陕西省师大附中2013届高三数学高考复习:专题6 概率统计,算法,复数与推理证明


专题 6 概率统计,算法,复数与推理证明 1.(2013·河南省郑州市第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰截机起降飞行训练中,有 5 架歼 ? 15 飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法 A. 12 【答案】C 【解析】分三步:把甲、乙捆绑为一个元素 A ,有 A2 种方法; A 与戊机形成三个“空” ,把丙、丁两机插 入空中有 A3 种方法;考虑 A 与戊机的排法有 A2 种方法。由乘法原理可知共有 A2 A3 A2 ? 24 种不同的着
2

B. 18

C. 24

D. 48

2

2

2

2

2

舰方法。 2. (2013·安徽省池州市期末)2012 年 10 月 18 日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。本次 大会的主题是“绿色、低碳、环保”,为大力宣传这一主题,主办方将这 6 个字做成灯笼悬 挂在主会场(如图所示) ,大会结束后,要将这 6 个灯笼撤下来,每次撤其中一列最下面的 一个,则不同的撤法种数为( A.36 【答案】D B.54 ) C.72 D.90

【解析】

2 3.(2013·杭州市第一次质检)二项式 ? 1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? ? ? x?
【答案】 ?80

5



? 2? 【解析】第四项 T4 ? C ? ? ? ? ? ?80 x ?3 ,系数为 ?80 ? x?
3 5

3

4.(2013·湖南师大附中级月考 5) ( x ? ) 的展开式中,系数最大的项为第______项.
6

1 x

【答案】3 或 5 【解析】 ( x ? ) 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异,又中间项的二项式系数最大,中间项为第
6

1 x

4 项其系数为负,则第 3,5 项系数最大.

, , , ) 5.(2013 · 湖 南 师 大 附 中 第 六 次 月 考 ) 已 知 Sn ? { A A ? (a1 ,a 2 a 3 ? an , ai ? 2012 或 2013 ,

i ? 1, 2,? n} (n ? 2) ,对于 U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.
(Ⅰ)令 U ? (2013, 2013, 2013, 2013, 2013) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,则 m= (Ⅱ)令 U ? (a1 , a2 , a3 ,?, an ) ,若 V ? Sn ,则所有 d (U ,V ) 之和为 . ;



1

【解析】(Ⅰ) C5 ? 10 ; :
2

(Ⅱ)根据(Ⅰ)知使 d (u, vk ) ? r 的 vk 共有 Cn 个
r



? d (u, v ) = 0?C
k ?1 k k

2n

0 n

? 1? n ? 2? n ? ? ? n? n C1 C2 Cn

? d (u, v ) = n?C
k ?1 2n

2n

n n

? (n ? 1)? n ?1 ? (n ? 2)? n ?2 ? ? ? 0? n Cn Cn C0

两式相加得

? d (u, v ) = n?2
k ?1 k

n ?1

6.(2013·杭州市第一次质检)从 0,1,2,3 中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中,偶数的个数是 (用数字回答). 【答案】10 【解析】考虑三位数“没 0”和“有 0”两种情况。 (1)没 0:2 必填个位, A2 种填法; (2)有 0:0 填个位, A3 种填法; 0 填十位,2 必填个位, A2 种填法; 所以,偶数的个数一共有 A2 + A3 + A2 =10 种填法。 7.(2013·成都市一诊)
2 2 1 1

2

2

【答案】B. 8.(2013·西工大附中适应性训练)已知 ?1 ? 3 x ? 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,则展开式
n

中系数最大的项为 【答案】 【解析】

.

