2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)


2014 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标Ⅰ ) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. (5 分) (2014?河南)已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M∩ N=( ) A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3) 2. (5 分) (2014?河南)若 tanα>0,则( A.sinα>0 B.cosα>0 3. (5 分) (2014?河南)设 z= A. B. +i,则|z|=( ) C.sin2α>0 ) C. D.2 D.cos2α>0

4. (5 分) (2014?河南)已知双曲线 A .2 B.



=1(a>0)的离心率为 2,则 a=( C.

) D.1

5. (5 分) (2014?河南)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论 中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

6. (5 分) (2014?河南)设 D,E,F 分别为△ ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 A. B. C.

+ D.

=(



7. (5 分) (2014?河南)在函数① y=cos 丨 2x 丨,② y=丨 cosx 丨,③ y=cos(2x+ 期为 π 的所有函数为( ② ③ A .① ) ③ ④ B.①

)④ y=tan(2x﹣

)中,最小正周

④ C .②

③ D.①

8. (5 分) (2014?河南)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体 是( )

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱 )

9. (5 分) (2014?河南)执行如图的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=(

A.

B.

C.

D.

10. (5 分) (2014?河南)已知抛物线 C:y =x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= x0,x0=( A .1 B.2 C .4 D.8

2



11. (5 分) (2014?河南)设 x,y 满足约束条件 A.﹣5 B.3
3 2

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( C.﹣5 或 3 D.5 或﹣3



12. (5 分) (2014?河南)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围 是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分) (2014?河南)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为 _________ . 14. (5 分) (2014?河南)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 _________ .

15. (5 分) (2014?河南)设函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是

_________ .

16. (5 分) (2014?河南)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的 仰角∠ MAN=60°,C 点的仰角∠ CAB=45°,以及∠ MAC=75°;从 C 点测得∠ MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= _________ m.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (12 分) (2014?河南)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.
2

18. (12 分) (2014?河南)从某企业生产的产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如 下频数分布表: 质量指标值分 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 组 6 26 38 22 8 频数 (1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产 品 80%”的规定? 19. (12 分) (2014?河南)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且 AO⊥ 平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥ AB; (2)若 AC⊥ AB1,∠ CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高.

20. (12 分) (2014?河南)已知点 P(2,2) ,圆 C:x +y ﹣8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△ POM 的面积.
2

2

2

21. (12 分) (2014?河南)设函数 f(x)=alnx+ 为 0, (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)<

x ﹣bx(a≠1) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率

,求 a 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时清写清题号。 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分) (2014?河南) 如图, 四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE. (Ⅰ )证明:∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 AD 不是⊙ O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2014?河南)已知曲线 C: + =1,直线 l: (t 为参数)

(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2014?河南)若 a>0,b>0,且 + =
3 3



(Ⅰ )求 a +b 的最小值; (Ⅱ )是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.

2014 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标Ⅰ )
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. (5 分) (2014?河南)已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M∩ N=( ) A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3) 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 根据集合的基本运算即可得到结论. 解:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1}, 则 M∩ N={x|﹣1<x<1}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
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2. (5 分) (2014?河南)若 tanα>0,则( A.sinα>0 B.cosα>0 考点: 专题: 分析: 解答:

) C.sin2α>0 D.cos2α>0

三角函数值的符号. 三角函数的求值. 化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案. 解:∵ tanα>0,
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则 sin2α=2sinαcosα>0. 故选:C. 点评: 本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题.

3. (5 分) (2014?河南)设 z= A. B.

+i,则|z|=(

) C. D.2

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题;数系的扩充和复数. 分析: 先求 z,再利用求模的公式求出|z|. 解答: 解:z= +i= +i=
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故|z|=

=



故选 B. 点评: 本题考查复数代数形式的运算,属于容易题.

4. (5 分) (2014?河南)已知双曲线



=1(a>0)的离心率为 2,则 a=(



A .2

B.

C.

D.1

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线的离心率 e= ,得到关于 a 的等式,从而求出 a 的值.
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解答: 解:双曲线 的离心率 e= =2,解答 a=1.

