高一数学必修1综合测试题(3)


高一数学必修 1 综合测试题(3)
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 方程 x 2 ? px ? 6 ? 0 的解集为 M, 方程 x 2 ? 6x ? q ? 0 的解集为 N, 且 M ? N ? ?2?, 那么 p ? q ? ( A.21 ) B.8 C.6 D.7

? x ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ? x , x ? 0 ,则 f [ f (?2)] 的值为( 2.已知函数
A.1 B.2 C.4 D.5

) .

3. 、函数 f ( x) ? x ? 3 ? log3 x 的零点所在的区间是( A. (0,1) B. (1,3) C. (3,4)

) D. (4,+ ? )

4.设 A={ x | 0 ? x ? 2 }, B={ y | 0 ? y ? 2 }, 下列各图中能表示集合 A 到集合 B 的 映射的是

3 2 1 0

y

3 2 1
1 2 3 A. x 0

y
3 2 1

y
3 2 1

y

1 2 3 B.

x 0

1 2 3 C.

x 0 1 2 3
D.


x

5.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A.y = x 2 (x∈(0,+∞))
1
1

B.y = 3x (x∈R) D. y = lg|x| ( x≠0)

C.y = x 3 (x∈R) 6.函数 y ? 2 ? 1 的值域是(
x

) C、 ? ?1, ?? ? D、 (??, ?1)

A、 ? ??,1?

B、 ? ??,0?

? 0, ???

?0, ???

1

7.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) 的部分对应值如下表.

x
y

-3 -2 -1 -24 -10 0

0 6

1 8 (

2 6 )

3 0

4 5 … -10 -24 …

则不等式 f ( x) ? 0 的解集为
A. (??,0)

B. (??,?1) ? (3,??)

C. (??,?1)

D. (3,??)

8.若奇函数 ,且有最小值 7,则它在 ?? 3,?1? 上( ... f ?x ? 在 ?1,3? 上为增函数 ... A.是减函数,有最小值-7 C.是减函数,有最大值-7 B.是增函数,有最小值-7 D.是增函数,有最大值-7



二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分, 9.已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点(9,3) ,则 f (100) ? 10.设 a ? log4 3, b ? log0.3 4 , c ? 0.3?2 , 则 a,b,c 的大小关系是 的顺序). (按从小到大

11.若函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 [4, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围 是 .
y ? f ? x?
是偶函数,且 x ? 0 时, .

12.已知定义在 R 上的函数
当 x ? 0 时,

f ? x ? ? ln x 2 ? 2 x ? 2

?

?,

f ? x?

解析式是

13.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0, a∈R},若 A 中元素至多有 1 个,则 a 的取 值范围是 . 14.深圳市的一家报刊摊点,从报社买进《深圳特区报》的价格是每份 0.60 元, 卖出的价 格是每份 1 元,卖不掉的报纸可以以每份 0.1 元的价格退回报社。 在一个月(以 30 天计算)里,有 20 天每 天 可卖出 400 份,其余 10 天每天 只能卖出 250 份, 但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社 买进 份,才能使每月 所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得

2

元?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15. (本题满分 12 分)已知:全集 U ? R , A ? x x 2 ? 4 ? 0 , B ? ?x x ? a?;

?

?

⑴若 a ? 1 ,求 A ? B , A ? B ; ⑵若 CU A ? B ,求:实数 a 的取值范围。

16. (本小题满分 14 分)计算下列各式的值
1 8 3 ⑴ (2 ) 2 ? (?9.6) 0 ? ( ) 3 ? ( ) ?2 4 27 2
1 2

;

⑵ log3

4

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 . 3

17. (本小题满分 14 分) (I)求函数 f ( x) ? log3 (1 ? x) ? 3 ? 4x 的定义域; (2) 判断并证明函数 f(x)= x ? (3) 证明函数 f(x)= x ? 域。
4 的奇偶性 x

4 在 x ? [2,??) 上是增函数,并求 f ( x) 在 [4,8] 上的值 x

18. (本小题满分 14 分)函数 f ( x) ?

ax ? b 是定义在 (??, ??) 上的奇函数,且 x2 ? 1

3

1 2 f( )? . 2 5

(1)求实数 a , b ,并确定函数 f ( x) 的解析式; (2)用定义证明 f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数; (3)写出 f ( x) 的单调减区间,并判断 f ( x) 有无最大值或最小值?如有,写出 最大值 或最小值. (本小问不需说明理由)

19. (本题满分 12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债 券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型 产品的收益与投资 额的算术平方根成正比。 已知投资 1 万元时,两类产品的收益分别为 0.125 万元 和 0.5 万元(如图) (1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。 (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资 获得最大收益,其最大收益是多少万元?
y
0.125 0 1 0.5

y

x





x

20. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) 满足条件 f (0) ? 1 ,及
f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x .

(1)求函数 f ( x) 的解析式;

4

(2)在区间[-1,1]上, y ? f ( x) 的图像恒 在 y ? 2 x ? m 的图像上方,试确定 实数 m 的取值范围;

5

参考答案 一、选择题: 1.A 2.D 3.B 二、填空题: 9.10

4.D

5.C

6.C

7.B

8.D
f ? x ? ? ln x 2 ? 2 x ? 2

10.b<a<c
9 8

11.a≥ ? 3 14. 400, 3315。

12.

?

?

13. a=0 或 a≥

【解析】解 :设这个摊主每天从报社买进 x 份报纸,每月所获的利润为 y 元,则由题意可知

250 ? x ? 400 ,且 y ? 1? x ? 20 ? 1? 250 ?10 ? 0.1? ( x ? 250) ?10 ? 0.6 ? x ? 30
= 2.1x ? 2475 ∵ 函数 f ( x) 在[250,400]上单调递增,∴当 x=400 时,y 最大=3315,即摊主每天从报社 买进 400 份报纸可获得最大利润,最大利润为 3315 元。

三、解答题: 15 解: A ? x x ? 2或x ? ?2

?