9.(2013·西安市一中期末) (2 x ? ) 的展开式中的常数项为( )
4

1 x

A. ?24 【答案】D

B. ?6

C.6

D.24

10.(2013·辽宁省五校协作体摸底)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有 ( )



2

A.56 个 【答案】C

B.57 个

C.58 个

D.60 个

11.(2013·福建省福州市期末)在 2012 年第 30 届伦敦奥运会上,中国队教练想从 5 名女运动员中选出 3 名参加乒乓球女子团体比赛,不同选法有 A.3 种 【答案】D
5

B.5 种

3

C. A5 种

3

D. C5 种

3

? 3 1? 12.(2013·漳州市五校期末) ? x ? ? 展开式中常数项为 x? ?
【答案】-4

4

.

13.(2013·武汉市部分学校联考)在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中 程序 A 只能出现在第一或最后一步, 程序 B 和 C 在实施时必 须相邻,则实验顺序的编排方法共有( A. 34 种 【答案】C 14. (2013·黄冈市期末) B. 48 种 C. 96 种 ) D. 144 种

【答案】C 【解析】

(1 15. 2013· ( 石室中学高一诊) ? 2 x) 的展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍, n 等于 则
n

3

2



【答案】8 16.(2013·潮州市期末)某校有错误!未找到引用源。名学生,各年级男、女生人数如表,已知在全校 学生中随机抽取一名奥运火炬手,抽到高一男生的概率是错误!未找到引用源。,现用分层抽样的方法在 全校抽取错误!未找到引用源。名奥运志愿者,则在高二抽取的学生人数为______. 高一 女生 错误! 未找到引 用源。 男生 错误! 未找到引 用源。 高二 错误! 未找到引 用源。 错误! 未找到引 用源。 高三 错误! 未找到引 用源。 错误! 未找到引 用源。

【解析】依表知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,于是错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 ,高二抽取学生人数为错误!未找到引用源。.



3

17.(2013·惠州市第三次调研)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分 的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( A.19、13 C.20、18 【答案】A 【解析】甲中位数为 19,甲中位数为 13.故选 A. 18. 2013·安徽示范高中名校联考)为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元) ( ,以便引导学生 树立正确的消费观.样本容量 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为( ) B.13、19 D.18、20 )

A. 780

B. 680

C. 648

D. 460

19.(2013·乌鲁木齐地区一诊)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进

行了 5 次试验.根据 收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为______ .
【答案】错误!未找到引用源。 . 【解析】设遮住部分的数据为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 由错误!未找到引用源。过错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。. 20.(2013·湖南师大附中第六次月考)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随 机编号为 1,2,??,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的 人中,做问卷 B 的人数为 【答案】10 .



4

【解析】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人,即 l ? 30 ,第 k 组的 号码为 (k ? 1)30 ? 9 ,令 451 ? (k ? 1)30 ? 9 ? 750 ,而 k ? z ,解得 16 ? k ? 25 ,则满足 16 ? k ? 25 的 整数 k 有 10 个. 21.(2013·湖南师大附中月 5)一个样本 a,3,5,7 的平均数是 b,且 a, b 分别是数列 2 项,则这个样本的方差是( A.3 【答案】C 【解析】由已知 a ? 1, b ? 4 , 则s ?
2

? ?的第 2 和第 4
n?2

) C.5 D.6

B.4

1 [(1 ? 4) 2 ? (3 ? 4) 2 ? (5 ? 4) 2 ? (7 ? 4) 2 ] ? 5 4

22.( 2013·安徽省级示范高中名校联考)在棱长分别为 1,2,3 的长方体上随机选取两个相异顶点,若 每个顶点被选的概率相同,则选到两个顶点的距离大于 3 的概率为( A.错误!未找到引用源。 源。 【答案】B 【解析】 从 8 个顶点中任取两点有错误!未找到引用源。种取法,其线段长分别有 1,2,3,错误!未 找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,①其中 12 条 棱线,长度都错误!未找到引用源。 ;②其中 4 条,边长(1, 2)对角线错误!未找到引用源。 ;故长度 错误!未找到引用源。的有错误!未找到引用源。 ,故两点距离大于 3 的概率错误!未找到引用源。. B.错误!未找到引用源。 ) C.错误!未找到引用

D.错误!未找到引用源。

x2 y2 ?1,5 ? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , 则方程 2 ? 2 ? 1 表示焦点 23.(2013·广州市调研)在区间 ? ? ? ? a b
在 x 轴上且离心率小于

3 的椭圆的概率为 2
B.

