黄冈中学2008年秋季高一数学期中考试试题


湖北省黄冈中学 2008 年秋季高一数学期中考试试题
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟

祝考试顺利
命题:程继承 一项是符合题目要求的. 1.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1,3,5}, B ? {2,3,5} ,则 CU ( A ? B) ? ( A. {1, 2, 4} B. {4} C. {3,5} ) 2.与命题“若 a ? M 则 b ? M ”等价的命题是( A.若 a ? M 则 b ? M C.若 a ? M 则 b ? M A. ?3 ) D. ? 校对:郑军委 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

B.若 b ? M 则 b ? M D.若 b ? M 则 a ? M ) D. ?6

3.设函数 y ? f ( x) 是奇函数,若 f (?2) ? f (?1) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? 3 ,则 f (1) ? f (2) ? ( B.3 C.6

4. 已知 a , b 为两个不相等的实数, 集合 M ? {a 2 ? 4a, ?1} , N ? {b2 ? 4b ? 1, ?2} ,映射 f : x ? x 表 示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x ,则 a ? b 等于 ( ) )

A.1 B.2 C.3 D.4 2 5.设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,如果 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) 等于( A. ?
b 2a

B. ?

b a

C. c

D.

4ac ? b2 4a

6.已知 f (x) 是 R 上的增函数,若令 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 F (x) 是 R 上的( A.增函数 C.先减后增的函数 B.减函数



D. 先增后减的函数 1 7.设函数 f(x)(x?R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)= f(x)+ f(2),则 f(5)=( 2 A.0 B.1 5 C. 2 D.5



8.直角梯形 ABCD 如图(1) ,动点 P 从 B 点出发,由 B→C→D→A 沿边运动,设点 P 运 动的距离为 x,Δ ABP 的面积为 f(x).如果函数 y= f(x)的图象如图(2) ,则Δ ABC 的面积为 ( )
D C P x A 图(1) B O 4 9 14 x y

图(2)

A.10

B.16

C.18
第1页 共4页

D.32

1 9.函数 f ( x) 在 x ? 0 处无意义,对于所有的非零实数 x 都成立 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x ,则方程 x
f ( x) ? f ( ? x) (

) B.恰好有两个实根 D.无穷多个,但不是所有的非零实数 ) D.2

A.恰好只有一个实根 C.没有实根
| f ( x ? t ) ? 1 |? 3

10.若 f (x) 是 R 上的减函数,且 f (x) 的图象经过点 A(0, 4) 和点 B (3,? 2),则当不等式 的解集为(-1,2)时, t 的值为( B.-1 C.1

A. 0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.

?1 ? x2 , x ?1 ? 1 )= 11.设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (2) ? x ? x ? 2, x ? 1 ?
12.函数 y ? 5 ? 4x ? x2 的单调递增区间是 .



13.已知 f ( x) 是一次函数,且 2 f (2) ? 3 f (1) ? 5, 2 f (0) ? f (?1) ? 1 ,则 f (1) ?
2 14.不等式 x ? | 2 x ? 4 |? p 对所有实数 x 都成立,则实数 p 的最大值为

. .

15.已知函数 f(x)在定义域内是递减函数,且 f(x)<0 恒成立,给出下列函数:①y=-5+f(x); ② y ? ? f ( x) ;③ y ? 5 ? 号是______________.
1 ;④y=[f(x)]2;其中在其定义域内单调递增的函数的序 f ( x)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?4 x ? b, 且不等式 | f ( x) |? c 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} (1)求 b 的值; (2)解不等式 (4 x ? 1) f ( x) ? 0 .

17. (本小题满分 12 分) 已知集合 P ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, Q ? {x | x 2 ? 3x ? 10} . (1)若 a ? 3 ,求 (CR P) ? Q ; (2)若 P ? Q ,求实数 a 的取值范围.

第2页

共4页

18. (本小题满分 12 分) 讨论函数 f ( x) ?
ax ? 1 1 (a ? ) 在 (?2, ??) 上的单调性. x?2 2

19. (本小题满分 12 分) 已 知 命 题 p : f ?1 ( x) 是 f ( x) ? 1 ? 3x 的 反 函 数 , 且 | f ?1 (a) |? 2 ; 命 题 q : 集 合
A ? {x | x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R} , B ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? ? ;若“ p 或 q 为真”且“ p

且 q 为假” ,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 3 如图,函数 y ? | x | 在 x ? [?1,1] 的图象上有两点 A,B,AB∥ 2

y

C M(1,m)

3 Ox 轴,点 M(1,m) (m 是已知实数,且 m ? )是△ABC 的边 2
BC 的中点. (1)写出用 B 的横坐标 t 表示△ABC 面积 S 的函数解析式 S ? f (t ) ; (2)求函数 S ? f (t ) 的最大值,并求出相应的 C 点坐标. A -1 -t

3 2
B O t

y?

