数列知识点总结,解体方法归纳和练习习题


第一部分 数列的基础知识
等差数列 一 定义式:

an ? an?1 ? d
? ? am ? ( n ? m ) d ? ? a1 ? ( n ? 1) d

二 通项公式: an ?

一个数列是等差数列的等价条件: a n ? an ? b (a,b 为常数),即 an 是关于 n 的一次函数,因 为 n ? Z ,所以 an 关于 n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na中间项 ? na1 ? d 2 2
2

一个数列是等差数列的另一个充要条件: S n ? an ? bn (a,b 为常数,a≠0),即 S n 是关于 n 的二次函数,因为 n ? Z ,所以 S n 关于 n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3 或 4 个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置, 如:3 个数 a-d,a,a+d; 4 个数 a-3d,a-d,a+d,a+3d 2. a 与 b 的等差中项 A ? a ? b ; 2 在等差数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则

am ? an ? a p ? aq ;若 m ? n ? 2p ,则 am ? an ? 2a p ;
3.若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶?S 奇 ? nd,

?

?

S奇 S偶

?

an ; a n ?1

若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ,则 S 2n ?1? 2n ? 1 a n ,且 S 奇 ? S 偶 ?a n ,

?

?

?

?

S奇 S偶

?

n n ?1

4. 凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设 A ? a1 ? a2 ??? an , ,

B ? an?1 ? an? 2 ??? a2 n ,
C ? a2n?1 ? a2n?2 ??? a3n ,则有 2B ? A ? C ;
5. a1 ? 0 , S m ? S n ,则前 S m ? n (m+n 为偶数)或 S m? n?1 (m+n 为奇数)最大
2 2

等比数列

an ? q(n ? 2, an ? 0, q ? 0) ? {an } 成等比数列。 一 定义: an ?1
1

二 通项公式: a n

? a1q n?1 , an ? am q n ? m

数列{an}是等比数列的一个等价条件是:

Sn ? a(bn ? 1), (a ? 0, b ? 0, 1 ) 当 q ? 0 且 q ? 0 时, a n 关于 n 的图像是指数函数图像的分
点表示形式。

(q ? 1) ? na1 ? n 三 前 n 项和: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an ?1q ;(注意对公比的讨论) ? ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?
四 性质结论: 1. a 与 b 的等比中项 G ? G ? ab ? G ? ? ab ( a, b 同号);
2

2.在等比数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; 若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? a p ;
2

3.设 A ? a1 ? a2 ??? an, , B ? an ?1 ? an ? 2 ??? a2 n ,

C ? a2n?1 ? a2n?2 ??? a3n , 则有 B2 ? A ?C

求通项公式 an 的基本方法 一. 构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。 第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,

a n ?1 ? 1 ? an ? 1, 2a n ?1 ? 1 1 1 1 两 边 取 倒 数 ? ?2? ?{ } 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 a n ?1 ? 1 an ? 1 an ? 1
例如:

?

1 1 ? ? 2(n ? 1) ,从而求出 an 。 a n ? 1 a1 ? 1
第二类:

(n2 ? 1)an ? n2 an ?1 ? n(n ? 1) ?

n ?1 n ? n ?1 ? an ? 是公差为 1 的等差数列 an ? an?1 ? 1 ? ? n n ?1 ? n ? n ?1 1?1 2n ? an ? a1 ? an ? n 1 n ?1
二。递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。 例如 an ? na n ?1 ?a n ?n n ? ? 1a ?n
?2

? ???? an ? n a! 1

1】 【注: n! ? n(n ?1)( n ?2) ?
求通项公式 an 的题,不能够利用构造等比或者构造等差求 an 的时候,一般通过递推来求 an 。

2

求前 n 项和 S n 一 裂项相消法: 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1 1 1 1 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ( n n ? 1) 1 ,2 ,3 ,4 ,?的前n和是: 3 9 27 81 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )、 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n ?1 (+ 1 2+ 3+ 4+ ? )+ ( + + + ? ? ) 1 1 n 3 9 27 81 ? ? ? 1 n ?1 n ?1 二 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 求:

Sn =x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ?(2n-1)x n (x ? 1)
Sn =x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1) ① xSn =x 2 ? 3x 3 ? 5x 4 ? ? (2n-5)x n-1 ? (2n-3)x n ? (2n-1)x n+1 (x ? 1) ② ①减②得:

