2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题5 点列、递归数列和数学归纳法(教师版)


2014 福建高考文科数学第二轮专题复习 专题 5 点列、递归数列和数学归纳法

★★★高考在考什么
【考题回放】 1.已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an -1),则 a2 等于( A ) A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 ( ) n (n ? N * ) , S10 ? ? a 2. 在数列 {an } 中, 1 ? 1, a2 ? 2 , an ? 2 ? an ? 1 ? 1 且 则 3.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=__2
n

35 .

n+1

-3___.

4.对正整数 n,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 {

an 2n+1-2 . } 的前 n 项和的公式是 n ?1 n n ?1 5.已知 n 次式项式 Pn ( x) ? a0 x ? a1 x ? ? ? a n ?1 x ? a n .
若在一种算法中,计算 x0 (k ? 2,3,4, ?, n) 的值需要 k-1 次乘法,计算 P3(x0)的
k

值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法),则计算 P10(x0)的值共需要 65 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1, 2,…,n-1).利用该算法,计算 P3(x0)的值共需要 6 次运算,计算 Pn(x0)的值共 需要 2n 次运算. 6.已知函数 f (x)= x ? x ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后各项按如下
3 2

方式取定:曲线 x=f (x)在 ( x n ?1 , f ( x n ?1 )) 处的切线与 经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图). 求证:当 n ? N 时,
*

y

(Ⅰ) x n ? x n ? 3x n ?1 ? 2 x n ?1 ;
2 2

(Ⅱ) ( )

1 2

n ?1

1 ? xn ? ( ) n?2 . 2
' 2
2

【专家解答】(I ) 证明:因为 f ( x) ? 3x ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn ?1 , f ( xn ?1 )) 处的切线斜率 kn ?1 ? 3x n?1 ? 2 xn ?1.
2 2 2

x

即 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn , 以 xn ? xn ? 3xn ?1 ? 2 xn ?1 . (II)因为函数 h( x) ? x ? x ,当 x ? 0 时单调递增,
2

而 xn ? xn ? 3xn ?1 ? 2 xn ?1 ? 4 xn ?1 ? 2 xn ?1 ? (2 xn ?1 ) ? 2 xn ?1 ,
2 2 2 2

所以 xn ? 2 xn ?1 ,即

xn ?1 xn

?

1 2

,

因此 xn ?

xn

xn ?1 xn ?2

?

xn ?1

?????

x2

1 ? ( ) n ?1. x1 2

《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 1 页(共 10 页)

又因为 xn ? xn ? 2( x n?1 ? xn ?1 ),
2 2

令 yn ? xn ? xn ,
2



yn ?1 yn

?

1 2

.

因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2,
2

1 1 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ? 2 . 2 2
故 ( )n ?1 ? xn ? ( ) n ?2 .

2 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) n ? 2 ,

1 2

1 2

1 2

★★★高考要考什么
【考点透视】 本专题是等差(比)数列知识的综合应用,同时加强数学思想方法的应用,是历年 的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则. 【热点透析】 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型: (1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、 推理与综合能力. (2)给出 Sn 与 an 的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力. (3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁 移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列.

★★★突破重难点
【范例 1】已知数列 ?a n ?中,对一切自然数 n ,都有 an ? ?0, 1? 且
2 a n ? a n?1 ? 2a n?1 ? a n ? 0 . 1 求证:(1) a n?1 ? a n ; 2 (2)若 S n 表示数列 ?a n ?的前 n 项之和,则 S n ? 2a1 .

解析: (1)由已知 a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 ? a n ? 0 得 a n ?
2 2

2a n?1
2 1 ? a n?1



又因为 an ? ?0, 1? ,所以 0 ? 1 ? a n ?1 ? 1 , 因此 a n ? 2a n ?1 ,即 a n?1 ?

