2016淮北二模数学理科答案


淮北市 2016 届高三二模参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 D 10 B 11 C 12 D

二、填空题

? 13、 6
三、解答题

14、10

21 15、 10

1 16、 e

(17)解: (Ⅰ)由题设及正弦定理知, 2b ? a ? c ,即 b ?

a?c .由余弦定理知, 2

a 2 ? c 2 ? b2 cos B ? ? 2ac

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 3(a 2 ? c 2 ) ? 2ac 3(2ac) ? 2ac 1 2 ? ? ? , 2ac 8ac 8ac 2

? y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减,? B 的最大值 B0 ?

? . ………………………6 分 3
a 2 ? b2 ? c2 7 ?? 2ab 14

? B ? B0 ?
(Ⅱ) BD ?

?
3

, a ? 1, c ? 3,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 7, cos C ?
2

a 2 ? CD ? 2a CD cos C ?

13 2
……………12 分

(18)解:(Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4 x ? 2 x ? x ? 1 解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 .………………………………………………6 分 (Ⅱ)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,其中 n ? 3 . 由(Ⅰ)得,区间 ?45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2+0.1=0.6 , 将频率视为概率得 p ? 0.6 因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 且 P( X ? 0) ? C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.064 , P( X ? 1) ? C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288 ,
0 0 3 1 1 2

2 3 0 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 , P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.216 .

所以 X 的分布列为:

X P

0 0.06 4

1 0.28 8

2 0.43 2

3 0.21 6

所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 . (或直接根据二项分布的均值公式得到 EX ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8 )……………12 分 (19)解: (I)设 AB=a,取 AC 的中点 O,连接 EO,OP. ∵AE=AC,又∠EAC=60°,∴EO⊥AC. 又平面 ABC⊥平面 ACDE,∴EO⊥平面 ABC,∴EO⊥OP, 又 OP∥AB,AB⊥AC,所以 OP⊥AC. 以射线 OP,OC,OE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,

a a 3 a 3 a 则 C(0, ,0) ,A(0,- ,0) ,E(0,0, a) ,D(0, , a) ,B(a,- ,0). 2 2 2 2 2 2 a 则 P( ,0,0) , 2

a 3 → → 设平面 EAB 的法向量为 n=(x0,y0,z0).AB=(a,0,0) ,AE=(0, , a) , 2 2 → → ∴AE·n=0,AB·n=0, ? ?ay0+ 3az0=0, 2 即?2 令 z0=1,得 y0=- 3,又 x0=0,

? ?x0·a=0,

∴n=(0,- 3,1). a a 3 → ∴n·DP=(0,- 3,1)·( ,- ,- a)=0, 2 2 2 ∴DP∥平面 EAB (另法:取 AB 中点 F,然后证 DP∥EF 或证平面 ODP∥平面 EAB) …………………………6 分 (II)设平面 EBD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1) ,易知平面 ACDE 的一个法向量为 n2=(1,0,0). a 3 → ax1- y1- az1=0, ? ?n1·EB=0, 2 2 ∵? 即 → a ?n1·ED =0, ? y1=0, 2

? ? ? ? ?

令 z1=1,则 x1=

3 3 ,y1=0,n1=( ,0,1). 2 2 …………………………12 分

|n1·n2| 21 ∴cos θ = = . |n1||n2| 7

(20)解: (Ⅰ)设 G( x, y) , ∴ Q ( x, 0) ,∵ QP ? 2QG ∴ P( x, 2 y ) ∵P 在 ? O : x2 ? y 2 ? 4 上,∴ x 2 ? 4 y 2 ? 4

??? ?

????

所以轨迹 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………………6 分

(Ⅱ)因为点 A 的坐标为 ? ?2,0? 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与轨迹 C 于两点 E , F , 设点 E ? x0 , y0 ? (不妨设 x0 ? 0 ) ,则点 F ? ? x0 , ? y0 ? .
? y ? kx, 2 2k 4 ? 联立方程组 ? x 2 消去 y 得 x2 ? .所以 x0 ? ,则 y0 ? . 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4

所以直线 AE 的方程为 y ?

k 1 ? 1 ? 4k 2
?

? x ? 2 ? .因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N ,
2k

令x ? 0得 y ?

2k 1 ? 1 ? 4k 2
2k ?

,即点 M ? 0,

? ? 2k . 同理可得点 N ? 0, ? 2 2 ? 1 ? 1 ? 4k ? ? 1 ? 1 ? 4k

? ? .…8 分 ?

所以 MN ?

2k 1 ? 1 ? 4k 2

1 ? 1 ? 4k 2

?

1 ? 4k 2 . k

设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

? ?

1 ? ?. 2k ?

2 1 ? ? 1 ? 4k 2 ? 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ? ?? 2k ? ? ? ? 2k 1 2 2 即 x ? y ? y ? 1 .… ………………………10 分 k 2

? ? , ? ?

2

令 y ? 0 ,得 x ? 1 ,即 x ? 1 或 x ? ?1 .
2

故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ?1,0? , P 2 ? ?1,0? .………………………12 分

1 2 1 2x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2 1 1 1 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? ,当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0, 当 x ? 时, f ?( x) ? 0, 2 2 2
(21)解: (Ⅰ) a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? ; ?2 ?

所以 f ( x ) 的极小值是 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值;…………………3 分

1 2

2ax ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 ? ? 2 ? 2a ? ? (II) f ?( x) ? x x x2 x2
①当 a ? ?2 时, ?