(1 ? x)Sn =x ? ? 2x 2 ? 2x 3 ? ? ? 2x n-1 ? 2x n ? ? ? 2n ? 1? x n+1 ?x? 2x 2 ?1 ? x n-1 ? 1? x ? ? 2n ? 1? x n+1

从而求出 S n 。 错位相减法的步骤: (1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比 q,得到②式 (3)用① ? ②,错位相减 (4)化简计算 三 倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法 例:等差数列求和:

Sn =a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n Sn =a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 3 ? a 2 ? a1
2Sn = ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a1 ? a n ? ? n ? a 1 ? a n ? ? Sn
两式相加可得:

3

第二部分 数列通项公式的求和方法

一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

an?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 以 1 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, 得 n ? 1 ? (n ? 1) , ? ? 1 为首项, n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解:an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 两边除以 2n?1 ,得
n

二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 (n ? 1) n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n 。
2

,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 3 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1
n







an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



4

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3 ? n ? 1.
n

例4

,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1
n n

解: an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 两边除以 3 则

n ?1

,得

an?1 an 2 1 , ? ? ? 3n?1 3n 3 3n?1

an?1 an 2 1 ,故 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a1 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? )? n ?2 ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 31 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:因为 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
n

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

5

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n( n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1)? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) 所以 an ?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 ? nan 用②式-①式得 an ?1 ? an ? nan . 则 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) ② ①



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an ?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ?? ? 4 ? 3]a2 ? a2 . an ?1 an ? 2 a2 2

所以 an ?



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an ? 四、待定系数法

n! 。 2

n! . 2

例 7 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ? an ? 的通项公式。
n

解:设 an ?1 ? x ? 5

n ?1

? 2(an ? x ? 5n )
6



将 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 代入④式, 得 2an ? 3 ? 5 ? x ? 5
n
n

n ?1

? 2an ? 2 x ? 5n , 等式两边消去 2an ,

得 3? 5 ? x ? 5
n

n ?1

x ? 2 x则 , x? ?代 1,入 ④ 式 得 ? 2 x ? 5n , 两 边 除 以 5n , 得 3 ? 5


an ?1 ? 5n ?1 ? 2(an ? 5n )

由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则
1
n

an ?1 ? 5n ?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
例 8 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an ?1 ? x ? 2

n ?1

? y ? 3(an ? x ? 2n ? y )



将 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 代入⑥式,得
n

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n ?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2 ? 4 ? y ? 3x ? 2 ? 3 y 。
n n

令?

?5 ? 2 x ? 3 x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,
1

得 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,则
n

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2
1

故数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n

因此 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 13 ? 3
n

n ?1

,则 an ? 13 ? 3
2

n ?1

? 5 ? 2n ? 2 。

例 9 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

7

解:设 an ?1 ? x(n ? 1) ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z )
2 2



将 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入⑧式,得
2

2an ? 3n 2 ? 4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn 2 ? yn ? z ) ,则 2an ? (3 ? x)n 2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2 z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 xn ? 2 yn ? 2 z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ? 2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an ?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n 2 ? 10n ? 18)
2


2

由 a1 ? 3 ?1 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n ? 10n ? 18 ? 0



an ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 an ? 3n 2 ? 10n ? 18

a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n? 4 ? 3n2 ? 10n ? 18 。
五、对数变换法 例 10 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2 ? 3 ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。
n 5

解:因为 an ?1 ? 2 ? 3 ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an ?1 ? 0 。在 an ?1 ? 2 ? 3 ? an 式两边取
n 5

n

5

常用对数得 lg an ?1 ? 5lg an ? n lg 3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y )



11 ○

? lg ? 2 x n( ? 将⑩式代入○ 11 式 , 得 5 lgan ? n lg 3

? 1)y ?

5(lg an ? xn ? y , 两 ) 边消去

5 lgan 并整理,得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则
8

lg 3 ? x? ? ?lg 3 ? x ? 5 x ? 4 ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11 式,得 lg an ?1 ? 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 式, ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4



lg an ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的等 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n?1 比数列,则 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 4 1 6 1 4 n ?1 n 4

? (lg 7 ? lg 3 ? lg 3 ? lg 2 )5 ? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5
1 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n ?1

? lg 3 ? lg 3 ? lg 2
1 16 1 4

n 4

1 16

1 4

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 1 1

? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7
5 n ?1

?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16 5
n?1

?2
?1

5n?1 ?1 4

)

? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

?3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4



六、迭代法
3( n ?1)2 ,a1 ? 5 ,求数列 {a } 的通项公式。 已知数列 {a } 满足 an ?1 ? an
n n

n

例 11

解:因为 an ?1 ? a

3( n ?1)2n n

3 n ?2 3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ,所以 an ? an ?1 ?2

n?1

n?2

n?1

9

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2 3( n ? 2)?2 ? [ an ?3
3

2

( n ? 2 ) ? ( n ?1)

n ?3

]3

2

( n ?1)?n?2( n?2 )?( n?1)
( n ?3)? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3

??
3 ? a1
n ?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)? n?21? 2???? ( n?3)? ( n? 2 )?( n?1)
n ( n ?1) 2

?a

3n?1 ?n !?2 1

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


n

3( n ?1)2 评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an ?1 ? an

两边取常用对数得 lg an ?1 ? 3(n ? 1) ? 2 ? lg an , 即
n

lg an ?1 ? 3(n ? 1)2n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

lg an lg an?1 lg a3 lg a2 3n?1 ?n!?2 lg an ? ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg5 lg an?1 lg an?2 lg a2 lg a1


, 从

an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 求数列 {an } 的通项公式。 ,a1 ? , 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

10

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ? 1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1) 2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2 (2 ?1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1) 2 9 (2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1) 2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

八、换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 求数列 {an } 的通项公式。 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 16

11

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn ?1 ? (bn ? 3)
2 2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0 则 2bn ?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ?2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n?2 ? 3 ,得 2 2 2

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3
九、不动点法(三种情况) 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ?20 x ? 的 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 4x ? 1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( ) n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n ?1 ? 1 9

?3。

12

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

因为 an ?1 ? 1 ?

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3

13

第三部分 数列练习题
成绩: 一、填空题 1. 各项都是正数的等比数列{an},公比 q ? 1,a5,a7,a8 成等差数列,则公比 q= 2. 已知等差数列{an},公差 d ? 0,a1,a5,a17 成等比数列,则

a1 ? a5 ? a17 = a 2 ? a6 ? a18

3. 已知数列{an}满足 Sn=1+

1 a n ,则 an= 4
2

4.已知二次函数 f(x)=n(n+1)x -(2n+1)x+1,当 n=1,2,…,12 时,这些函数的图像在 x 轴上 截得的线段长度之和为 5.已知数列{an}的通项公式为 an=log(n+1)(n+2),则它的前 n 项之积为 n-1 2 6.数列{(-1) n }的前 n 项之和为 7.一种堆垛方式,最高一层 2 个物品,第二层 6 个物品,第三层 12 个物品,第四层 20 个 物品,第五层 30 个物品,…,当堆到第 n 层时的物品的个数为 8.已知数列 1,1,2,…,它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项 相加而得到,则该数列前 10 项之和为 9.在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的 这两个数的等比中项为 10.已知整数对的序列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4) ,……,则第 60 个数对为 11.设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 a5=20-a16,则 S20=___________. 12. 若 {an} 是等比数列, a4·a7= -512, a3+ a8=124, 且公比 q 为整数, 则 a10 等于___________. 2 13.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,a1 a2… an=n 恒成立,则 a3+ a5=___________. 14.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1) n ?1 -na n +an+1 an=0(n=1,2,3,…) , 则它的通项公式是 an=___________. 二.解答题 n n 1.已知数列{an}的通项公式为 an=3 +2 +(2n-1),求前 n 项和。 2 .已知数列 {an} 是公差 d 不为 零的等差数列,数 列 {abn} 是 公比 为 q 的等 比数列, b1=1,b2=10,b3=46,,求公比 q 及 bn。 3.已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相等,且都等于 d(d>0,d ? 1),a1=b1 , a3=3b3,a5=5b5,求 an,bn。 4. 有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36, 求这四个数。 5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7 =15,a2 a4 a6=45,求{an}的通项公式. 6.在等差数列{an}中,a1=13,前 n 项和为 Sn,且 S3= S11,求 Sn 的最大值.

a2

2

14

参考答案
一、填空题
1? 5 2 1.

