高一数学人教a版必修1课件 1.3.2 集合的基本运算


第一章

集合与函数概念

1.1

集合

1.1.3

集合的基本运算

第2课时 补集及集合的综合应用

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.理解在给定集合中一个子集 的补集的含义与性质是本节的重 点,一定要重点掌握. 2.并集、交集、补集的运算 以及利用Venn图表达集合的关系 与运算是考试的重点又是难点, 在学习时要用心哦.

研 习 新 知

? 新知视界 ? 1.全集 ? 一般地,如果一个集合含有我们所研究问 题中所涉及的所有元素,我们就称这个集 合为全集,记作U.

2.补集 自然 语言 符号 语言 图形 语言 对于一个集合A,由全集 U中不属于A的 所有元素组成的集合称为集合 A相对于 全集 U的补集,记作? UA ? UA={x|x∈ U,x? A}

? ? ? ? ? ?

3.补集的性质 (1)?U?=U; (2)?UU=?; (3)?U(?UA)=A; (4)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U; (5)(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B).

思考感悟 (1)全集一定包含任何一个元素吗? 提示: 全集仅包含我们研究问题所涉及的全部 元素,而非任何元素. (2)? AC与? BC相等吗? 提示: 不一定.若 A=B,则? AC=? BC,否则 不相等.

? 自我检测 ? 1 .设全集 U = {1,2,4,8} , B = {2,4} ,则 ? UB =( ) ? A.{1} B.{8} ? C.{1,8} D.? ? 答案:C

? 2 .已知全集 U = {0,1,2} ,且 ? UA = {2} ,则 集合A的真子集共有( ) ? A.3个 B.4个 ? C.5个 D.6个 ? 解析:∵U={0,1,2},且?UA={2}, ? ∴A={0,1}.∴A的真子集是{0},{1},?共 3个,故选A. ? 答案:A

? 3.设集合S={三角形},A={直角三角形}, 则?SA=__________. ? 解析:三角形中去掉直角三角形,∴?SA= {斜三角形}. ? 答案:{斜三角形}

? 4 .设全集 U = R ,集合 X = {x|x≥0} , Y = {y|y≥1},则 ? ?UY与?UX包含关系?UX__________?UY. ? 解析:∵X={x|x≥0},Y={y|y≥1}, ? ∴ ? UX = {x|x<0} , ? UY = {y<1} , ∴ ? UX? ?UY. 答案:?

5.已知全集 U= {2,3, a2+2a-3},若A = {b,2},? UA= {5},求实数a和b的值.
2 ? ?a + 2a- 3= 5, 解析: 由题意知? ? ?b= 3.

?? a+ 4??a- 2?= 0 ? ∴? ? ? b= 3

?a= 2或 a=- 4 ? ,∴? ? ?b= 3



? ?a=- 4或 2 ∴所求 a, b的值为? ? ?b= 3

.

答案: a=- 4或 2,b= 3

互 动 课 堂

? 典例导悟 ? 类型一 补集的运算 ? [ 例 1] 设 U = {x|2<|x|≤5 , x∈Z} , A = {x|x2 -2x-15=0},B={-3,3,4},求?UA,?UB.

? ? ? ? ? ?

[解] 法1:∵2<|x|≤5,且x∈Z, 则x的值为-5,-4,-3,3,4,5; 方程x2-2x-15=0的解为5,-3, ∵A={5,-3},B={-3,3,4}, U={-5,-4,-3,3,4,5}, ∴?UA={- 5,-4,3,4},?UB={-5, -4,5}.

法 2:可用 Venn图如图 1表示

图1 [点评 ] 先化简集合 U和集合 A,然后根据定义 求解.

? 变式体验1 已知全集U,集合A= {1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8},?UB= {1,4,6,8,9},求集合B.

解:借助 Venn图,如图 2所示,

图2 得 U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∵? UB={1,4,6,8,9}, ∴ B={2,3,5,7}.