1a . 2 n 1 1 1 1 (2) 由结论(1)可知 a n ? a n?1 ? 2 a n?2 ? ? ? n?1 a1 ,即 a n ? n?1 a1 , 2 2 2 2 ? 1? 1 ? ? 2 ? 1 1 于是 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a1 ? ? ? n?1 a1 ? a1 ? ? ? 2a1 , 1 ? 2 2 ? 1? ? ? 2 ? 即 S n ? 2a1 .
2

《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 2 页(共 10 页)

【点睛】从题目的结构可以看出,条件 a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 ? a n ? 0 是解决问题的关
2

键,必须从中找出 a n ?1 和 a n 的关系. 【文】 {a n }满足a1 ? 1且8a n ?1 a n ? 16 a n ?1 ? 2a n ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ? (Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {a n bn } 的前 n 项和 S n .

1 1 an ? 2

(n ? 1).

1 1 得a n ? ? , 代入递推关系8a n ?1 a n ? 16 a n ?1 ? 2a n ? 5 ? 0, 1 bn 2 an ? 2 4 6 3 4 ? ? ? 0,即bn ?1 ? 2bn ? , 整理得 bn ?1bn bn ?1 bn 3 8 20 由a1 ? 1, 有b1 ? 2, 所以b2 ? , b3 ? 4, b4 ? . 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ), b1 ? ? ? 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列, 故 3 3
解析(I) bn ?

1

4 1 n 1 4 ? ? 2 , 即bn ? ? 2n ? (n ? 1). 3 3 3 3 1 1 由bn ? 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2 1 故Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 1 (1 ? 2n ) 5 1 3 ? ? n ? (2n ? 5n ? 1). 1? 2 3 3 bn ?
【范例 2】设数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?
n 2n 3 , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? ? Sn 2 i ?1

4 1 2 ? a n ? ? 2n?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? 3 3 3

4 1 2 解析 (Ⅰ)由 Sn= an- × n+1+ , n=1,2,3,… 2 3 3 3 4 1 2 得 a1=S1= a1- × 4+ 所以 a1=2. 3 3 3



《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 3 页(共 10 页)

4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- × n+ , n=2,3,4,… 2 3 3 3 4 1 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- × n+1-2n), n=2,3, … (2 3 3 - 整理得: an+2n=4(an-1+2n 1),n=2,3, …, 因而数列{an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的 n n-1 等比数列,即 an+2 = 4× 4 = 4 n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, … 4 1 2 1 2 (Ⅱ) Sn= × n-2n)- × n+1 + = × n+1-1)(2n+1-2) = × n+1-1)(2n-1) (4 2 (2 (2 3 3 3 3 3 2n 3 2n 3 1 1 Tn= = × n+1 = × n ( - n+1 ) Sn 2 (2 -1)(2n-1) 2 2 -1 2 -1 所以

? Ti = 2 ? ( 2i-1 - 2i+1-1) = 2×(21-1 - 2i+1-1) < 2 i ?1 i?1
3 1 1 3 1 1 3

n

n

【点睛】Sn 与 an 始终是我们的重点,需要我们引起重视;注意总结积累数列不等式 放缩的技巧. 【文】设数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn,若 ?S n ? 是首项为 S1 各项均为正数且公比为 q 的等比数列. (1)求数列 ?a n ?的通项公式 a n (用 S1 和 q 表示); (2)试比较 a n ? a n ? 2与2a n ?1 的大小,并证明你的结论. 当 n=1 时,a1=S1; ∴ an ? ?
n ?1 解析 (1)∵ ?S n ? 是各项均为正数的等比数列, ∴ S n ? S1 q (q ? 0) .

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? S1 (q ? 1)q n?2 .

? S1 ?S1 (q ? 1)q
n?2

(n ? 1) ( n ? 2)

(2)当 n=1 时,
3 1 ? a1 ? a3 ? 2a2 ? S1 ? S (q ? 1)q ? 2S (q ? 1) ? S1[(q ? ) 2 ? ] ? 0, ∴ a1 ? a3 ? 2a2 . 2 4 当 n ? 2 时,

an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? S1 (q ? 1)q n?2 ? S1 (q ? 1)q n ? 2S1 (q ? 1)q n ?1 ? S1 ? q ? 1? q
3

n?2

.

