【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习:4.2 第1课时 复数的加法与减法]


第四章

§2

第 1 课时

一、选择题 1.设 z1=2+bi,z2=a+i,当 z1+z2=0 时,复数 a+bi 为( A.1+i C.3 [答案] D [解析] ∵z1+z2=(2+bi)+(a+i) =(2+a)+(b+1)i=0,
?2+a=0 ?a=-2 ? ? ∴? ,∴? , ? ? ?b+1=0 ?b=-1

)

B.2+i D.-2-i

∴a+bi=-2-i. 2.已知 z1=2+i,z2=1-2i,则复数 z=z2-z1 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故 z 对应的点为(-1,-3),在第三象限. 3.(2014· 浙江台州中学期中)设 x∈R,则“x=1”是“复数 z=(x2-1)+(x+1)i 为纯虚 数”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.第二象限 D.第四象限 )

A.充分必要条件 C.充分不必要条件 [答案] A [解析]

2 ? ?x -1=0, z 是纯虚数?? ?x=1,故选 A. ?x+1≠0, ?

→ → 4.在复平面内,点 A 对应的复数为 2+3i,向量OB对应的复数为-1+2i,则向量BA对 应的复数为( A.1+5i C.-3-i [答案] B → [解析] 向量OA对应的复数即为 A 点对应的复数, → → → 又因为BA=OA-OB, 而(2+3i)-(-1+2i)=3+i, ) B.3+i D.1+i

→ 故BA对应的复数为 3+i,故选 B. 5.设复数 z 满足关系式 z+|z|=2+i,那么 z=( 3 A.- +i 4 3 C.- -i 4 [答案] D [解析] 设 z=x+yi(x、y∈R), 则 x+yi+ x2+y2=2+i, 3 ? ?x=4 ?x+ x2+y2=2 因此有? ,解得? , ?y=1 ? ?y=1 3 故 z= +i,故选 D. 4 [点评] ∵|z|∈R,z=2-|z|+i, ∴z 的虚部为 1,因此可设 z=a+i(a∈R),由此得 a+i+ a2+1=2+i 解出 a. 6.复数 z=sin1 000° -icos1 000° 在复平面内所对应的点 Z 位于( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] z=sin(-80° )-icos(-80° ) =-sin80° -icos80° , ∴-sin80° <0,-cos80° <0, ∴点 Z 在第三象限.故应选 C. 二、填空题 → → 7.(2014· 揭阳一中期中)已知向量OA和向量OC对应的复数分别为 3+4i 和 2-i, 则向量 → AC对应的复数为________. [答案] -1-5i → → → → [解析] ∵AC=OC-OA,∴AC对应复数为(2-i)-(3+4i)=-1-5i. 8.已知复数 z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且 z1-z2 为纯虚数,则 a= ________. [答案] -1 [解析] z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数, B.第二象限 D.第四象限 ) 3 B. -i 4 3 D.- +i 4 )

2 ? ?a -a-2=0 ∴? 2 ,解得 a=-1. ?a +a-6≠0 ?

→ → → 9.在复平面内,O 是原点,O A 、OC、A B 对应的复数分别为-2+i、3+2i、1+5i,
那么 B C 对应的复数为________. [答案] 4-4i [解析] B C =O C -O B =O C -(O A +A B ) =3+2i-(-2+i+1+5i) =(3+2-1)+(2-1-5)i =4-4i. 三、解答题 10.已知平行四边形 ABCD 中,A B 与 A C 对应的复数分别是 3+2i 与 1+4i,两对角线 AC 与 BD 相交于 P 点. (1)求 A D 对应的复数; (2)求 D B 对应的复数; (3)求△APB 的面积. 5 [答案] (1)-2+2i (2)5 (3) 2 [分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得 A D ,D B 对应的复数,先求出向 量 P A 、P B 对应的复数,通过平面向量的数量积求△APB 的面积. [解析] (1)由于 ABCD 是平行四边形,所以 A C =A B +A D ,于是 A D =A C -A B , 而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i, 即 A D 对应的复数是-2+2i. (2)由于 D B =A B -A D ,而(3+2i)-(-2+2i)=5, 即 D B 对应的复数是 5. 1 1 → → 1 → ? (3)由于 P A = C A =- A C =? ?-2,-2?, 2 2





















































→ 1 → 5,0? P B = D B =? ?2 ?, 2
5 → → 于是 P A · P B =- , 4

17 → 5 → 而|PA|= ,|PB|= , 2 2 所以 17 5 5 ·· cos∠APB=- , 2 2 4 17 4 17 ,故 sin∠APB= , 17 17

因此 cos∠APB=-

1→ → 故 S△APB= |PA||PB|sin∠APB 2 1 17 5 4 17 5 = × × × = . 2 2 2 17 2 5 即△APB 的面积为 . 2 [点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的 坐标运算. (2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能.