3 x 2
x

1

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21. (除 8、9、10 班之外的同学做) (本小题满分 14 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ? R 时,其最小值为 0,且 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) 成立; ②当 x ? (0,5) 时, x ? f ( x) ? 2 | x ? 1| ?1 恒成立. (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m ? 1) ,使得存在 t ? R ,只要当 x ? [1, m] 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立.

21. (仅 8、9、10 班同学做(本小题满分 14 分) ) 已知定义在 R 上的函数 f (x) ,满足条件:① f ( x) ? f (? x) ? 2 ;② 对非零实数 x,都有 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x ?

1 x

1 ? 3. x

(1)求函数 f (x) 的解析式;
?1 (2)设函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? 2x ( x ≥ 0), 直线y ? 2n ? x 分别与函数 y ? g (x), y ? g ( x)

交于 An



(其中 n ? N * ) ;设 an ? Bn 两点,

An Bn , Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和,

2 2 ①求 a n 并证明 Sn ?1 ? Sn ?

2 Sn 1 ? 2; n n
S2 S3 S + + ? + n ). 2 3 n

2 ②:求证:当 n ≥ 2, Sn > 2(

注:若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

湖北省黄冈中学 2008 年秋季高一数学期中考试参考答案
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1.[答案] A 2.[答案] D 3.[答案] A 4.[答案] D
2

提示:? A ? B ? {3,5} ? CU ( A ? B) ? {1, 2, 4}

提示:原命题与其逆否命题等价 提示:由函数 y ? f ( x) 是奇函数, f (?2) ? f (?1) ? 3 ? ? f (2) ? f (1) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? 3 , 2( f (1) ? f (2)) ? ?6 ,? f (1) ? f (2) ? ?3

提示:由题得: a 2 ? 4a ? ?2, b2 ? 4b ? 1 ? ?1 ,整理得: a 2 ? 4a ? 2 ? 0 , b ? 4b ? 2 ? 0 ,所以 a , b 是方程 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,则 a ? b ? 4 b b 5.[答案] C 提示:由 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 知 x1 , x2 关于 x ? ? 对称,所以 x1 ? x2 ? ? , 2a a
b 而 f (? ) ? c . a

6.[答案] B 提示:由 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) 知 F ( x) 为奇函数,又 f (x) 是 R 上的增函数,
? F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) 为 R 上的减函数

1 7.[答案]C 提示:∵f(x)= - f(x),f(1)= ,f(1)= f(-1+2)= f(-1)+ f(2)= - f(1)+ f(2), 2 ∴f(2)=2 f(1)=1,则 f(5)= f(3)+ f(2)= f(1)+2 f(2)= 8.[答案] B 1 5 +2 = . 2 2

提示:由图(2)知 BC ? 4 , CD ? 5 , AD ? 5 ,? AB ? 8 ,

1 1 S? ABC ? ? AB ? BC ? ? 8 ? 4 ? 16 2 2

9 . [答 案 ] B

1 1 3 2 提 示 : 由 f ( x) ? 2 f ( )? 3x有 : f ( ) ? 2 f ( x) ? , ? f ( x) ? ? x , 方 程 x x x x 2 2 ? x ? 0 ,而方程 ? x ? 0 恰好有两个实根. x x 提示: | f ( x ? t ) ? 1|? 3 ? ?3 ? f ( x ? t ) ? 1 ? 3 ? ?2 ? f ( x ? t ) ? 4 ,又 f (x) 是 R

f ( x) ? f (? x)即为

10.[答案] B 上的减函数,且 f (x) 的图象经过点 A(0, 4) 和点 B (3, ?2) ? 0 ? x ? t ? 3 ,即 ?t ? x ? 3 ? t ,而不 等式 | f ( x ? t ) ? 1 |? 3 的解集为(-1,2) ?t ? 1 , 11.[答案]
15 16

