1。2正、余弦定理的综合应用


正、余弦定理的综合应用及应用举例
一、综合应用 题型一、三角函数的化简、求值 3 例 1.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,cos(A-C)+cosB= ,b2=ac,求 B. 2

变式:在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sinC=2sinA. (1)求 AB 的值; π? (2)求 sin? ?2A-4?的值.

题型二:三角形的面积公式 例 2.在△ABC 中,已知 C=120°,AB=2 3 ,AC=2,求△ABC 的面积.

→ → 3 变式:在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cosA= ,AB· AC=3. 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求边 a 的长.

题型三:三角形中的恒等式证明问题 例 3.在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,求证:
tan A tan B

= b2 ? c 2 ? a 2 .

a 2 ? c 2 ? b2

a ? c cos B sin B 变式:在△ABC 中,求证: b ? c cos A = sin A .

1

二、正、余弦定理在实际中的应用 实际测量中的有关名称、术语 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线上方的角称 为仰角,视线在水平线下方的角称为 俯角 .如图(1). 2.方位角 指从正北方向按 顺 时针转到目标方向线所成的水平角, 如方位角是 45°,指北偏东 45°,即东北方向. 3.方向角 从指定方向到目标方向线所成的水平角,如南偏西 60°, 即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转 60°,如图(2)所示. 4.基线 在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做 基线 .一般来说,基线越长,测量的精确度 越 高 . 5.坡度 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做 坡度 (或叫做坡比). 思考:如图所示,OA、 OB 的方位角各是多少?如何表示 OA、OB 的方向角?

题型一:测量距离问题 【角度一】 两点不相通的距离 例 1.如图所示,要测量一水塘两侧 A、B 两点间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用经纬仪 测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a2+b2-2abcos α. 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试计算 AB 长.

【角度二】

两点间可视但有一点不可到达

例 2.如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m, 再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理 就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A、B 两点间的 距离为________.

2

【角度三】

两点都不可到达

例 3.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 AB 的距离,其方法测量者可 以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠ CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 若测得 CD= 3 km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD=60° ,∠ACB=45° , 2

求 A,B 两点间的距离.

题型二:测量高度问题 例 1.如图,为了测量河对岸的塔高 AB,有不同的方案,其中之一是 选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D, 测得 CD=200 米, 在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45° 和 30° ,且∠CBD=30° , 求塔高 AB.

变式:如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 10 千米,速度为 180 千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为 30 ? ,经过 2 分钟后又看到 山顶的俯角为 75 ? ,求山顶的海拔高度.

3

题型三:测量角度问题 例。如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向, 距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船. 此 时, 走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜, 问缉私船沿着什么方向能最快追 上走私船?

变式:某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我海军护航舰在 A 处获悉 后,立即测出该货船在方位角为 45° ,距离为 10 海里的 C 处,并测得货船正沿方位角为 105° 的方 向,以 10 海里/小时的速度向前行驶,我海军护航舰立即以 10 3海里/小时的速度前去营救,求护 航舰的航向和靠近货船所需的时间.

三、随堂练习 1.若 P 在 Q 的北偏东 44° 50′方向上,则 Q 在 P 的( A.东偏北 45° 10′方向上 C.南偏西 44° 50′方向上

)

B.北偏东 45° 50′方向上 D.西偏南 45° 50′方向上

2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 视角,则 B、C 间的距离是( A.10 3 海里 10 6 B. 海里 3 ) C.5 2 海里 D.5 6 海里

3.如图,线段 AB、CD 分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部 A 处测 得乙楼顶部 C 处的仰角为 α=30° ,测得乙楼底部 D 的俯角 β=60° ,已知甲楼高 AB =24 米,则乙楼高 CD=________米. 4.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸的标记物 C, 测得∠CAB=45° ,∠CBA=75° ,AB=120 米,则河的宽度为________.
4

5.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度由 B 向 C 航行,航行的方位角是 140° .A 处有一灯塔, 其方位角是 110° ,在 C 处观察灯塔 A 的方位角是 35° ,由 B 到 C 需航行半个小时,求 C 到灯塔 A 的距离.

四、课后作业 1. 两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km B. 3a km C. 2a km ) D.2a km

2.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行 半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° 方向上,另一灯塔在船的南偏西 75° 方向上,则这艘船的 速度是每小时( A.5n mlie ) B.5 3n mlie C.10n mlie D.10 3n mlie

3. 某人向正东方向走 x km 后, 他向右转 150°, 然后朝新方向走 3 km, 结果他离出发点恰好 3 km, 那么 x 的值为________. 1 4.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= CD,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面积为 3- 3, 2 则∠BAC=________. 5.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底

B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方
向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45°,则塔 AB 的高是________米.
6.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点 进行测量,已知 AB=50m,BC=120m,于 A 处测得水深 AD=80m,于 B 处测得水深 BE=200m,于 C 处测得水深 CF=110m,求∠DEF 的余弦值.

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