一、选择题 11.实数 x、y 满足(1+i)x+(1-i)y=2,则 xy 的值是( A.1 C.-2 [答案] A [解析] ∵(1+i)x+(1-i)y=2,
? ? ?x+y=2 ?x=1 ∴? ,解得? . ?x-y=0 ?y=1 ? ?

)

B.2 D.-1

∴xy=1. 12.若复数 x 满足 z+(3-4i)=1,则 z 的虚部是( A.-2 C.3 [答案] B [解析] z=1-(3-4i)=-2+4i,故选 B. 13.(2014· 新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1、z2 满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ +3sinθ)i(m、λ、θ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( A.[-1,1] 9 C.[- ,7] 16 [答案] C 9 B.[- ,1] 16 9 D. [ ,1] 16 ) B.4 D.-4 )

? ?m=2cosθ, [解析] ∵z1=z2,∴? 2 ?4-m =λ+3sinθ. ?

3 9 ∴λ=4sin2θ-3sinθ=4(sinθ- )2- , 8 16 9 ∵sinθ∈[-1,1],∴λ∈[- ,7]. 16 二、填空题 14.已知 k∈R,且关于 x 的方程 x2+(k+2i)x+2+ki=0 有实根,则实数 k 的值为 ________. [答案] ± 2 [分析] 方程的实根必然适合方程,设 x=x0 为方程的实根,代入整理后得 a+bi=0 的 形式,由复数相等的充要条件,可得关于 x0 和 k 的方程组,通过解方程组可得 x 及 k 的值.
2 [解析] 设方程的实数根为 x0,则 x0 +(k+2i)x0+2+ki=0,

?x2 ? 0+kx0+2=0,?1? ∴? ?2x0+k=0,?2? ?
2 将(2)代入(1)消去 k 得:-x0 +2=0,∴x0=± 2,

当 x0= 2时,k=-2 2,当 x0=- 2时,k=2 2, 综上知,k=± 2 2. 15.已知 z1= =________. [答案] 3 [解析] z1-z2=[ =( 3 a+(a+1)i]-[-3 3b+(b+2)i] 2 3 a+(a+1)i,z2=-3 3b+(b+2)i(a、b∈R),若 z1-z2=4 3,则 a+b 2

3 a+3 3b)+(a+1-b-2)i=4 3, 2

? ? 3a+3 3b=4 3 ∴? 2 , ? ?a-b=1
?a=2 ? 解得? ,∴a+b=3. ? ?b=1

三、解答题 16.已知 z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设 z=z1-z2,且 z =13-2i,求 z1,z2. [答案] z1=5-9i y2=-8-7i [解析] z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y

-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i, 又因为 z=13-2i,且 x,y∈R,
?5x-3y=13 ?x=2 ? ? 所以? ,解得? . ?x+4y=-2 ?y=-1 ? ?

所以 z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i. → 17.已知复平面内平行四边形 ABCD,A 点对应的复数为 2+i,向量BA对应的复数为 1 → +2i,向量BC对应的复数为 3-i,求: (1)点 C、D 对应的复数; (2)平行四边形 ABCD 的面积. → → [解析] (1)∵向量BA对应的复数为 1+2i,向量BC对应的复数为 3-i, → ∴向量AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. → → → 又OC=OA+AC, ∴点 C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. → → ∵AD=BC, → → ∴向量AD对应的复数为 3-i,即AD=(3,-1). → 设 D(x,y),则AD=(x-2,y-1)=(3,-1),
? ? ?x-2=3, ?x=5, ∴? 解得? ?y-1=-1, ?y=0. ? ?

∴点 D 对应的复数为 5. → → → → (2)∵BA· BC=|BA||BC|cosB, → → 3-2 BA· BC 2 ∴cosB= = = . → → 5× 10 10 |BA||BC| 7 2 ∴sinB= . 10 7 2 → → ∴S=|BA||BC|sinB= 5× 10× =7, 10 ∴平行四边形 ABCD 的面积为 7.


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