∵ S1 ? 0, q

n?2

? 0,

①当 q=1 时, (q ? 1)3 ? 0, ? an ? an ? 2 ? 2an ?1. ②当 0 ? q ? 1时, (q ? 1) 3 ? 0,? an ? a n? 2 ? 2a n?1 . ③当 q ? 1时, (q ? 1) 3 ? 0,? an ? an? 2 ? 2a n?1 . 综上可知:当 n=1 时, a1 ? a3 ? 2a2 .当 n ? 2 时, 若q ? 1, 则 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ; 若 0 ? q ? 1, 则 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ; 若 q ? 1, 则 an ? an ? 2 ? 2an ?1.
3 2

【范例 3】 由坐标原点 O 向曲线 y ? x ? 3ax ? bx(a ? 0) 引切线, 切于 O 以外的 点 P1 ( x1 , y1 ) ,再由 P1 引此曲线的切线,切于 P1 以外的点 P2 ( x2 , y 2 ),如此进行下去, 得到点列{ Pn ( x n , y n }}. 求:(Ⅰ) xn 与x n ?1 (n ? 2) 的关系式; (Ⅱ)数列 { x n } 的通项公式;
《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 4 页(共 10 页)

(Ⅲ)当 n ? ? 时, Pn 的极限位置的坐 解析 (Ⅰ)由题得 f ?( x) ? 3x 2 ? 6ax ? b 过点 P1( x1 , y1 ) 的切线为 l1 : y ? y1 ? f ?( x1 )( x ? x1 )( x1 ? 0),

3 3 2 2 ? l1 过原点 ??( x1 ? 3ax1 ? bx1 ) ? ( ? x1 )(3 x1 ? 6ax1 ? b), 得x1 ? a . 2 又过点 Pn( xn , yn ) 的 ln : y ? yn ? f ?( xn )( x ? xn ) ? yn?1 ? yn ? f ?( xn )( xn?1 ? xn ) 因为 l n 过点 Pn-1( xn ?1 , yn ?1 )
2 2 整理得 [ xn ?1 ? x n ?1 x n ? 2 x n ? 3a( xn ?1 ? xn )]( x n ?1 ? x n ) ? 0.

? ( xn?1 ? xn )2 ( xn?1 ? 2 xn ? 3a ) ? 0,由xn ? xn?1得xn?1 ? 2 xn ? 3a ? 0. ? xn ? ? 1 3 xn ?1 ? a ( n ? 2). 2 2

1 (Ⅱ)由(I)得 xn ? a ? ? ( xn?1 ? a ). 2

a 1 公比为 ? 的等比数列 2 2 a 1 1 ? xn ? a ? (? ) n ?1 ? xn ? [1 ? (? ) n ]a. 2 2 2
所以数列{xn-a}是以 (法 2)通过计算 x1 , x2 , x3 , x4而猜出xn ? [1 ? (? ) n ]a, 再用数学归纳法证明. (Ⅲ)? lim xn ? lim [1 ? (? 1 ) n ]a ? a, ? lim y n ? f (a) ? a 3 ? 3a 3 ? ab ? ab ? 2a 3 . n ?? n?? n?? 2 3 ?点Pn 的极限位置为( a, ab ? 2a ). 【点睛】注意曲线的切线方程 l1 : y ? y1 ? f ?( x1 )( x ? x1 ) 的应用,从而得出递推式.

1 2

1 , Sn ? n2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2 (Ⅰ)写出 S n 与 Sn ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 S n 关于 n 的表达式;
【文】数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? (Ⅱ)设 f n ? x ? ?