A.

1 2

15 32

C.

17 32

D.

31 32

【答案】B 【解析】方程

x2 y2 3 + 2 =1 表 示 焦 点 在 x 轴 且 离 心 率 小 于 的椭圆时,有 2 a b 2

? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? a?b ? 2 2 ,即 ? 2 ,化简得 ? ,又 a ? [,5] ,b ? [2, 4] , 1 ? 2 c a ?b 3 ? a ? 2b ? ?a ? 4b ?e ? ? a a 2 ?



5

画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为

S 15 15 ,故 P ? 阴影 ? 2 ? 4 32 4

24.(2013·丹东市四校协作体零诊)在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 C,并以线段 AC 为边作正方形,这 个正方形的面积介于 25 cm 与 49 cm 之间的概率为
2 2



25.(2013·深圳市南山区期末)将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 m,则函数错误!未找到 引用源。在[1,+∞)上为增函数的概率是 A.错误!未找到引用源。 用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引

D.错误!未找到引用源。

26.(2013·湖南师大附中级月考 5)如果一个 n 位十进制数 a1a2 a3 ? an 的数位上的数字满足“小大小大? 小大”的顺序,即满足: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? ,我们称这种数为“波浪数” ;从 1,2,3,4,5 组成 的数字不重复的五位数中任取一个五位数 abcde,这个数为“波浪数”的概率是( A. )

2 15

B.

4 15

C.

2 5

D.

8 15
6



【答案】A 【解析】显然 b, d 中必有一个数字为 5,由对称性,不妨先设 b ? 5 ,则 d ? 3 .
3 若 d ? 4 ,则 a, c, e 是 1,2,3 的任意排列都满足,即 A3 ? 6 种;

若 d ? 3 ,则 c, e 是 1,2 的任意排列,且 a ? 4 ,即 2 种;
3 2 2( A3 ? A2 ) 2 ? 则满足条件的概率是: 5 A5 15

27.(2013·四川省成都市一诊)已知数列

满足

,一颗质地均匀的正方

体骰子,其六 个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次,得到的点数分别记 为 a,b,c 则 满足集合{a,b,c}={a1,a2,a3}
A. B. C.

的概率是(
D.



28. (2013·浙江省考试院高考数学测试卷)从 3 男 2 女这 5 位舞蹈选手中,随机(等可能)抽出 2 人参加 舞蹈比赛,恰有一名女选手的概率是 【答案】 .

3 5
1 1 C2C3 3 ? C52 5
2

【解析】 P ?

29.(2013·蚌埠市第一次质检)如果随机变量 ? ~ N (?1, ? ) ,且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4,则 P(? ? 1) = 【答案】 0.1 【 解 析 】 根 据 对 称 性 可 。 知 .

P(?3 ? ? ? ?1) ? P(?1 ? ? ? 1) ? 0.4







P(? ?

1 P) ? ? ? ( ? ?

1?

0? . 4 3 ) ? 2

0 . 4

0 . 1
3 , 5

30.(2013·西工大附中适应性训练)已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为 则他在 3 天乘车中,此班次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为( A. )

36 125

B.

54 125

C.

81 125

D.

27 125

【答案】C



7

【解析】设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量 X,则此班次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率
2 P= P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? C3 ( ) 2

3 5

2 81 3 3 ? C3 ( )3 ? 5 5 125
1 2

31.(2013· 湖南师大附中第六次月考)如果一个随机变量 ? ~ B(15, ) , 则使得 P(? ? k ) 取得最大值的 k 的 值为 【答案】8,9
k 【解析】 P(? ? k ) ? C15 ( )15 ,则只需 C15 最大即可,此时 k ? 8,9
k

.