?
?

………………………3 分

⑴若 a ? 1 时, B ? x x ? 1 ,所以 A ? B ? x x ? ?2 ;………………5 分

?

?

?

A ? B ? ?x x ? 2或x ? 1? 。………………………7 分


a ? 2 ……………………………12 分

16. (1)

1 2
1 15 ?2?2 ? 4 4
1

(2)原式= ?

9 2 2 3? 2 3 ?2 【解析】解(1)原式= ( ) ? 1 ? ( ) 3 ? ( ) 4 3 2 3 2? 2 2 2 ( ? 1 ? ( )2 ? ( )2 = ) 2 3 3
=
1

3 ?1 2

6

=

1 2

------7 分
3 4

(2)原式= log3
? 1 4

3 ? lg(25 ? 4) ? 2 3

= log3 3 =?

? lg102 ? 2
-------7 分
3 4

1 15 ?2?2 ? 4 4
x∣-1<x≤

17. (1){

}

-----3 分
4 的 奇偶性-- -------4 分 x

(2)判断并证明 函数 f(x)= x ? (3)证明:⑴、设 2 ? x1 ? x2 , 4 4 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? ? x 2 ? x1 x2

? x1 ? x 2 ?

4( x 2 ? x1 ) x1 x 2 4 ) ?? 4分 x1 x 2

……2 分

? ( x1 ? x 2 )(1 ?
? 2 ? x1 ? x 2

? x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 4即0 ? ?1 ? 4 ?0 x1 x 2

4 ?1 x1 x 2

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x)是增函数 由⑴知 f ( x) 在[4,8]上是增函数……6 分 17 f ( x) max ? f (8) ? ∴ 2 f ( x) min ? f (4) ? 5 17 ∴ f ( x)的值域为 [5, ] ……7 分 2

18 .解: (1)∵f(x)是奇函数

7

∴f(-x)=f(x),既 ∴b=0

? ax ? b ? ax ? b ?? 2 2 x ?1 x ?1

……2 分

1 2 ∵ f ( ) ? ∴a=1 2 5

∴ f ?x ? ?

x ……5 分 x ?1
2

(2)任取 x1 , x2 ? ?? 1,1?, 且x1 ? x2

f ( x x ) ? f ?x2 ? ?

x1 x
2 1?1

?

?x ? x ??1 ? x x ? x2 ? 1 2 2 2 1 2 x ?1 x1 ? 1 x2 ? 1
2 2

?

??

?

……7 分

∵ ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ∴ x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 ∴ f ( x x ) ? f ? x 2 ? ? 0 , f ( x x ) ? f ? x2 ? ∴f(x)在(-1,1)上是增函数 ……10 分

(3)单调减区间 ? ?. ? 1 ? , ?1,??? , ……12 分

当 x =-1 时有最小值 ?

1 2

当 x=1 时有最大值 19. (1) 1 f ?x ? ? x?x ? 0 ? 8

1 ……14 分 2
1 x ?x ? 0? 2

g ?x ? ?

(2)当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元 【解析】解(1)设 f ?x ? ? k1 x , g ?x? ? k2 x ……2 分

8

1 1 ? k1 , g ?1? ? ? k 2 8 2 1 1 x ?x ? 0? 即 f ?x ? ? x?x ? 0 ? g ?x ? ? ……5 分 8 2 (2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为( 20 ? x )万元 x 1 20 ? x ?0 ? x ? 20 ? 依题意得: y ? f ?x ? ? g ?20 ? x ? ? ? ……10 分 8 2

所以 f ?1? ?

令 t ? 20 ? x 0 ? t ? 2 5 则y?

?

?

20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 2? ? 3 8 2 8

所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元

……14 分

1 3 20. (1) y ? f ( x) ? ( x ? ) 2 ? ? x 2 ? x ? 1 (2) g ( x)min ? g (1) ? ?1, ? m ? ?1 2 4

? f (1) ? f (0) ? 1, 【解析】解: (1)令 x ? 0,则f (1) ? f (0) ? 0,
∴二次函数图像的对称轴为 x ?
y ? a( x ? 1 2 ) ? h .……4 分 2 3 , 4

……1 分

1 .∴可令二次函数的解析式为 2

由 f (0) ? 1,又可知 f (?1) ? 3得a ? 1,h ?

1 3 ∴二次函数的解析式为 y ? f ( x) ? ( x ? ) 2 ? ? x 2 ? x ? 1 2 4
另解:⑴ 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则
2

……8 分

f ( x ? 1) ? f ( x) ? [a( x ? 1)2 b( x ? 1) ? c] ? (ax 2 ? bx ? c) ? 2ax ? a ? b

?2a ? 2, ?a ? 1, ? ? a ? b ? 0 b ? ?1 又 f (0) ? c ? 1 , ? 与已知条件比较得: 解之得, ?
? f ( x) ? x2 ? x ? 1 …………8 分

9

(2) 成立

2 x 2 ? x ? 1 ? 2 x ? m 在 ?? ? 1,1? 上恒成立 ? x ? 3x ? 1 ? m 在 ?? ? 1,1? 上恒

… …10 分 令

g ( x) ? x2 ? 3x ? 1,则 g ( x) 在 ?? ? 1,1? 上单调递减 ……12 分
∴ g ( x)min ? g (1) ? ?1, ? m ? ?1 . ……14 分

10


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