山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 19三角函数的图象与性质限时检测 新人教A版


课时限时检测(十九)

三角函数的图象与性质
题号及难度 基础 1,3 2 4,8 7 5,6 9,11 12 中档 10 稍难

(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 考查知识点及角度 三角函数的定义域、值域 三角函数的奇偶性、周期性 三角函数的单调性、对称性 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.函数 y=tan?
? ? ? π A.?x?x≠ 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

?π -x?的定义域是( ? ?4 ?

)
? ? π? B.?x?x≠- ? 4? ? ? ? ? ? 3π D.?x?x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ?

? ? ? π C.?x?x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ?

?π ? ? π? 【解析】 y=tan? -x?=-tan?x- ?, 4 4? ? ? ?
π π 3π 由 x- ≠ +kπ ,k∈Z 得 x≠kπ + ,k∈Z, 4 2 4 故选 D. 【答案】 D 2. (2013·浙江高考)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ ) (A>0, ω >0, φ ∈R), 则“f(x) π 是奇函数”是“φ = ”的( 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条 件 π π 【解析】 先判断由 f(x)是奇函数能否推出 φ = ,再判断由 φ = 能否推出 f(x) 2 2 是奇函数. π π 若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,所以 cos φ =0,所以 φ = +kπ (k∈Z),故 φ = 2 2 不成立; )

1

π? π ? 若 φ = ,则 f(x)=A cos?ω x+ ?=-Asin(ω x),f(x)是奇函数.所以 f(x)是奇函 2? 2 ? π 数是 φ = 的必要不充分条件. 2 【答案】 B 3.函数 y=sin x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1]
2

)

? 5 ? B.?- ,-1? ? 4 ?
5? ? D.?-1, ? 4? ?

? 5 ? C.?- ,1? ? 4 ?
1?2 5 ? 【解析】 f(x)=?sin x+ ? - , 2? 4 ? 5 ∵sin x∈[-1,1],∴- ≤f(x)≤1, 4

? 5 ? ∴f(x)的值域为?- ,1?. ? 4 ?
【答案】 C

? π? 4. (2014·保定模拟)若函数 f(x)=sin(3x+φ ), 满足 f(a+x)= f(a-x), 则 f?a+ ? 6? ?
的值为( A. 3 2 ) B.±1 D. 1 2

C.0

? π? 【解析】 法一 易知 x=a 为对 称轴,所以 f(a)=sin(3a+φ )=±1,而 f?a+ ?= 6? ?
π? ? sin?3a+φ + ?=cos(3a+φ )=0 2? ? 2π π 法二 ∵x=a 为对称轴,又 f(x)周期是 ,故 x=a+ 是与 x=a 相邻的对称轴,而 3 3

x=a+ 是两相邻对称轴中间的 f(x)的零点.即 f?a+ ?=0. 6

π 6

? ?

π?

?

【答案】 C

?π ? ?π ? 5.(2014·吉林模拟)已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x,设 a=f? ?,b=f? ?,c= ?7? ?6?
f? ?,则 a,b,c 的大小关系是( 3
A.a<b<c

?π ? ? ?

) B.c<a<b

2

C.b<a<c

D.b<c<a

? π? 【解析】 ∵f(x)=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ?, 3? ?
π ?π ? ∴函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,从而 f? ?=f(0), 6 ?3?

? π? 又 f(x)在?0, ?上是增函数, 6? ? ?π ? ?π ? ∴ f(0)<f? ?<f? ?,即 c<a<b. ?7? ?6?
【答案】 B 6. (2014·浏阳模拟)已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ), x∈R, 其中 ω >0, -π <φ ≤π . π 若 f(x)的最小正周期为 6π , ,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( 2 A.f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数 C.f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 D.f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 2π 2 π 1 【解析】 ∵T=6π ,∴ω = = = , T 6π 3 1 π π π ∴ × +φ =2kπ + ,∴φ =2kπ + (k∈Z). 3 2 2 3 π ∵-π <φ ≤π ,∴令 k=0 得 φ = . 3 )

?x π ? ∴f(x)=2sin? + ?. ?3 3 ?
π x π π 令 2kπ - ≤ + ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 3 2 5π π 则 6kπ - ≤x≤6kπ + ,k∈Z. 2 2 易知 f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数. 【答案】 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.(2014·大连模拟)已知 f (x)=Asin(ω x+φ ),f(α )=A,f(β )=0,|α -β |的 π 最小值为 ,则正数 ω =________. 3 π 4 【解析】 由|α -β |的最小值为 知函数 f(x)的周期 T= π , 3 3

3

2π 3 ∴ω = = . T 2 【答案】 3 2

π? ? 8.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴 6? ?