Sn n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . n 2 2 解析 由 Sn ? n an ? n ? n ? 1? ? n ? 2 ? 得 Sn ? n ( Sn ? Sn ?1 ) ? n ? n ? 1? ,
2 2

n ?1 n Sn ? Sn?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立. n n ?1 n ?1 n n n ?1 3 2 由 Sn ? Sn?1 ? 1 , Sn ?1 ? Sn ?2 ? 1 ,…, S2 ? S1 ? 1 n n ?1 n ?1 n?2 2 1 2 n n ?1 1 相加得 , Sn ? 2S1 ? n ? 1,又 S1 ? a1 ? ,所以 Sn ? n ?1 n 2 当 n ? 1 时,也成立.
即 (n ? 1) Sn ? n Sn ?1 ? n ? n ? 1? ,所以
《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 5 页(共 10 页)

Sn n ?1 n n ?1 x ? x ,得 bn ? f n/ ? p ? ? np n . n n ?1 2 3 n ?1 n 而 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? (n ? 1) p ? np ,
(Ⅱ)由 f n ? x ? ?

pTn ? p 2 ? 2 p3 ? 3 p 4 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n?1 ,

p(1 ? p n ) ? np n ?1 . 1? p 2 n ?1 【范例 4】设点 An ( xn ,0), Pn ( xn , 2 ) 和抛物线 Cn :y=x +an x+bn(n∈N*), 1 其中 an=-2-4n- n?1 , xn 由以下方法得到: 2 (1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p 3 ? ? ? p n ?1 ? p n ? np n ?1 ?
x1=1,点 P2 (x2,2)在抛物线 C1:y=x +a1x+b1 上,点 A1(x1,0)到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离,…,点 Pn ?1 ( xn ?1 , 2 ) 在抛物线 Cn :y=x +an x+bn 上,点
n

2

2

An ( xn ,0)到 Pn ?1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离.
(Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程. (Ⅱ)证明{ xn }是等差数列. 解:(Ⅰ)由题意,得 A(1,0), C1:y=x2-7x+b1. 设点 P(x,y)是 C1 上任意一点,则|A1P|= ( x ? 1) ? y ?
2 2

( x ? 1) 2 ? ( x 2 ? 7 x ? b1 ) 2 .

2 令 f (x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2, 则 f ?( x) ? 2( x ? 1) ? 2( x ? 7 x ? b1 )(2 x ? 7).

由题意得 f ?( x2 ) ? 0 , 即 2( x2 ? 1) ? 2( x2 ? 7 x2 ? b1 )(2 x2 ? 7) ? 0.
2

又 P2(x2,0)在 C1 上, ∴2=x22 -7x2+b1 解得 x2=3, b1=14. 故 C1 方程为 y=x2-7x+14. (Ⅱ)设 P(x,y)是 C1 上任意一点,则 |AnP|= ( x ? xn ) ? y ?
2 2

( x ? xn ) 2 ? ( xn 2 ? an x ? bn ) 2 .
2 2

令 g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则 g ?( x) ? 2( x ? xn ) ? 2( x ? an x ? bn )(2 x ? an ) , 由题意得, g ?( xn ?1 ) ? 0 ,即 2( xn ?1 ? xn ) ? 2( xn ?1 ? an xn ?1 ? bn )(2 xn ?1 ? an ) =0, 又∵ 2 ? xn ?1 ? an xn ?1 ? bn ,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),
n 2

即(1+2n+1)xn+1- xn+2 n an =0, (*) 下面用数学归纳法证明 xn=2n-1. ① 当 n=1 时,x1=1,等式成立. ② 假设当 n=k 时,等式成立,即 xk=2k-1. 则当 n=k+1 时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, 又 ak=-2-4k-

(*)

1 2
k ?1

,∴ xk ?1 ?

xk ? 2 ak ? 2k ? 1 . 1 ? 2k ?1
k

即当 n=k+1,时等式成立. 由①②知,等式对 n∈N+成立,∴{xn}是等差数列. 【点睛】注意第(1)小题其实是第(2)小题的特例,对于求数列的通项公式,归 纳猜想证明是十分常用的手段. 【文】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ).
*

《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 6 页(共 10 页)

(I)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ? 1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.

