【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.4 二次函数与幂函数课时作业 理(含解析)新人教A版


【与名师对话】 2015 高考数学一轮复习 2.4 二次函数与幂函数课时 作业 理(含解析)新人教 A 版
一、选择题 1.(2013·重庆市高三九校联考)下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对 应是( )

解析:由①图可知此函数为奇函数,且单调递增,结合选项对应的函数应为 y=x ,由 ②图可知,此函数为偶函数且过原点,结合选项对应的函数为 y=x ,由③图知,函数的定 义域为[0,+∞),单调递增,由④图知,为奇函数,定义域为{x|x≠0,x∈R},所以选 B. 答案:B 2.(2013·增城调研)已知函数 f(x)=x ,则( A.f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调增 B.f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调增 C.f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调减
-2 2

3

)

1

D.f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调减 解析:∵f(-x)=(-x) =x =f(x)且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为偶 函数,又 f′(x)=-2x ,当 x∈(0,+∞)时 f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减, 故选 C. 答案:C 3.已知 f(x)=x +bx+c 且 f(-1)=f(3),则(
2 -3 -2 -2

)

?5? A.f(-3)<c<f? ? ?2? ?5? C.f? ?<f(-3)<c ?2?

?5? B.f? ?<c<f(-3) ?2? ?5? D.c<f? ?<f(-3) ?2?

解析: 由已知可得二次函数图象关于直线 x=1 对称, 则 f(-3)=f(5), c=f(0)=f(2),

?5? 二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有 f(-3)=f(5)>f? ?>f(2)=f(0)=c. ?2?
答案:D 4.设二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞)
2 2

) B.[2,+∞) D.[0,2]

解析:二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,则 a≠0, f ′(x)=2a(x -1)≤0,x∈[0,1], 所以 a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 答案:D 5.(2013·温州模拟)方程 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为 ( )
2

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ? ? 23 ? C.?- ,1? ? 5 ?
解析:令 f(x)=x +ax-2,
2

B.(1,+∞) 23? ? D.?-∞,- ? 5? ?

由题意,知 f(x)的图象与 x 轴在[1,5]上有交点, 则?
?f ? ?f ?



23 解得- ≤a≤1. 5

答案:C 6. 函数 f(x)=-x +(2a-1)|x|+1 的定义域被分成了四个不同的单调区间, 则实数 a
2

2

的取值范围是(

)

2 1 3 1 1 A.a> B. <a< C.a> D.a< 3 2 2 2 2 解析:f(x)=-x +(2a-1)|x|+1 是由函数 f(x)=-x +(2a-1)x+1 变化得到,第 一步保留 y 轴右侧的图象,再作关于 y 轴对称的图象. 因为定义域被分成四个单调区间, 所以 f(x)=-x +(2a-1)x+1 的对称轴在 y 轴的右 侧,使 y 轴右侧有两个单调区间,对称后有四个单调区间. 2a-1 1 所以 >0,即 a> .故选 C. 2 2 答案:C 二、填空题 1 2 -2 7.当 0<x<1 时,f(x)=x ,g(x)=x ,h(x)=x ,则 f(x),g(x),h(x)的大小关系是 2 ______. 解析:分别作出 f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示.
2 2 2

可知 h(x)>g(x)>f(x). 答案:h(x)>g(x)>f(x) 8.函数 f(x)=(m-1)x +2(m+1)x-1 的图象与 x 轴只有一个交点,则实数 m 的取值 的集合是________. 1 解析:当 m=1 时, f(x)=4x-1,其图象和 x 轴只有一个交点( ,0). 4 当 m≠1 时,依题意得 Δ =4(m+1) +4(m-1)=0, 即 m +3m=0,解得 m=-3 或 m=0. ∴m 的取值的集合为{-3,0,1}. 答案:{-3,0,1} 9.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y 的最小值为________.
2 2 2 2

3

1 解析:由 x≥0,y≥0,x=1-2y≥0 知 0≤y≤ , 2 令 t=2x+3y =3y -4y+2,
2 2

? 2?2 2 则 t=3?y- ? + . ? 3? 3
1 3 ? 1? 在?0, ?上递减,当 y= 时,t 取到最小值,tmin= . 2 2 4 ? ? 3 答案: 4 三、解答题

10.如果幂函数 f(x)=

(p∈Z)是偶函数.且在(0,+∞)

上是增函数.求 p 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式. 解:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 1 2 3 2 ∴- p +p+ >0,即 p -2p-3<0.∴-1<p<3. 2 2 又∵f(x)是偶函数且 p∈Z,∴p=1,故 f(x)=x . 11.(2013·宁德质检)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 为偶函数,且 f(-1)=-1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)+(2-k)x 在区间[-2,2]上单调递减,求实数 k 的取值范围. 解:(1)∵二次函数 f(x)=ax +bx+1 为偶函数, ∴对称轴 x=- =0,得 b=0. 2a 由 f(-1)=a+1=-1,得 a=-2, ∴f(x)=-2x +1. (2)g(x)=-2x +(2-k)x+1 2-k ∵抛物线 g(x)的开口向下,对称轴 x= , 4 ∴函数 g(x)在?
2 2 2 2 2

b

?2-k,+∞?上单调递减. ? ? 4 ?

2-k 依题意可得 ≤-2,解得 k≥10. 4 ∴实数 k 的取值范围为[10,+∞). 12.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
4
2

解:(1)由 f(0)=1 得,c=1. ∴f(x)=ax +bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x, 即 2ax+a+b=2x,
? ?2a=2 ∴? ?a+b=0, ?
2 2 2 2

∴?

? ?a=1 ?b=-1. ?

因此, f(x)=x -x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x -x+1>2x+m,即 x -3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1] 上恒成立,只需使函数 g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1). [热点预测] 13.(2013·河北高三质量监测)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)满足下列条 件: ①当 x∈R 时, f(x)的最小值为 0,且 f(x-1)=f(-x-1)恒成立; ②当 x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1 恒成立. (1)求 f(1)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,当 x∈[1,m]时, f(x+t)≤x 恒成立. 解:(1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1.故 f(1)=1. (2)由①知二次函数的图象关于直线 x=-1 对称, 且开口向上, 故设此二次函数为 f(x) =a(x+1) (a>0). 1 1 2 因为 f(1)=1,所以 a= ,所以 f(x)= (x+1) . 4 4 1 2 (3)f(x)= (x+1) 的图象开口向上, 4 而 y=f(x+t)的图象是由 y=f(x)的图象向左或向右平移|t|个单位得到的,要在区间 1 [1,m]上使得 y=f(x+t)的图象在 y=x 的图象下方,且 m 最大,则 1 和 m 应当是方程 (x 4 +t+1) =x 的两个根. 令 x=1 代入方程,得 t=0 或-4. 当 t=0 时,方程的解为 x1=x2=1(这与 m>1 矛盾,舍去);
5
2 2 2 2 2 2 2

当 t=-4 时,方程的解为 x1=1,x2=9,所以 m=9. 1 1 1 又当 t=-4 时, 对任意 x∈[1,9], y=f(x-4)-x= (x-3)2-x= (x2-10x+9)= (x 4 4 4 -5) -4≤0, 即 f(x-4)≤x 恒成立.所以最大的实数 m 为 9.
2

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