1 2

32.(2013·辽宁省重点中学期末)设随机变量 ? 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? ? 没有
2 2

零点的概率是 A. 1 【答案】B

1 ?? 2,

(

) C. 2 D. 不能确定

B. 4

【解析】由 f ( x ) ? x ? 4 x ? ? 没有零点则 ? ? 16 ? 4? ? 0, 解得 ? ? 4, 故 P(? ? 4) ?
2

1 ,又正态分布是 2

对称的,所以 ? =4, 选择 B 33.(2013 · 云 南 省 玉 溪 一 中 高 三 第 五 次 月 考 理 ) 设 随 机 变 量

? 服 从 正 态 分 布 N (3,4) , 若

P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a 的值为 (
A.5 【答案】D 【解析】因为 B.3 C.



5 3

D.

7 3

? 服 从 正 态 分 布 N (3,4) , 所 以 随 机 变 量 ? 关 于 直 线 x ? 3 对 称 , 因 为

P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,所以 x ? 2a ? 3, x ? a ? 2 关于 x ? 3 对称,所以 2a ? 3 ? a ? 2 ? 3 ,即 3a ? 7 ,解 2
得a ?

7 ,选 D. 3

34.(2013·北京市丰台区高三上学期期末理)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一 个红球的概率是 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

【答案】C
1 1 C2 C2 4 2 ? ? ,选 C. 【解析】从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ? 2 C4 6 3



8

35.(2013·河南省三门峡市高三第一次大练习)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚 球中之多命中一次的概率为错误!未找到引用源。,则该队员的每次罚球命中率为 A.错误!未找到引用源。 到引用源。 【答案】B 【解析】设该队员的每次罚球命中率为错误!未找到引用源。,则两次罚球中至多命中一次的概率为错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,故选 B. 36.(2013·云南玉溪一中第四次月考试卷)某学习小组共 12 人,其中有五名是“三好学生” ,现从该小组 中任选 5 人参加竞赛,用 ? 表示这 5 人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于 C7 +C5C7 的是( 5 C12 A. P ?? ? 1? 【答案】B
4 C1 C7 C5 5 P(? ? 0) ? 57 5 P ?? ? 1? ? C12 C12 ,所以 C5 C1 C4 【解析】 , P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 57 ? 5 5 7 ,选 B. C12 C12 5 1 4

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找



B. P ?? ? 1?

C. P ?? ? 1?

D. P ?? ? 2 ?

37.(2013 · 湖 南 师 大 附 中 月 考 ) 已 知 随 机 变量 ? 服 从 正 态 分 布 N (2, ? ) , 且 P(? ? 4) ? 0.8 , 则
2

P(0 ? ? ? 2) 等于
【答案】0.3

.

【解析】 P(? ? 4) ? 0.8 ,则 P(? ? 4) ? 0.2 ,又分布图像关于直线 x ? 2 ,

P(? ? 0) ? P(? ? 4) ? 0.2 ,则 P(0 ? ? ? 4) ? 0.6 , P(0 ? ? ? 2) ? 0.3
38.(2013·汕头市期期末)已知错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,若错误!未找到引用源。 均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a,t 的值,则错误!未找到引用源。=_________. 【答案】-29 【解析】类比等式可推测错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 39.(2013·南昌市调研)已知整数对的序列如下: (1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1) , , , , , , (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)(1,5)(2,4) , , , , , ,?,则第 57 个数对是_______ 【答案】5 【解析】发现如下规律,即可得第 57 个数对是错误!未找到引用源。 (1,1)和为 2,共 1 个 (1,2)(2,1)和为 3,共 2 个 ,