解析 (I)证明:? an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an ,

? an? 2 ? an?1 ? ( an?1 ? an) , 2

? a1 ? 1, a2 ? 3,

?

??an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
(II)解:由(I)得 an ?1 ? an ? 2 (n ? N ),
n *

an ? 2 ? an ?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
n ? 2n?1 ? 2? 2? ? . ? ? . . 2 n ? n 2 N 1* ( 1 ?

) .
① ②

(III)证明:? 4 1 4 2 ...4 n

b ?1 b ?1

b ?1

? (an ? 1)bn ,

? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn ,

? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.
②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ ④
*

nbn? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn ? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0,

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N ),

??bn ? 是等差数列.

即 bn? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0,

★★★自我提升
S1 ? S2 ? ? ? Sn a …, , Tn 为数列 a1 , 2 , 称 n an 的“理想数”, a …, a ……, 已知数列 a1 , 2 , a500 的“理想数”为 2004, 那么数列 2, a1 , 2 ,
1. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , Tn ? 令

a500 的“理想数”为(A)
(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008 2. 数学拓展课上,老师定义了一种运算“*”,对于 n∈N*满足以下运算性质: (1) 2*2 = 1,(2) ( 2n + 2) * 2 = 3(2n * 2).则 2n*2 用含 n 的代数式表示为 3n-1_

1 ? 0 ? an ? ; ? 2an , 6 ? 2 若 3. 若数列{an}满足 an ?1 ? ? a1 ? ,则 a20 的值为( B ) 7 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1. n n ? 2 ? 6 5 3 1 (A) (B) (C) (D) 7 7 7 7 4. 弹子棋共有 60 颗大小相同的球形弹子, 现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛, 使剩下的弹子尽可能少,那么剩余的弹子有(B) (A)0 颗 (B)4 颗 (C)5 颗 (D)11 颗
《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 7 页(共 10 页)

5. 一个机器猫每秒前进或后退一步, 程序设计人员让机器猫以每前进 3 步, 然后再 后退 2 步的规律移动;如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步的距 离为 1 个单位长,令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标,且 P(0)=0,那 么下列结论中错误的是( C) (A)P(3)=3 (B)P(5)=1 (C)P(101)=21 (D)P(103)<P(104) 6. 已知函数 f(x) = 2x2-x,则使得数列{

f (n) }(n∈N+)成等差数列的非零常数 p 与 pn ? q

q 所满足的关系式为 .p=-2q 7. (理) 已知 x 轴上有一点列:P1(x1,0), P2(x2,0), …,Pn(xn,0),…点 Pn+2 分有向线段

Pn Pn ?1 所成的比为 λ,其中 n∈N*,λ>0 为常数,x1=1, x2=2.
(1)设 an=xn+1-xn,求数列{a n}的通项公式; (2)设 f (λ)= lim x n,当 λ 变化时,求 f (λ)的取值范围.
n ??

解析 (1)由题得 xn ? 2 ?

又a1 ? x2 ? x1 ? 1,
∴ an ? (?

xn ? ? xn?1 x ?x a ,? an?1 ? xn? 2 ? xn?1 ? n n?1 ? ? n 1? ? 1? ? 1? ? 1 ∴{an}是首项为 1,公比为 ? 的等比数列, 1? ?

1 n ?1 ) 1? ? (2) ? xn ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ? ? ( xn ? xn ?1 ) ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1.