故选 D. 点评: 本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题型. 5. (5 分) (2014?河南)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论 中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 考点: 函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是 偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,从而得出结论. 解答: 解:∵ f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴ |f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数. 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数, 可得 f(x)|g(x)|为奇函数, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,注意利用函数的奇偶性规律,属于基础题.
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6. (5 分) (2014?河南)设 D,E,F 分别为△ ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 A. B. C.

+ D.

=(



考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量加法的三角形法则,将
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分解为

+



+

的形式,进而根据 D,E,F 分别为△ ABC

的三边 BC,CA,AB 的中点,结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案. 解答: 解:∵ D,E,F 分别为△ ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点, ∴ + =( + )+( + )= + = ( + )= ,

故选:A

点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用,熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关 键.

7. (5 分) (2014?河南)在函数① y=cos 丨 2x 丨,② y=丨 cosx 丨,③ y=cos(2x+ 期为 π 的所有函数为( ② ③ A .① ) ③ ④ B.①

)④ y=tan(2x﹣

)中,最小正周

④ C .②

③ D.①

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论. 解答: 解:∵ 函数① y=cos 丨 2x 丨的最小正周期为 =π,
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② y=丨 cosx 丨的最小正周期为 ③ y=cos(2x+ ④ y=tan(2x﹣ )的最小正周期为 )的最小正周期为

=π, =π, ,

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题. 8. (5 分) (2014?河南)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体 是( )

A.三棱锥 考点: 专题: 分析: 解答:

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

简单空间图形的三视图. 空间位置关系与距离. 由题意画出几何体的图形即可得到选项. 解:根据网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,
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可知几何体如图:几何体是三棱柱. 故选:B.

点评: 本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法,考查空间想象能力. 9. (5 分) (2014?河南)执行如图的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出 M 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 M=1+ = ,a=2,b= ,n=2;
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第二次循环 M=2+ = ,a= ,b= ,n=3; 第三次循环 M= + = ,a= ,b= ,n=4. .

不满足条件 n≤3,跳出循环体,输出 M=

故选:D. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
2

10. (5 分) (2014?河南)已知抛物线 C:y =x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= x0,x0=( A .1 B.2 C .4 D.8



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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分析: 解答:

由抛物线的定义,可得|AF|=x0+ ,结合条件,可求 x0. 解:由抛物线的定义,可得|AF|=x0+ , ∵ |AF|= x0, ∴ x0+ = x0,

∴ x0=1, 故选:A. 点评: 本题考查了抛物线的定义与简单性质,属于容易题.

11. (5 分) (2014?河南)设 x,y 满足约束条件 A.﹣5 B.3

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( C.﹣5 或 3 D.5 或﹣3



考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域,然后对 a 进行分类,a=0 时最小值不等于 7,a<0 时目标函数无最小值,a>0 时化 目标函数为直线方程斜截式,由图看出最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数,由对应的 z 值等于 7 求解 a 的值. 解答: 解:由约束条件 作可行域如图,
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联立

,解得



∴ A( 当 a=0 时 A 为(

) . ) ,z=x+ay 的最小值为 , 在 y 轴上的截距最大,满足条件的最优解不存在; , ,不满足题意;

当 a<0 时,由 z=x+ay 得 要使 z 最小,则直线 当 a>0 时,由 z=x+ay 得

由图可知,当直线过点 A 时直线 此时 z=

在 y 轴上的截距最小,z 最小.

,解得:a=3 或 a=﹣5(舍) .

