数学高一专题 二次函数在闭区间上的最值


数学高一专题

二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点: 二次函数的区间最值问题, 核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为: 对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设 分析:将 当 (1)当 ,求 配方,得顶点为 在 上的最大值与最小值。 、对称轴为 的最值: 的最大值是

时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 时, 中的较大者。 的最小值是

(2)当 若 若 当 ,由 ,由

时 在 在 上是增函数则 上是减函数则 的最小值是 的最大值是 ,最大值是 ,最小值是

时,可类比得结论。

二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间, 求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定, 区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值” 。 例 1. 函数 。 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。

图1

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练习. 已知

,求函数

的最值。

图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值” 。 例 2. 如果函数 定义在区间 上,求 的最小值。

图1

图2

图8

2 例 3. 已知 f ( x) ? x ? 2x ? 3 ,当 x ?[t,t ? 1](t ? R) 时,求 f ( x) 的最大值.

。 二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:



时 f ( x) max

b ? f (n), ? ? n(如图3) ? b 1 2a ? ? f (m), ? ? (m ? n)(如图1) ? b b ? ? 2a 2 ?? f ( x) m i n? ? f (? ),m ? ? ? n(如图4) b 1 2a 2a ? f (n), ? ? ? (m ? n)(如图2) ? b ? 2a 2 ? ? ? m(如图5) ? f (m), 2a ?

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时 f ( x) max

b ? ? ? n(如图6) ? f (n), b 1 ? 2a f (m) , ? ? (m ? n)( 如图 9) ? ? ? 2a 2 b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图7) f ( x ) min ? ? 2a 2a ? f (n) , ? b ? 1 (m ? n)( 如图10) ? ? b ? 2a 2 ? f ( m ) , ? ? m ( 如图 8 ) ? 2a ?

3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这 种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。 例 4. 已知 解 。 ,且 ,求函数 的最值。

图3 例 5. (1) 求 f ( x ) ? x ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。
2

(2) 求函数 y ? ? x( x ? a) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值。

4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函数在 动区间上的最值” 。 例 6. 已知 y ? 4a( x ? a)(a ? 0), ,求 u ? ( x ? 3) ? y 的最小值。
2 2 2

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二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。 例 7. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。

例 8.已知函数 f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值。 2

? 3 ? 例 9. 已知二次函数 f ( x ) ? ax2 ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ? ,2 ? 上的最大值为 3,求实 ? 2 ?

数 a 的值。

三、巩固训练 1.函数 y ? x ? x ? 1 在 [ ?1,1] 上的最小值和最大值分别是
2





( A) 1 ,3
2

(B)

3 ,3 4

(C) ?

1 ,3 2

(D) ?

1 ,3 4
( )

2 .函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 在区间 [1,4] 上的最小值是

( A) ? 7
3.函数 y ?
2

(B) ? 4
8 的最值为 x ? 4x ? 5

(C ) ? 2

( D) 2
( )

( A) 最大值为 8,最小值为 0
(C)最小值为 0, 不存在最大值

( B ) 不存在最小值,最大值为 8 ( D) 不存在最小值,也不存在最大值

2 4.若函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x , x ? [0,4] 的取值范围是______________________

5.已知函数 值为 6.如果实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,那么 (1 ? xy)(1 ? xy) 有
2 2

上的最大值是 1,则实数 a 的





(A)最大值为 1 , 最小值为

1 2

(C))最大值为 1, 无最小值
2

3 4 3 (D)最大值为 1,最小值为 4
(B)无最大值,最小值为

7.已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是

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( (A) [1,??) (B) [0,2] (C) [1,2] (D) (??,2] 8.若 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 1,那么 2 x ? 3 y 2 的最小值为__________________



2 2 9.设 m ? R, x1 , x2 是方程 x ? 2mx ? 1 ? m ? 0 的两个实根,则 x1 的最小值______ ? x2
2 2

10.设 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4, x ? [t , t ? 1](t ? R), 求函数 f ( x) 的最小值 g (t ) 的解析式。

11.已知 f ( x) ? x ? ax ?
2

a ,在区间 [0,1] 上的最大值为 g (a ) ,求 g (a ) 的最小值。 2

12.(2009 江苏卷)设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) | x ? a | . (1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. ....

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