 3 , ?

m ?1 a1 1 ? m
2

?

m 1 1 ? m2 a1

? 3



m ?1 a1 1 ? m 2

?

m 1 1 ? m2 a1

化简得 a1 ?
2

m ?1 m

代入

(m ? 1) 2 3 ? 3得m ? 2 2 a1 (1 ? m ) 4

………………………………………………………13 分

21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 由题意知 f ( x) ? 又 f (3) ? 9 , f ?(3) ? 15 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (3, f (3)) 的切线方程为 15x ? y ? 36 ? 0 ………………………4 分

2 3 x ? 3x ,所以 f ?( x) ? 2 x 2 ? 3 3

ln x ? 1 2 x2 ln x ? 1 3 ? 2 ln x 设 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? 2 2x 2x3
(Ⅱ)由题意:

2ax 2 ? 1 ? ln x ,即 a ?

当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 所以当 x ? e 时, g ( x) 取得最大值 g ( x) max ? 故实数 a 的取值范围为 [
2
3 2

3 2

3 2

1 4e3

1 , ??) . 4e3

……………………………………………………9 分

(Ⅲ) f ?( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 , f ?(?1) ? 4(a ? ) , f ?(1) ? ?4(a ? )

1 4

1 4

1 ? ? f (?1) ? 4(a ? ) ? 0 ? 1 ? 4 ①当 a ? 时, ∵ ? 4 ? f ' (1) ? ?4(a ? 1 ) ? 0 ? ? 4
∴存在 x0 ? (?1,1), 使得 f ?( x 0 ) ? 0 因为 f ?( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 开口向上,所以在 ( ?1, x0 ) 内 f ?( x) ? 0 ,在 ( x0 ,1) 内 f ?( x) ? 0
2

即 f ( x) 在 ( ?1, x0 ) 内是增函数, f ( x) 在 ( x0 ,1) 内是减函数 故a ?

1 时, f ( x) 在 (?1,1) 内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ………………11 分 4 1 ? ? f (?1) ? 4(a ? ) ? 0 ? 1 ? 4 ②当 0 ? a ? 时,因 ? 4 ? f ' (1) ? ?4(a ? 1 ) ? 0 ? ? 4
又因为 f ?( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 开口向上
2

所以在 (?1,1) 内 f ?( x) ? 0, 则 f ( x) 在 (?1,1) 内为减函数,故没有极值点…………13 分 综上可知:当 a ?

1 1 , f ( x) 在 (?1,1) 内的极值点的个数为 1;当 0 ? a ? 时, f ( x) 在 4 4

(?1,1) 内的极值点的个数为 0. …………………………………………………………14 分


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