2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,解析版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)答案解析
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为(
2



2 A. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 C. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0

2 B. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0

D. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

2.已知 集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A

B?(



A.{x | x ? 2}
【答案】C

B.{x | x ? 1}

C.{x | 2 ? x ? 3}

D.{x |1 ? x ? 3}

【解析】由交集的定义可得

A B ? ?x / 2 ? x ? 3?

, 故选 C.

3.对一个容器为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法 抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为

p1 , p2 , p3 ,则(



A. p1 ? p2 ? p3

B. p2 ? p3 ? p1

C. p1 ? p3 ? p2

D. p1 ? p2 ? p3

4. 下列函数中,既是偶函数又在区间 ( ??, 0) 上单调递增的是( )

A. f ( x ) ?

1 x2

B. f ( x) ? x2 ? 1

C. f ( x) ? x3

D. f ( x) ? 2? x

5.在区间 [?2,3] 上随机选取一个数 X ,则 X ? 1 的概率为(
1



A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5 P? 3 5 ,故选 B.


【答案】B

【解析】在 6.若圆

??2,3? 上符合 X ? 1 的区间为 ??2,1? ,所以
C .9 D. ? 11

C1 : x2 ? y 2 ? 1与圆 C2 : x2 ? y2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 ,则 m ? (
B.19

A.21

7.执 行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 A.

t ???2,2?

,则输出的 S 属于(



??6, ?2?

B.

??5, ?1?

C.

??4,5?

D.

??3,6?

8.一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2

【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为 r ,则 8 ? r ? 6 ? r ? 8 ? 6 ? r ? 2 ,故选 B.
2 2

9.若 A. C.

0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则(

) B. D.

ex2 ? ex1 ? ln x2 ? ln x1 x2ex1 ? x1e x2

ex2 ? ex1 ? ln x2 ? ln x1 x2ex1 ? x1ex2

CD ? 1 0? A ? ?1,0? B 0,3 C ? 3, 10. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 原 点 , , , ,动点 D 满足 ,则 OA ? OB ? OD
A. 的取值范围是( B. ? ) C. ?

?

?

6? ?4,

? 19-1,19+1? ?

? 2 3, 2 7? ?

D. ?

? 7-1,7 +1? ?

D.
3

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

3?i 2 复数 i ( i 为虚数单位)的实部等于_________.
【答案】 ?3

3?i ? ?3 ? i 2 【解析】由题可得 i , ?3 ? i 的实 部为 ?3 ,故填 ?3 .

? ?x ? 2 ? ? C:? ? y ? 1? ? ? 在平面直角坐标系中,曲线
【答案】 x ? y ? 1 ? 0

2 t 2 2 t 2 ( t 为参数)的普通方程为___________.

【解析】消 t 可得 x ? y ? 1 ? x ? y ? 1 ? 0 ,故填 x ? y ? 1 ? 0 .

13.若变量

x ,y 满足约束条件

? y?x ? ?x ? y ? 4 ? y ?1 ?

,则 z ? 2 x ? y 的最大值为_________.

0? 的距离和到直线 x ? ?1 的距离相等.若机器人接触不到 14.平面上以机器人在行进中始终保持 与点 F ?1, , 0?且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是___________. 过点 P?? 1

15.若 f ?x ? ? ln e

?

3x

? 1 ? ax 是偶函数,则 a ? ____________ .
4

?

三、解答 题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.

1 6.(本小题满分 12 分)已知数列 (1)求数列 (2)设

?an ?的前 n 项和

Sn ?

n2 ? n ,n ? N ? 2 .

?an ?的通项公式;
n

bn ? 2an ? ??1? an ,求数列 ?bn ?的前 2 n 项和.

17.(本小题满分 12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小 组往年研发新产品的结果如下:

b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a , b ?,? a , b ?,? a, b ?, ? a, b ?, b ? ,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?, b? ? a, ? a, ? a,

? ? a , a b , b 其中 分别表示甲组研发成功和失败; 分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给改组记 1 分,否记 0 分,试计算 甲、乙两组研发新产品的成绩的平 均
5

数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率.

18.(本小题满分 12 分)如图 3,已知二面角 ?

? MN ? ? 的大小为 60 ,菱形 ABCD 在面 ? 内, A, B 两

点在棱 MN 上, ?BAD ? 60 , E 是 AB 的中点, DO ? 面 ? ,垂足为 O . (1)证明: AB ? 平面 ODE ; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.

3 【答案】(1)详见解析 (2) 4
6

19. ( 本 小 题 满 分

13

分 ) 如 图

4 , 在 平 面 四 边 形

ABCD

中 ,

2? DA ? AB , DE ? 1, EC ? 7 , EA ? 2, ?A D ?C 3 , ?BEC ?

?
3

(1)求 sin ?CED 的值; ( 2)求 BE 的长.

21 【答案】(1) 7

(2) 4 7
7

【解析】如图设 ?CED ? ?
2 2 2 (1) 在 ?CDE 中 , 由 余 弦 定 理 可 得 EC ? CD ? DE ? 2 CD DE cos ?EDC , 于 是 又 题 设 可 知

( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图

x2 y 2 C1 : 2 ? 2 ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) a1 b1 O 5, 为坐标原点,双曲线 和椭圆

x2 y 2 2 3 C2 : 2 ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) P( ,1) C C a2 b2 3 均过点 , 且以 1 的两个顶点和 2 的两个焦点为顶点的四边形
是面积为 2 的正方形. (1)求

C1 , C2 的方程;
C1 交于 A, B 两点,与 C2 只有一个公共点,且 | OA ? OB |?| AB | ?证明你

(2)是否存在直线 l ,使得 l 与 的结论.

8

9

21.(本小题满分 13 分)已知函数 求

f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

f ( x) 的单调区间;
? 1 2 ? 2 xn 3.

1 1 ? 2? x x 2 x2 (2)记 i 为 f ( x ) 的从小到大的第 i(i ? N *) 个零点,证明:对一切 n ? N * ,有 1

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