1 ?? 1? ? 2a ? x ? ? ? x ? ? a ?? 2? ? 2 x

1 1 1 1 ? ,令 f ?( x) ? 0, 解得: x ? ? ,或 x ? a 2 a 2
1 1 1? ? ?1 ? ? x ? ,所以当 a ? ?2 时, f ( x) 的单调递减区间是 ? 0, ? ? , ? , ?? ? , a 2 a? ? ?2 ?

令 f ?( x) ? 0, 解得: ?

单调递增区间是 ? ?

? 1 1? , ?; ? a 2?

1 1 ? , f ?( x) ? 0, f ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递减; a 2 1 1 1 1 ③当 a ? ?2 时, ? ? ,令 f ?( x) ? 0, 解得: x ? ,或 x ? ? a 2 2 a
②当 a ? ?2 时, ? 令 f ?( x) ? 0, 解得: ? x ? ?

1 2

1 ? 1? ? 1 ? , 所以当 ?2 ? a ? 0 时,f ( x ) 的单调递减区间是 ? 0, ? , ? ? , ?? ? , a ? 2? ? a ?

单调递增区间是 ?

?1 1? , ? ? ;…………………7 分 ?2 a?

(III)由(II)知,当 ?3 ? a ? ?2 时, f ( x ) 在 ?1,3? 上单调递减 所以 f ( x)max ? f (1) ? 2a ? 1 , f ( x) min ? f (3) ? ? 2 ? a ? ln 3 ?

1 ? 6a 3

| f (?1 ) ? f (?2 ) |max ? f ?1? ? f ? 3? ?

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 3

| f (?1 ) ? f (?2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2ln 3 成立, 因为存在 ?1 , ?2 ?[1,3] ,使不等式
2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 | f ( ? ) ? f ( ? ) | ? ( m ? ln3) a ? 2ln3 1 2 max 所以 ,即 3
整理得 m ? 3a ? 4 ,因为 ? 3 ? a ? ?2 ,所以 ? 3 ? 3a ? ? 9 所以 ?

2

1

2

2

13 2 38 38 ? ? 4 ? ? ,所以 m ? ? , 3 3a 9 9

? 38 ? m 的取值范围是 ? ? , ?? ? …………………12 分 ? 9 ?
(22)证明: (I)连 OD ,则 ?ABD ? ?ODB ? ?ACD 得 OD // AC ,又 DE 为切线, 所以 OD ? DE 得 DE ? AC 。 … …5 分 (II)由(I)得 D 为 BC 中点,

所以 AD ? BC (或有直径上圆周角得) 所以 DC ? CE ? AC (射影定理)
2

有 BD ? DC 得 BD ? CE ? CA
2

… …10 分

(23)解: (I) ? 的普通方程为 y ?

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 联立方程组

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ) ,则 | AB |? 1 . … …5 分 ? 2 2 2 2 ? ? x ? y ? 1,
? ?x? (II)C2 的参数方程为 ? ? ?y ? ? ? 1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) ,从而点 P 到直线 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 2 2 3 sin ? . 2

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? ? 2 2 ? 的距离是 d ? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] ,由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 2 4 4 4 6 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) .……… …10 分 4 1 1 (24) (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ? x ? ? 等价于 x ? 1 ? x ? . 2 2 1 ①当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? x ? ,无解; 2 1 1 ②当 ?1 ? x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 ? ? x ? 0 ; 4 2 1 ③当 x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 x ? 0 . 2 |
综上所述,不等式 f ?x ? ? 1 的解集为 ? ?

? 1 ? , ?? ? .………………………………5 分 ? 4 ?

(Ⅱ)因为不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,所以 b ? ? ? f ? x ?? ? max 以下给出两种思路求 f ? x ? 的最大值. 思路 1:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a 当x??

? 0 ? a ? 1? ,

a 时, f ? x? ? ?x ? a ? x ? 1? a ? ? a ? 1? a < 0 .

当?

a ? x ? 1 ? a 时, f ? x? ? x ? a ? x ? 1? a ? 2x ? a ? 1 ? a
? 2 1- a + a -

1- a = a + 1- a .

当 x ? 1 ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? a ? 1? a .
所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1? a

思路 2:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? x ? a ? x ? 1? a ? a ? 1 ? a ? a ? 1? a ,

当且仅当 x ? 1 ? a 时取等号.所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1? a .
? ? max

因为对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,所以 b ? ? a ? 1 ? a ? 以下给出三种思路求 g ? a ? ? a ? 1 ? a 的最大值. 思路 1:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 所以 g 2 ? a ? ? 1 ? 2 a 1 ? a ? 1 ? 当且仅当 a ? 1 ? a ,即 a ? 所以 b 的取值范围为

? a? ??
2

1? a

?

2

? 2.

?

2, +? .…………………………………………………10 分

?

1 时等号成立所以 ? ? g ? a ?? ? max ? 2 . 2

思路 2:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 因为 0 ? a ? 1 ,所以可设 a ? cos ? ? 0 ? ? ?
2

? ?

?? ?, 2?

则 g ?a? ?

? ?? ? a ? 1 ? a ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 , 当且仅当 ? ? 时等号成立. 4 4? ?

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .…………………………………………………10 分

?

思路 3:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 因为 0 ? a ? 1 ,设 í
2

ì ? ? x = a, 2 2 则 x + y = 1 (0 #x 1,0 #y 1) . ? ? ? y = 1- a ,
2

问题转化为在 x + y = 1 (0 #x 求 z = x + y 的最大值.

1,0 #y 1) 的条件下,

y

利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2 ,

2 此时 x = y = . 2
所以 b 的取值范围为

O

x

?

2, +? .…………………………………………………10 分

?


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