1 1 2? ? 3 |? 1.? lim xn ? 1 ? ? . n ?? 1 1? ? ??2 1? 1? ? 2 ( ? 2? 1 ? ) 1 3 ∴当λ>0 时 f (? )? ? 2 ? ? ( , 2) ??2 ?? 2 2 又? ? 0,?| ?
(文) 设曲线与一次函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,若 f (-1)=0,且点

Pn (n ? 1,

an ?1 ) 在曲线上,又 a1= a2. an

(1)求曲线 C 所对应的函数解析式; (2)求数列{a n}d 的通项公式. 解析:(1)y=x-1 (2) a n=(n-1)! 8.(理)过 P(1,0)做曲线 C:y=xk(x?(0,+?),k?N+,k>1)的切线,切点为 Q1, 设 Q1 在 x 轴上的投影为 P1,又过 P1 做曲线 C 的切线,切点为 Q2,设 Q2 在 x 轴上的投 影为 P2,…,依次下去得到一系列点 Q1、Q2、Q3、…、Qn 的横坐标为 an,求证: (Ⅰ)数列{an}是等比数列; (Ⅱ) a n ? 1 ?
n

n ; k ?1

(Ⅲ)

n i ? k 2 ? k (注 :? ai ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ). ?a i ?1 i i ?1
k ?1
k , 若切点是 Qn (a n , a n ) ,

解:(Ⅰ) y ? ? kx

《专题 5 点列、递归数列和数学归纳法》 第 8 页(共 10 页)

则切线方程为 y ? a n ? kan ( x ? a n ).
k

k ?1

当 n ? 1时,切线过点 P(1,0)即 0 ? a1 ? ka1 (1 ? a1 ). 得 a1 ?
k

k ?1

k . k ?1
a n ?1 k ?1

k k ?1 当 n ? 1时,切线过点 Pn ?1 (a n ?1 ,0) 即 0 ? a n ? kan (a n ?1 ? a n ). 得 a n ? k .

∴数列 {a n } 是首项为
k ?1

k k ,公比为 的等比数列. ? an ? ( k ) n . …6 分 k ?1 k ?1 k ?1
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

0 1 2 n (Ⅱ) an ? ( k ) n ? (1 ? 1 ) n ? C n ? Cn 1 ? C n ( 1 ) 2 ? ? ? C n ( 1 ) n

1 n ?C ?C ? 1? . k ?1 k ?1
0 n 1 n

(Ⅲ)记 S n ? 则

1 2 n ?1 n , ? ??? ? a1 a 2 an an

k ?1 1 2 n ?1 n Sn ? ? ??? ? . k a 2 a3 an a n ?1 k ?1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 两式相减 (1 ? )S n ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? k a1 a 2 a3 a n a n ?1 a1 a 2 a3 an

k ?1 k ?1 n [1 ? ( ) ] k ?1 n k k ? (k ? 1)[1 ? ( ) ]. k ?1 k 1? k 1 ? k ? N ? , k ? 1,? S n ? k ? 1.? S n ? k 2 ? k . k 1 ? Sn ? k
(文)已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An ( x n , y n ) 作一斜率为 k n ? ?

1 的直 xn ? 2

线交曲线 C 于另一点 An ?1 ( xn ?1 , y n ?1 ) ,点列 An (n ? 1 , 2 , 3 , ?) 的横坐标构成数列 { x n },其中 x1 ?

11 . 7
1 1 ? }是一等比数列. xn ? 2 3

(1)求 x n 与 x n ?1 的关系式; (2)求证:{ 解析: (1) C:y ? 过

1 上一点 An ( x n , y n ) 作斜率为 k n 的直线交 C 于另一点 An ?1 , x 1 1 ? y ? yn x xn 1 1 ? n ?1 ?? ?? 则 k n ? n ?1 ,于是 x n x n ?1 ? x n ? 2 . x n ?1 ? x n x n ?1 ? x n x n ?1 ? x n xn ? 2 1 1 ? ,则 (2)记 a n ? xn ? 2 3

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1 1 1 1 1 ? ? ? ?2( ? ) ? ?2a n , x n ?1 ? 2 3 x n ? 2 3 xn ? 2 3 ?2 xn 11 1 1 因为 x1 ? , 而a1 ? ? ? ?2 ? 0 , 7 x1 ? 2 3 1 1 因此数列{ ? }是等比数列. xn ? 2 3 a n ?1 ? ?
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