9

(1,3)(2,2)(3,1)和为 4,共 3 个 , , (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)和为 5,共 4 个 , , , (1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)和为 6,共 5 个 , , , , 40.(2013·福建省福州市期末)已知点 A( x1 , a ) B( x2 , a ) 是函数 y ? a (a ? 1) 的图象上任意不同两点,
x1 x2

x

a x1 ? a x2 依据图象可知, 线段 AB 总是位于 A、 两点之间函数图象的上方, B 因此有结论 ?a 2

x1 ? x2 2

成立. 运

用类比思想方法可知,若点 A(x1,sinxl) 、B(x2,sinx2)是函数 y=sinx(x∈(0, ? ) )的图象上 的不同两点,则类似地有____成立. 【答案】

sin x1 ? sin x2 x ?x ? sin 1 2 ; 2 2

【解析】函数 y ? sin x 在 x∈(0, ? )的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的下方,所以

sin x1 ? sin x2 x ?x ? sin 1 2 . 2 2
)时

41.(2013·安徽省黄山市第一次质检)已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明错误!未找到引用源。 时, 若已假设 n ? k (k ? 2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证错误!未找到引用源。 ( 等式成立 A.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 【答案】B 【解析】根据数学归纳法的步骤可知,则 n ? k (k ? 2 为偶数)下一个偶数为错误!未找到引用源。,故 答案为 B. 42.(2013·安徽省黄山市第一次质检)已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。.定义:使乘积错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。为正整数的错误!未找到 引用源。叫做“简易数”.则在错误!未找到引用源。内所有“简易数”的和为 . B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。



10

43.(2013·广州调研)已知 i 为虚数单位,则复数 i(2 ? 3 i )对应的点位于 A.第一象限 【答案】A 【解析】 i(2 - 3i)=2i - 3i = 2i + 3 = 3 + 2i ,其对应的点为 (3, 2) ,位于第一象限 44.(2013·湖南师大附中月考)复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2 (其中 i 为虚单位) ,则 z ? 【答案】 1 ? i 【解析】 z ? .
2

B. 第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2 2(1 ? i ) ? ? 1? i 1? i 2

45.(2013·郑州第一次质量预测)执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为 A. 5 B. 9 C. 14 D. 41

【答案】D 【解析】依程序运算得 x ? 14, y ? 41, 满足“是” ,输出. 46.(2013·湖南师大附中月考)阅读下面算法语句:

i=1 WHILE i*(i+1)<20 i=i+1 WEND PRINT “i=”;i END



11

则执行图中语句的结果是输出 【答案】i=4

.

【解析】这是当型循环语句,输出结果不是数字 4,而是 i=4.提醒学生注意细节. 47. (2013·河南省郑州第一次质量预测)若复数 z ? 2 ? i ,则 z ? A. 2 ? i 【答案】D B. 2 ? i C. 4 ? 2i D. 6 ? 3i
开始 n=5,k=0 n 为偶数

10 等于 z

10 10 10?2 ? i ? 【解析】 z ? ? 2?i? ? 2?i? ? 6 ? 3i. z 2?i 5
48. (2013·杭州市第一次质检)若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值 是( A. 4 C. 6 【答案】B 【解析】由题意,得: ) B. 5 D. 7
n?


否 n=3n+1

n 2

k=k+1 否

n ? 5, k ? 0 ? n ? 16, k ? 1 ? n ? 8, k ? 2 ? n ? 4, k ? 3 ? n ? 2, k ? 4 ? n ? 1, k ? 5 ? 终止
当 n ? 2 时,执行最后一次循环; 当 n ? 1 时,循环终止,这是关键。输出 k ? 5 。 49.(2013·杭州市第一次质检)若复数 z ? 2i ?

n =1? 是 输出 k 结束

2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( 1? i
C.

)

A.

2 2

B.

2

3

D. 2

【答案】B 【解析】由题意,得: z ? 2i ?

2 2(1 ? i) ? 2i ? ? 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i)

复数 z 的模 z ? 12 ? ( ?1) 2 ? 2 .



12


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