提示:? f (2) ? 22 ? 2 ? 2 ? 4 ,? f (

1 1 1 15 ) ? f ( ) ? 1? ? f (2) 4 16 16

12.[答案] [?5, ?2] 间 [?5, ?2] 13 . [ 答 案 ] 1

提示:? 函数的定义域为 [ ?5,1] ,? 函数 y ? 5 ? 4x ? x2 的单调递增区

提 示 : 由 f ( x) 是 一 次 函 数 , 可 设 f ( x) ? ax ? b , 由

2 f ( 2 ) f 3 ?( 1 ) f 5 ? 2 ?( 0 ? a ? 3,(b ? ?) ,1 f ( x) ? 3x ? 2 ,? f (1) ? 1 ? , f 1 2 ? 得)

14.[答案] 3

提示:当 x ? 2 时,有 p ? x2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1)2 ? 5 ,此时函数 y ? ( x ? 1)2 ? 5 在

x ? 2 上的最小值为 4,此时 p ? 4 ;

当 x ? 2 时,有 p ? x2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1)2 ? 3 ,此时函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 3 在 x ? 2 上的最小值为 3, 此时 p ? 3 ,? 不等式 x2 ? | 2 x ? 4 |? p 对所有实数 x 都成立,则实数 p 的最大值为 3.

第5页

共4页

15.[答案]②④ ③f(x)↓ ?

提示:①↓,②中∵f(x)↓,∴-f(x)↑,故 y ? ? f ( x) ↑; ∴ y ?5?
1 ↓;④看成复合函数,y=t2 和 t=f(x),在 f ( x)

1 1 ↑, ? ↓, f ( x) f ( x)

t?(-∞,0)上 y=t2↓,t=f(x)↓,∴y=[f(x)]2 ↑;故填②④ 16.解: (1)由 | f ( x) |? c 即 | ?4 x ? b |? c 得
b?c b?c , ?x? 4 4

?b ? c ? ?1 ? ?b ? 2 ? 又 | f ( x) |? c ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 ? 4 ,故 b ? 2 ?? ?c ? 6 ?b ? c ? 2 ? 4 ?

1 1 (2) (4 x ? 1) f ( x) ? 0 ? (4 x ? 1)(2 ? 4 x) ? 0 ? ? ? x ? 4 2

1 1 ? 原不等式的解集为 (? , ) 4 2

17.解: Q ? {x | x 2 ? 3x ? 10} ? {x | ?2 ? x ? 5} (1)当 a ? 3 时, P ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} ? {x | 4 ? x ? 7} , CR P ? {x | x ? 4 或 x ? 7} (CR P) ? Q ? {x | x ? 4 或 x ? 7} ?{x | ?2 ? x ? 5} = {x | ?2 ? x ? 4} ; (2)当 P ? ? 时,即 2a ?1 ? a ?1,得 a ? 0 ,此时有 P ? ? ? Q ; 当 P ? ? 时,由 P ? Q 得: ? 2a ? 1 ? 5
? a ? 1 ? ?2 ? ? 2a ? 1 ? a ? 1 ?

解得 0 ? a ? 2 综上有实数 a 的取值范围是 (??, 2] .

18.解:设 x1 , x2 为 (?2, ??) 上任意两个不同的实数,且 x1 ? x2 则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
ax1 ? 1 ax2 ? 1 (ax1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( ax2 ? 1)( x1 ? 2) (2a ? 1)( x1 ? x2 ) ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? x1 ? ?2, x2 ? ?2, x1 ? x2 ,? x1 ? 2 ? 0, x2 ? 2 ? 0, x1 ? x2 ? 0

1 ax ? 1 1 时, a ?1 ? 0 , 此时 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 此时函数 f ( x) ? (a ? ) 2 2 x?2 2 为 (?2, ??) 上单调递增函数;

当a ?

1 ax ? 1 1 时, a ?1 ? 0 , 此时 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 此时函数 f ( x) ? (a ? ) 2 2 x?2 2 为 (?2, ??) 上单调递减函数;

当a ?

19.解:由题意得可求 f

1? x ( x ? R) 3 1? a 1? a ?1 | ,? | |? 2 ,解得 ?5 ? a ? 7 当 P 为真时,则 | f (a) |?| 3 3
?1

( x) ?

当 A ? B ? ? 则方程 x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 无正根,可分为以下几种情况
2

1? 方程无根,则 ? ? (a ? 2)2 ? 4 ? 0 ,即 ?4 ? a ? 0

? ? ? ( a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ?a ? ?4或a ? 0 2? 方程有两负根,则 ? ,即 ? ,? a ? 0 ?(a ? 2) ? 0 a ? ?2 ? ?

第6页

共4页

? 当 q 为真时, a ? ?4
由“ p 或 q 为真”且“ p 且 q 为假”知 p 、 q 一真一假,

p 真 q 假得 ?