? 类型二 交、并、补的综合运算 ? [例2] 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|- 2<x<3} , B = {x| - 3<x≤3} .求 ? UA , A∩B , ?U(A∩B),(?UA)∩B. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息:①全 集U,集合A、B均为无限集;②所求问题为 集合间交、并、补运算.解答此题可借助 数轴求解.

图3

? [解] 把全集U和集合A,B在数轴上表示如 图 3: ? 由图可知?UA={x|x≤-2或3≤x≤4}, ? A∩B={x|-2<x<3}, ? ?U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4}, ? (?UA)∩B={x|-3<x≤-2或x=3}. ? [点评] 求解用不等式表示的数集间的集合 运算时,一般要借助于数轴求解,此法的 特点是简单直观,同时要注意各个端点的

? 变 式 体 验 2 已 知 集 合 A = {x|x<a} , B = {x|1<x<2} ,且 A∪(?RB) = R , 则实 数 a 的取 值范围是( ) ? A. a≤2 B.a<1 ? C. a ≥ 2 D.a>2

解析: ∵B={x|1<x<2},∴? RB={x|x≤ 1或 x≥ 2}. 由 A∪(? RB)= R,如图 4所示.

图4 可知 a≥ 2.

答案:C

? 类型三 Venn图的应用 ? 有些集合问题比较抽象,解题时若借助 Venn 图进行分析或利用数轴、图象采取数 形结合的思想方法,往往可将问题直观化、 形象化,使问题简捷地获解.

? [例3] 已知集合U={x|x是不大于30的质数}, A , B 是 U 的两个子集,且满足 A∩(?UB) = {5,13,23} , B∩(?UA) = {11,19,29} , (?UA)∩(?UB)={3,7},求集合A,B. ? [分析] 结合Venn图可把全集U划分为如下 四部分,全集U中的任一元素必在且只在图 5四部分之一中,由题意可知11、13不在前 三部分内,必然在A∩B内.

A∩ ? UB

B∩? UA

? UA∩? UB 或? U? A∪ B? 图5

A∩ B

[解]

∵U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},

A∩(? UB)={5,13,23},B∩(? UA)= {11,19,29}, (? UA)∩ (? UB)=?U(A∪B)= {3,7}, ∴如图 6所示,元素 2,17应在 A∩B中.

图6 ∴ A={2,5,13,17,23}, B={2,11,17,19,29}.

? 变式体验3 如图7(1)所示,设U为全集,M, P , N 是 U 的三个子集,则图中阴影部分表 示的集合是( ) ? A.(M∩P)∩N B.(M∩P)∪N ? C.(M∩P)∩(?UN) D.(M∩P)∪(?UN)

图7

? 解析: 首先我们画出 M∩P 帮助我们思考, 如图 7(2) ,再结合图 7(1) ,我们发现图中阴 影部分为M∩P去掉被集合N覆盖的部分,换 句话说即是与 ? UN 做交运算.从而图 7(1) 中 阴影部分表示的集合为(M∩P)∩(?UN),故选 C. ? 答案:C

? 点评: 对于给定集合求阴影部分所表示的 集合问题,可先确定两个主要的集合运算, 对于去掉的部分可用与补集相交的方法来 解决. ?

? 思悟升华 ? 1.全集是相对于研究问题而言的一个相对 概念,它含有与所研究问题有关的各个集 合的全部元素,因此,全集因研究问题而 异.例如在研究数集时全集概念:在整数 范围内研究问题,则Z为全集;而当问题扩 展到实数集时,则 R 为全集,这时 Z 就不是 全集.在立体几何中,三维空间是全集, 这时平面是全集的一个子集.而在平面几 何中,整个平面可以看做是一个全集.

? 2 .补集符号: ? UA 表示 U 为全集时 A 的 补集,如果全集换成其他集合 ( 如 R) 时, 则记号中“ U” 也必须换成相应的集合 (即?RA). ? 3 .集合运算问题多与方程、函数、不 等式等有关,在求解时,要注意等价转 化思想的运用.常将集合化简或转化为 熟知的代数、几何问题等. ? 4 .处理集合的有关问题时,首先要将 集合进行简化,在交、并、补的运算中, 最容易被忽视、最常出错的地方是空


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