故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,解答的关键是注意分类讨论,是中档题. 12. (5 分) (2014?河南)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围 是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1) 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: 分类讨论:当 a≥0 时,容易判断出不符合题意;当 a<0 时,由于而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,
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3

2

可知: 存在 x0>0, 使得 f (x0) =0, 要使满足条件 f (x) 存在唯一的零点 x0, 且 x0>0, 则必须极小值 >0,解出即可. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣3x +1=0,解得 x= 当 a>0 时,令 f′ (x)=3ax ﹣6x=3ax x (﹣∞,0) 0
2 2

,函数 f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去; =0,解得 x=0 或 x= >0,列表如下:

0 0 + f′ (x)+ ﹣ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵ x→+∞,f(x)→+∞,而 f(0)=1>0,∴ 存在 x<0,使得 f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零 点 x0,且 x0>0,应舍去. 当 a<0 时,f′ (x)=3ax ﹣6x=3ax x (﹣∞, ) 0
2

=0,解得 x=0 或 x= <0,列表如下: (0,+∞)

f′ (x)﹣ f(x) 单调递减

0 + 0 ﹣ 极小值 单调递增 极大值 单调递减
2

而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴ 存在 x0>0,使得 f(x0)=0, ∵ f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,∴ 极小值 = ,化为 a >4,∵ a

<0,∴ a<﹣2. 综上可知:a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) . 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力, 属于难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分) (2014?河南)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计.

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分析: 首先求出所有的基本事件的个数,再从中找到 2 本数学书相邻的个数,最后根据概率公式计算即可. 解答: 解:2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有(数学 1,数学 2,语文) , (数学 1,语文,数学 2) , (数学 2,数学 1,语文) , (数学 2,语文,数学 1) , (语文,数学 1,数学 2) , (语文,数学 2,数学 1)共 6 个, 其中 2 本数学书相邻的有(数学 1,数学 2,语文) , (数学 2,数学 1,语文) , (语文,数学 1,数学 2) , (语 文,数学 2,数学 1)共 4 个,故本数学书相邻的概率 P= 故答案为: . 点评: 本题考查了古典概型的概率公式的应用,关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件. 14. (5 分) (2014?河南)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 A . 考点: 专题: 分析: 解答: 进行简单的合情推理. 推理和证明. 可先由乙推出,可能去过 A 城市或 B 城市,再由甲推出只能是 A,B 中的一个,再由丙即可推出结论. 解:由乙说:我没去过 C 城市,则乙可能去过 A 城市或 B 城市, 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市,则乙只能是去过 A,B 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一城市, 则由此可判断乙去过的城市为 A. 故答案为:A. 点评: 本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.
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15. (5 分) (2014?河南)设函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 x≤8 .

考点: 专题: 分析: 解答:

其他不等式的解法;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 计算题;函数的性质及应用. 利用分段函数,结合 f(x)≤2,解不等式,即可求出使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围.
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解:x<1 时,e x≥1 时,

x﹣1

≤2,∴ x≤ln2+1,∴ x<1;

≤2,∴ x≤8,∴ 1≤x≤8,

综上,使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 x≤8. 故答案为:x≤8. 点评: 本题考查不等式的解法,考查分段函数,考查学生的计算能力,属于基础题. 16. (5 分) (2014?河南)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的 仰角∠ MAN=60°,C 点的仰角∠ CAB=45°,以及∠ MAC=75°;从 C 点测得∠ MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= 150 m.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: △ ABC 中, 由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC; △ AMC 中, 由条件利用正弦定理求得 AM; Rt△ AMN 中,根据 MN=AM?sin∠ MAN,计算求得结果. 解答: 解:△ ABC 中,∵ ∠ BAC=45°,∠ ABC=90°,BC=100,
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∴ AC=

=100



△ AMC 中,∵ ∠ MAC=75°,∠ MCA=60°, ∴ ∠ AMC=45°,由正弦定理可得 即 ,解得 AM=100 . ,

Rt△ AMN 中,MN=AM?sin∠ MAN=100 ×sin60°=150(m) , 故答案为:150. 点评: 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 2 17. (12 分) (2014?河南)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)解出方程的根,根据数列是递增的求出 a2,a4 的值,从而解出通项; (2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和. 2 解答: 解: (1)方程 x ﹣5x+6=0 的根为 2,3.又{an}是递增的等差数列,
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故 a2=2,a4=3,可得 2d=1,d= , 故 an=2+(n﹣2)× = n+1,