26 2. 29
1 ? S n ? 1 ? an ? ? 4 ? 1 1 1 ?S ? 1 ? 1 a a n ? a n?1 a n ?1 n ?1 n ?1 ? 4 ? 4 ,相减得an= 4 故an=- 3
x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

4 1 n (? ) 3. 3 3

12 4. 13
5. log2(n+2)

n(n ? 1) 2 6. (-1)
n-1

7. n +n 8. 978 9. ? 6 3 10.(5,7) 规律: (1)两个数之和为n的整数对共有n-1个。 (2)在两个数之和为n的n-1个整数对中,排 列顺序为,第1个数由1起越来越大,第2个数由n-1起来越来越小。设两个数之和为2的数对 方第1组,数对个数为1;两个数之和为3的数对为第二组,数对个数2;…… ,两个数之和为 n+1的数对为第n组,数对个数为 n。 ∵ 1+2+…+10=55,1+2+…+11=66 ? ∴ 第60个数对在第11组之中的第5个数,从而两数之和为12,应为(5,7)

2

20?a1 ? a 20 ? 2 11.200.a 1+ a 20= a 5+a 16=20,∴S20= =10×20=200.
12.512.∵ a 3+ a 8=124,又a 3 · a 8= a 4· a 7=-512, 2 故a 3, a 8是方程x -124x-512=0的两个根. 于是,a 3=-4,a 8=128,或a 3=128,a 8=-4. 由于q为整数,故只有a 3=-4,a 8=128 因此-4·q5=128,q=-2.所以a10= a 8·· q2=128×4=512.

61 13. 16 . a 1 a 2…a n=n2,∴a 1 a 2…a n-1 =(n-1)2.

15

61 ? n ? ?3? ?5? an ? ? ? ? ?? ? ? ? 16 . ?4? ? n ? 1 ? (n≥2) 两式相除,得 .所以,a 3+ a 5= ? 2 ?

2

2

2

1 14. n .所给条件式即(a n+1 a n)[(n+1)a n+1-n a n]=0,由于a n+1 a n>0,所以(n+1)
a n+1= na n,

1 又a 1=1,故na n=(n-1)a n-1=(n-2)a n-2=…=2a 2= a 1=1,∴a n= n .
二、解答题 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 1. Sn=a1+a2+…+an=(3 +2 +1)+(3 +2 +3)+ …+[3 +2 +(2n-1)]=(3 +3 +…+3 )+(2 +2 +…

3(1 ? 3 n ) 2(1 ? 2 n ) n(1 ? 2n ? 1) 3 n ?1 7 ? ? ? ? 2 n ?1 ? n 2 ? n 1? 2 2 2 2 2 )++[1+3+…+(2n-1)]= 1 ? 3
2.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d) =a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项,及abn=ab1·4 =3d·4 ,a1+(bn-1)d=3d·4
n-1 n-1 n-1 n-1 2

∴bn=3·4 -2 2 2 3.∴ a3=3b3 , ?a1+2d=3a1d , ?a1(1-3d )=-2d ①

?a5=5b5, ?a1+4d=5a1d4 , ∴

a1(1-5d )=-4d

4



1 5 1 ? 5d 4 2 2 2 ②/①,得 1 ? 3d =2,∴ d =1或d = 5 ,由题意,d= 5 ,a1=- 5 。
5 n-1 bn=a1d =- 5 ·( 5 )
n-1

5 ∴an=a1+(n-1)d= 5 (n-6)

a , a, aq,2aq ? a 4.设这四个数为 q



?a ? ·a ? aq ? 216 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a ) ? 36 ?

① ②
由①,得a =216,a=6
3



③代入②,得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3,6,12,18 5、∵a1+a7=2a4, ∴3a4= a1+a4+a7=15,a4=5. ∵a2 a4 a6=45, ∴a2 a6=9. 设{an}的公差为d, 则(a4-2d) (a4+2d)9, 即(5-2d) (5+2d)=9, ∴d= ±2.
16

——3分 ——4分

——7分

因此,当d= 2时,an= a4+(n-4)d=2 n-3, 当d= -2时,an= a4+(n-4)d=-2 n+13, 6、∵ S3= S11,

——9分

3? 2 11 ? 10 d ? 11a1 ? d 2 ∴3 a1+ 2 .
又a1=13, ∴8×13+52d=0 解得d= -2. ∴an= a1+(n-1) 7、d = -2 n+15.

——3分

——5分 ——7分

?a n ? 0, ?? 2n ? 15 ? 0 13 15 ? ? a ? 0 . ? 2 ( n ? 1 ) ? 15 ? 0 由 ? n ?1 即? ,解得 2 ≤n≤ 2 .
由于 n ? N ,故n=7. ∴当n=7时,Sn最大,最大值是 ——10分

S 7 ? 7a1 ?

7?6 7?6 ?? 2? ? 49 ? d ? 7 ? 13 ? 2 2 .

——13分

17


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