?a ? ?5或a ? 7 ??5 ? a ? 7 ? ?5 ? a ? ?4 ; p 假 q 真得 ? ? a ? 7, ?a ? ?4 ?a ? ?4

所以 a 的取值范围为 (?5, ?4] ? [7, ??) . 20.解: ⑴依题意,设 B(t,

t ? x0 3 3 t),A(-t, t)(t>0),C(x0,y0)。∵M 是 BC 的中点,∴ 2 2 2

3 t ? y0 3 2 =1, =m,∴x0=2-t,y0=2m- t。在△ABC 中,|AB|=2t,AB 边上的高 h= 2 2 3 1 1 y0- t=2m-3t。∴S= |AB|·h= ·2t·(2m-3t)=-3t2+2mt,t?(0,1]。 2 2 2 2 m m ⑵S=-3t2+2mt=-3(t- )2+ ,t?(0,1]。 3 3 m ? ?0 ? 3 ? 1 3 m m 3 m2 ? 若? ,即 <m≤3。当 t= 时,Smax= ,相应的 C 点坐标是(2- , m)。 2 3 3 2 3 ?m ? 3 ? ? 2 m 若 >1,即 m>3 时,S=f(t)在区间(0,1]上是增函数,∴Smax=f(1)=2m-3,相应的 C 点坐标 3 3 是(1,2m- )。 2
21.解: (1)在②中令 x ? 1 ,有 1 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 1 ; (2)由①知二次函数的开口向上且关于 x ? ?1 对称,故可设些二次函数为

f ( x) ? a( x ? 1)2 (a ? 0) ,又由 f (1) ? 1 代入求得 a ?
故 f ( x) ?

1 。 4

1 ( x ? 1) 2 。 4

(3) 假设存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] ,就有 f ( x ? t ) ? x 。

1 1 1 (t ? 1) 2 ? (t ? 1) ? ? 1, 解得 ?4 ? t ? 0 4 2 4 1 1 1 2 对固定的 t ? [?4,0] ,取 x ? m ,有 f (t ? m) ? m ,即 (t ? m) ? (t ? m) ? ? m, 4 2 4
取 x ? 1 ,有 f (t ? 1) ? 1,即 化简得 m ? 2(t ? 1)m ? (t ? 2t ? 1) ? 0, 解得 1 ? t ? ?4t ? m ? 1 ? t ? ?4t ,
2 2

故 m ? 1 ? t ? ?4t ? 1 ? (?4) ? ?4(?4) ? 9 ,

1 1 t ? ?4 时,对任意的 x ? [1,9] ,恒有 f ( x ? 4) ? x ? ( x 2 ? 10 x ? 9) ? ( x ? 1)( x ? 9) ? 0 4 4
第7页 共4页

m 的最大值为 9。
21. (仅 8、9、10 班同学做) 解: (1)当 x ? 0 时, 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x ? ? 3
1 x 1 x

故 2 f ( ) ? f ( x) ?

1 x

2 ? x ? 3 两式联立可得, x

f ( x) ? x ? 1( x ? 0) ,又当 x ? 0 时,有 f (0) ? 1; ? f ( x) ? x ? 1 .
(2)由(1)可得 g ( x) ? 联立 ?

( x ? 1) 2 ? 2 x ?

x 2 ? 1,

?y ? x2 ?1 ? ? y ? 2n ? x ?

得交点 An ? ?

? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ?,由此得Bn ? , ? 2 2n , 2 2n ?, ? 2 2n 2 2n ? ? ? ? ?
2 2

? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? 1 所以 a n ?| An Bn |? ? ? 2 2 n ? 2 2n ? ? ? 2 2 n ? 2 2n ? ? n ? ? ? ? ? ? ?
? Sn ?

2S 2S 1 1 1 2 2 2 2 ? S n ?1 ? S n ?1 ? S n ? n ? 2 ,?当n ? 2时, S n ? S n ?1 ? n ? 2 , n n n n n

2 2 S n?1 ? S n?2 ?

2S n?1 2S 1 1 2 ? , …… S 2 ? S12 ? 2 ? 2 , 2 n 2 n ? 1 (n ? 1)
S S 2 S3 1 1 1 ? ??? n ) ?1? ( 2 ? 2 ??? 2 ) 2 3 n 2 3 n

累加得: S n ? 2(
2

又? 1 ? (

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ) ? 1?[ ? ??? ] 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 3 n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? )? ?0 2 2 3 n ?1 n n

? 1 ? (1 ?

S S S ? S 2 ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) n 2 3 n

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