(2)设数列{

}的前 n 项和为 Sn,

Sn=

,①

Sn=

,②

① ﹣② 得 Sn=

=



解得 Sn=

=2﹣



点评: 本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式. 18. (12 分) (2014?河南)从某企业生产的产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如 下频数分布表: 质量指标值分 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 组 6 26 38 22 8 频数 (1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产 品 80%”的规定? 考点: 极差、方差与标准差;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图做法画出即可; (2)用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差,代入公式计算即可. (3)求出质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值,再和 0.8 比较即可. 解答: 解: (1)频率分布直方图如图所示:
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(2)质量指标的样本平均数为 =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100, 2 2 2 2 2 质量指标的样本的方差为 S =(﹣20) ×0.06+(﹣10) ×0.26+0×0.38+10 ×0.22+20 ×0.08=104, 这种产品质量指标的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68, 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部 产品 80%”的规定. 点评: 本题主要考查了频率分布直方图,样本平均数和方差,考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力. 19. (12 分) (2014?河南)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且 AO⊥ 平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥ AB; (2)若 AC⊥ AB1,∠ CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点,证明 B1C⊥ 平面 ABO,可得 B1C⊥ AB; (2)作 OD⊥ BC,垂足为 D,连接 AD,作 OH⊥ AD,垂足为 H,证明△ CBB1 为等边三角形,求出 B1 到平 面 ABC 的距离,即可求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 解答: (1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点, ∵ 侧面 BB1C1C 为菱形, ∴ BC1⊥ B1C, ∵ AO⊥ 平面 BB1C1C, ∴ AO⊥ B1C, ∵ AO∩ BC1=O, ∴ B1C⊥ 平面 ABO, ∵ AB?平面 ABO, ∴ B1C⊥ AB; (2)解:作 OD⊥ BC,垂足为 D,连接 AD,作 OH⊥ AD,垂足为 H, ∵ BC⊥ AO,BC⊥ OD,AO∩ OD=O, ∴ BC⊥ 平面 AOD,
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∴ OH⊥ BC, ∵ OH⊥ AD,BC∩ AD=D, ∴ OH⊥ 平面 ABC, ∵ ∠ CBB1=60°, ∴ △ CBB1 为等边三角形, ∵ BC=1,∴ OD= ,

∵ AC⊥ AB1,∴ OA= B1C= , 由 OH?AD=OD?OA,可得 AD= ∵ O 为 B1C 的中点, ∴ B1 到平面 ABC 的距离为 ∴ 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高 , . = ,∴ OH= ,

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质,考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20. (12 分) (2014?河南)已知点 P(2,2) ,圆 C:x +y ﹣8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△ POM 的面积. 考点: 轨迹方程;三角形的面积公式. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径,设出 M 坐标,由
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数量积等于 0 列式得 M 的轨迹方程;

(2)设 M 的轨迹的圆心为 N,由|OP|=|OM|得到 ON⊥ PM.求出 ON 所在直线的斜率,由直线方程的点斜式 得到 PM 所在直线方程,由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关 系求出 PM 的长度,代入三角形面积公式得答案.
2 2 2 2 解答: 解: (1)由圆 C:x +y ﹣8y=0,得 x +(y﹣4) =16, ∴ 圆 C 的圆心坐标为(0,4) ,半径为 4.

设 M(x,y) ,则 由题意可得: .





即 x(2﹣x)+(y﹣4) (2﹣y)=0. 2 2 整理得: (x﹣1) +(y﹣3) =2. 由于点 P 在圆 C 内部, 2 2 ∴ M 的轨迹方程是(x﹣1) +(y﹣3) =2. (2)由(1)知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 由于|OP|=|OM|, 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上,

为半径的圆,

从而 ON⊥ PM. ∵ kON=3, ∴ 直线 l 的斜率为﹣ . ∴ 直线 PM 的方程为 ,即 x+3y﹣8=0.

则 O 到直线 l 的距离为



又 N 到 l 的距离为 ∴ |PM|= ∴ = . .