? π? 完全相同,若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ?
π? ? 【解析】 依题意得 ω =2,所以 f(x)=3sin?2x- ?. 6? ? π ? π 5 ? ? π? 因为 x∈?0, ?,所以 2x- ∈?- , π ?, 2 6 ? 6 6 ? ? ? π? ? 1 ? ? 所以 sin?2x- ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ?

? 3 ? 所以 f(x)∈?- ,3?. ? 2 ? ? 3 ? 【答案】 ?- ,3? ? 2 ?
9.已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π ;

? π π? ③f(x)在区间?- , ?上是增函数; ? 4 4?
④f(x)的图象关于直线 x= 其中真命题是________. 1 π 【解析】 f(x)= sin 2x,当 x1=0 ,x2= 时,f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2,故① 2 2 3π 对称. 4

? π π? ? π π? 是假命题;f(x)的最小正周期为 π ,故②是假命题;当 x∈?- , ?时,2x∈?- , ?, 4 4 ? ? ? 2 2?
故③是真命题;因为 f? 是真命题. 【答案】 ③④ 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x)=sin xcos x+sin x,
2

?3π ?=1s in 3π =-1,故 f(x)的图象关于直线 x=3π 对称,故④ ? 2 2 4 ? 4 ? 2

?π ? (1)求 f? ?的值; ?4?
4

? π? (2)若 x∈?0, ?,求 f(x)的最大值及相应的 x 值. 2? ?
【解】 (1)∵f(x)=sin xcos x+sin x, π π ? 2?2 ? 2?2 ?π ? 2π ∴f? ?=sin cos +sin =? ? +? ? =1. 4 4 4 ? 2? ? 2? ?4? 1 1-cos 2x 2 (2)f(x)=sin xcos x+sin x= sin 2x+ 2 2 π? 1 1 1 2 ? = (sin 2x-cos 2x)+ = sin?2x- ?+ , 4? 2 2 2 2 ? π ? π 3π ? ? π? 由 x∈?0, ?得 2x- ∈?- , ?, 2? 4 ? 4 ? 4 ? π π 3 2+1 所以,当 2x- = ,即 x= π 时,f(x)取到最大值为 . 4 2 8 2 ?sin x-cos x?sin 2x 11.(12 分)(2014·南宁模拟)已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 【解】 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ (k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π? ? = 2sin?2x- ?-1, 4? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2
2

(2)函数 y=sin x 的单调递增区间为

?2kπ -π ,2kπ +π ?(k∈Z). ? ? 2 2? ?
π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,x≠kπ (k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,x≠kπ (k∈Z). 8 8 π 3π ? ? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ ?和?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ? ? ? 12.(13 分)(2014·孝感模拟)设函数 f(x)=sin ω x+2 3sin ω x·cos ω x-cos ω x
2 2

5

?1 ? +λ (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω ,λ 为常数,且 ω ∈? ,1?. ?2 ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;

?π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ,0?,求函数 f(x)的值域. ?4 ?
【解】 (1)因为 f(x)=sin ω x-cos ω x+2 3sin ω x·cos ω x+λ =-cos 2 ω x π? ? + 3sin 2ω x+λ =2sin?2ω x- ?+λ , 6? ? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 π? ? sin?2ω π - ?=±1. 6? ? π π k 1 所以 2ω π - =kπ + (k∈Z),即 ω = + (k∈Z). 6 2 2 3 5 ?1 ? 又 ω ∈? ,1?,k∈Z,所以 ω = . 6 ?2 ? 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5
2 2

?π ? ?π ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ,0?,得 f? ?=0, ?4 ? ?4?
π ?5 π π ? 即 λ =-2sin? × - ?=-2sin =- 2,即 λ =- 2. 4 ?6 2 6 ?

?5 π ? 故 f(x)=2sin? x- ?- 2,函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2]. 6? ?3

6


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