点评: 本题考查圆的轨迹方程的求法,训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系,训练了点到直线的距离 公式的应用,是中档题.
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21. (12 分) (2014?河南)设函数 f(x)=alnx+ 为 0, (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)<

x ﹣bx(a≠1) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率

,求 a 的取值范围.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义即可得出;
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(2)对 a 分类讨论:当 a 可得出. 解答: 解: (1)f′ (x)=

时,当

a<1 时,当 a>1 时,再利用导数研究函数的单调性极值与最值即

(x>0) ,

∵ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 0, ∴ f′ (1)=a+(1﹣a)×1﹣b=0,解得 b=1. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,由(1)可知:f(x)=alnx+ ∴ ① 当a 时,则 , = . ,

则当 x>1 时,f′ (x)>0, ∴ 函数 f(x)在(1,+∞)单调递增, ∴ 存在 x0≥1,使得 f(x0)< 解得 ② 当 a<1 时,则 ; , 的充要条件是 ,即 ,

则当 x∈ 当 x∈

时,f′ (x)<0,函数 f(x)在 时,f′ (x)>0,函数 f(x)在 的充要条件是 ,

上单调递减; 上单调递增.

∴ 存在 x0≥1,使得 f(x0)<



=

+

,不符合题意,应舍去.

③ 若 a>1 时,f(1)=

,成立.

综上可得:a 的取值范围是 . 点评: 本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法,考查了 分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时清写清题号。 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分) (2014?河南) 如图, 四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE. (Ⅰ )证明:∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 AD 不是⊙ O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;几何证明. 分析: (Ⅰ ) 利用四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, 可得∠ D=∠ CBE, 由 CB=CE, 可得∠ E=∠ CBE, 即可证明: ∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥ BC,可得∠ A=∠ CBE,进而可得∠ A=∠ E,即可证明△ ADE 为等 边三角形. 解答: 证明: (Ⅰ )∵ 四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, ∴ ∠ D=∠ CBE, ∵ CB=CE, ∴ ∠ E=∠ CBE, ∴ ∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥ BC, ∴ O 在直线 MN 上, ∵ AD 不是⊙ O 的直径,AD 的中点为 M, ∴ OM⊥ AD, ∴ AD∥ BC, ∴ ∠ A=∠ CBE, ∵ ∠ CBE=∠ E, ∴ ∠ A=∠ E, 由(Ⅰ )知,∠ D=∠ E, ∴ △ ADE 为等边三角形.
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点评: 本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2014?河南)已知曲线 C: + =1,直线 l: (t 为参数)

(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ )联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数方程,直接消掉参数 t 得直线 l 的普 通方程; (Ⅱ )设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) .由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离,除以 sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值. 解答:
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解: (Ⅰ )对于曲线 C: 故曲线 C 的参数方程为

+

=1,可令 x=2cosθ、y=3sinθ, , (θ 为参数) .

对于直线 l:



由① 得:t=x﹣2,代入② 并整理得:2x+y﹣6=0; (Ⅱ )设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) . P 到直线 l 的距离为 则 . ,其中 α 为锐角. . .

当 sin(θ+α)=﹣1 时,|PA|取得最大值,最大值为 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为

点评: 本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2014?河南)若 a>0,b>0,且 + =
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(Ⅰ )求 a +b 的最小值; (Ⅱ )是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.

考点: 基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 3 3 分析: (Ⅰ )由条件利用基本不等式求得 ab≥4,再利用基本不等式求得 a +b 的最小值. (Ⅱ )根据 ab≥4 及基本不等式求的 2a+3b>8,从而可得不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a>0,b>0,且 + = ,
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= + ≥2



∴ ab≥2, 当且仅当 a=b= ∵ a +b ≥2
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时取等号. ≥2 =4 ,当且仅当 a=b= 时取等号,

∴ a +b 的最小值为 4 . (Ⅱ )由(1)可知,2a+3b≥2 =2 ≥4 >6, 故不存在 a,b,使得 2a+3b=6 成立. 点评: 本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.


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